عند حساب عبارة تتضمن عدة عمليات، يجب دائماً احترام أولويات الحساب. الأولوية هنا لعملية القسمة قبل الطرح. لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني.

نقوم أولاً بإجراء عملية القسمة:

نختزل قبل الحساب لتسهيل العملية (نلاحظ أن $21 = 7 \times 3$):

نقسم البسط والمقام على 3:

الآن نعوض في العبارة $A$:

بما أن الكسرين لهما نفس المقام، نطرح البسطين ونحتفظ بالمقام المشترك:

وبما أن $1$ عدد طبيعي، فإن $A$ عدد طبيعي بالفعل.

لحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}$، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة للأعداد الكبيرة.

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس):

آخر باقٍ غير معدوم في هذه السلسلة هو $49$.

إذن:

يكون الكسر قابلاً للاختزال إذا كان القاسم المشترك الأكبر لبسطه ومقامه أكبر تماماً من 1. للحصول على كسر غير قابل للاختزال مباشرة، نقسم كلاً من البسط والمقام على $\text{PGCD}$ الخاص بهما.

نعم، يمكن اختزال الكسر $\frac{833}{637}$ لأن القاسم المشترك الأكبر للعددين 833 و 637 هو $49$ (وهو يختلف عن 1)، مما يعني أنهما ليسا أوليين فيما بينهما.

عملية الاختزال:

نقسم كلاً من البسط والمقام على $\text{PGCD}(833; 637) = 49$:

الكسر الناتج $\frac{17}{13}$ هو كسر غير قابل للاختزال لأن العددين 17 و 13 أوليان فيما بينهما.

لكتابة عبارة على شكل $\sqrt{a}$، نقوم بإدخال العامل الخارجي تحت الجذر بتربيعه، مستعملين الخاصية: $x\sqrt{y} = \sqrt{x^2 \times y}$ (من أجل $x > 0$).

نقوم بتبسيط الحساب داخل الجذر:

نعلم أن $\frac{25}{5} = 5$ وأن $\frac{98}{49} = 2$، إذن:

العبارة مكتوبة على الشكل المطلوب حيث $a = 10$ وهو عدد طبيعي.

لكتابة العبارة على الشكل $b\sqrt{2}$، نقوم بقسمة الأعداد الموجودة تحت الجذور على 2 لتفكيكها إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام.

نلاحظ أن:

نعوض في العبارة $N$:

باستعمال الخاصية $\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$:

باستخراج $\sqrt{2}$ كعامل مشترك:

العبارة مكتوبة على الشكل المطلوب حيث $b = 13$ وهو عدد طبيعي.

لحل معادلة من الشكل $x^2 = k$:

أولاً، نقوم بتبسيط الطرف الأيمن للمعادلة بالتعويض بقيمة $M = \sqrt{10}$:

نعلم أن $\sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10$، إذن:

تصبح المعادلة:

بما أن $36 > 0$، فإن للمعادلة حلين متمايزين هما:

إذن، حلول المعادلة هي: $x = 6$ و $x = -6$.

لتنطيق مقام نسبة مقامه عدد غير ناطق من الشكل $d\sqrt{e}$، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر $\sqrt{e}$ للتخلص من الجذر في المقام. ولا ننسى وضع الأقواس للبسط المتعدد الحدود.

نعوض قيمة $N = 13\sqrt{2}$ في النسبة:

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}$:

في المثلث القائم، ظل الزاوية الحادة ($\tan$) يساوي النسبة بين طول الضلع المقابل لهذه الزاوية وطول الضلع المجاور لها.

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $B$، فإن:

بالتعويض بالأطوال المعطاة ($AB = 4.8 \text{ cm}$ و $BC = 6.4 \text{ cm}$):

لدينا $\tan\widehat{BCA} = 0.75$.

باستعمال الآلة الحاسبة (اللمسة $\text{2ndF}$ أو $\text{Shift}$ ثم $\text{tan}^{-1}$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة (بما أن الجزء من عشرة هو 8 وهو أكبر من أو يساوي 5، نضيف 1 لآحاد الجزء الصحيح):

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $B$، فإن المستقيمين $(AB)$ و $(BC)$ متعامدان. وبما أن $E$ تنتمي إلى المستقيم $(BC)$ و $F$ تنتمي إلى المستقيم $(AB)$، فإن المثلث $EBA$ قائم أيضاً في $B$.

في المثلث $EBA$ القائم في $B$، لدينا:

بالتعويض بالقيم المعلومة ($\widehat{AEB} = 53^\circ$ و $AB = 4.8 \text{ cm}$):

ومنه نستخرج الطول $EB$:

نعلم أن $\tan(53^\circ) \approx 1.327$:

بالتدوير إلى جزء من عشرة:

لإثبات توازي مستقيمين يقطعهما مستقيمان غير متوازيين، نستخدم الخاصية العكسية لطاليس. يجب التحقق من تساوي النسبتين وترتيب النقاط على الاستقامة.

لدينا النقطتان $A, B, F$ في استقامية وبنفس ترتيب النقاط $C, B, E$.

نقارن النسبتين $\frac{BF}{BA}$ و $\frac{BE}{BC}$:

بما أن $F$ تنتمي إلى نصف المستقيم $[AB)$ و $AF = 7.5 \text{ cm}$ و $AB = 4.8 \text{ cm}$، فإن:

نلاحظ أن:

وبما أن النسبتين متساويتان والنقاط $A, B, F$ و $C, B, E$ مرتبة بنفس الترتيب، فإنه وحسب الخاصية العكسية لطاليس، فإن المستقيمين $(EF)$ و $(AC)$ متوازيان:

نستخدم العلاقة الشهيرة بين النسب المثلثية للزاوية الحادة: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

لدينا المعطيات:

ونعلم أن:

بالتعويض والمساواة بين العبارتين:

بما أن $\alpha$ زاوية حادة، فإن $\sin\alpha \neq 0$. بقسمة طرفي المعادلة على $\sin\alpha$:

بأخذ مقلوب الطرفين نجد:

لإنشاء زاوية جيب تمامها معلوم ($\cos\alpha = \frac{1}{3}$) دون حساب قيسها، ننشئ مثلثاً قائماً يكون فيه طول الضلع المجاور للزاوية مساوياً لـ $1$ وحدة (مثلاً $2 \text{ cm}$) وطول الوتر مساوياً لـ $3$ وحدات (أي $6 \text{ cm}$).

خطوات الإنشاء الهندسي:

1. ننشئ زاوية قائمة رأسها $O$ باستخدام الكوس، ونرسم ضلعيها المتعامدين $[Ox)$ و $[Oy)$.

2. على الضلع $[Ox)$، نحدد نقطة $A$ بحيث يكون الطول $OA = 2 \text{ cm}$ (وهي تمثل وحدة واحدة مجاورة).

3. نفتح المدور بفتحة طولها $6 \text{ cm}$ (والتي تمثل 3 وحدات للوتر).

4. نضع رأس المدور عند النقطة $A$ ونرسم قوساً يقطع الضلع الثاني $[Oy)$ في نقطة نسميها $B$.

5. نصل بين النقطتين $A$ و $B$ للحصول على المثلث القائم $OAB$ في $O$.

6. الزاوية المطلوبة $\alpha$ هي الزاوية الحادة $\widehat{OAB}$ لأن: