البحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين $20755$ و $9488$ باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو $593$، فإن:

الآن نقوم بقسمة كل من بسط ومقام الكسر $A$ على القاسم المشترك الأكبر $593$:

الشكل غير القابل للاختزال للعدد $A$ هو:

لدينا العبارة:

نعوض الكسر الأول بالكسر المختزل الذي وجدناه في السؤال السابق لتسهيل الحساب:

نوحد المقامات بجعل المقام المشترك هو $16$:

القيمة المضبوطة للعدد $B$ هي:

لدينا العبارة:

نكتب الأعداد تحت الجذور على شكل جذاء يكون أحد عامليه $5$:

نعوض في العبارة $C$:

كتابة العدد $C$ على الشكل $a\sqrt{5}$ هي:

لدينا العبارة:

باستخدام خواص الجذور التربيعية $\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{x \times y}$:

نختزل العدد $5$ من البسط والمقام:

بما أن $3$ عدد طبيعي، فإن $D$ عدد طبيعي.

نعوض قيمتي $D$ و $C$:

للتخلص من الجذر في المقام، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{5}$:

النسبة بمقام ناطق هي:

نعوض قيمة $D = 3$ في المعادلة:

بما أن العدد $9$ موجب تماماً ($9 > 0$)، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

حلول المعادلة هي:

في المثلثين $ACD$ و $AIB$:

بتطبيق نظرية طاليس نجد:

نعوض بالأطوال المعلومة لدينا:

باستعمال الجداء المتصالب:

الطول $IB$ هو:

نستخدم النظرية العكسية لطاليس في الشكل المتشكل من المستقيمين المتقاطعين في $I$:

النقاط $A$، $I$، $E$ في استقامة واحدة وبنفس ترتيب النقاط $B$، $I$، $F$.

نحسب ونقارن النسبتين من نقطة التقاطع $I$:

نلاحظ أن:

وبما أن النقاط $A$، $I$، $E$ والنقاط $B$، $I$، $F$ مرتبة بنفس الترتيب، فإنه وحسب النظرية العكسية لطاليس، نستنتج أن المستقيمين متوازيان.

المستقيمان $(AB)$ و $(EF)$ متوازيان:

قبل حساب الظل، يجب إثبات أن المثلث قائم في $I$. نتحقق أولاً من المثلث $IEF$ باستخدام النظرية العكسية لفيثاغورس:

بما أن $EF^2 = IE^2 + IF^2$، فإنه حسب النظرية العكسية لفيثاغورس، المثلث $IEF$ قائم في $I$.

وبالتالي، المستقيمان $(AE)$ و $(BF)$ متعامدان في نقطة تقاطعهما $I$.

هذا يعني أن المثلث $AIB$ قائم أيضاً في $I$.

في المثلث $AIB$ القائم في $I$:

لإعطاء النتيجة على شكل كسر مختزل، نضرب البسط والمقام في $10$ ثم نختزل:

نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما وهو $18$:

ظل الزاوية $\widehat{ABI}$ ككسر مختزل هو:

باستعمال الآلة الحاسبة العلمية (باستخدام اللمسة $\text{Shift}$ ثم $\text{tan}^{-1}$ أو $\text{2ndF}$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة (بما أن الجزء من عشرة هو $1$ وهو أصغر من $5$):

قيس الزاوية بالتدوير إلى الوحدة هو: