لحساب $PGCD(312, 264)$، نستخدم خوارزمية القسمات المتتالية (خوارزمية إقليدس) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة:

بما أن الباقي الأخير المعدوم هو $0$، فإن القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم وهو $24$.

لكتابة الكسر على شكله غير القابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر الذي وجدناه في السؤال السابق وهو $24$:

الكسر غير القابل للاختزال هو:

لدينا العبارة:

نعوض الكسر $\frac{312}{264}$ بالكسر المختزل المساوي له وهو $\frac{13}{11}$ لتسهيل الحساب:

نعلم أن أولوية العمليات تعطي الأسبقية لعملية القسمة على عملية الطرح. وقسمة كسر على كسر تعني ضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

لقد تم إثبات أن:

يريد البائع تقسيم أزهار القرنفل (264 زهرة) وأزهار النرجس (312 زهرة) إلى باقات متماثلة تماماً (أي تحتوي كل باقة على نفس العدد من أزهار القرنفل ونفس العدد من أزهار النرجس دون بقاء أي زهرة).

هذا يعني أن عدد الباقات يجب أن يكون قاسماً مشتركاً للعددين 264 و 312. وبما أنه يبحث عن أكبر عدد ممكن من الباقات، فإن هذا العدد يمثل القاسم المشترك الأكبر للعددين.

من السؤال الأول لدينا:

أكبر عدد ممكن من الباقات المتماثلة التي يمكن تكوينها هو 24 باقة.

تحتوي كل باقة على:

لكتابة عبارة تتضمن جذوراً على الشكل $a\sqrt{b}$ حيث $b$ أصغر ما يمكن، نقوم بتحليل الأعداد الموجودة تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام (مثل: 4، 9، 16، 25، 36، ...).

نعلم أن: $48 = 16 \times 3$ و $27 = 9 \times 3$.

نعلم أن: $180 = 36 \times 5$.

بما أن الجذور مختلفة ($\sqrt{3}$ و $\sqrt{5}$)، لا يمكن جمع الحدود مباشرة، ولكن يمكننا كتابة المجموع بأخذ العامل المشترك $9$:

نعوض قيمتي $D$ و $E$ المبسطتين:

نختزل العدد $9$ من البسط والمقام:

لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{5}$:

وهو المطلوب إثباته:

نقوم بعزل المجهول $x^2$ في طرف بمفرده:

نضرب طرفي المعادلة في $3$:

في مجموعة الأعداد الحقيقية، مربع أي عدد هو دائماً عدد موجب أو معدوم ($x^2 \ge 0$). وبما أن الطرف الأيمن هو عدد سالب تماماً ($-3 < 0$)، فإنه يستحيل وجود عدد حقيقي يحقق هذه المساواة.

بما أن $x^2 = -3$ والعدد $-3$ سالب تماماً، فإن المعادلة ليس لها حلول.

من معطيات الشكل الهندسي المرفق:

وحسب النظرية الهندسية التي تنص على أن: "المستقيمان العموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان".

بما أن $(MB) \perp (AC)$ و $(NC) \perp (AC)$، فإن المستقيمين متوازيان:

بما أن:

فإنه بتطبيق نظرية طاليس في المثلثين المتداخلين $ABM$ و $ACN$، نجد:

نعوض بالأطوال المعلومة من المعطيات:

تصبح النسب كالآتي:

باستخدام الرابع المتناسب من النسبة الأولى والثانية:

باستخدام الرابع المتناسب من النسبة الأولى والثالثة:

الزاوية $\alpha$ هي الزاوية الحادة $\widehat{MAB}$ في المثلث $ABM$ القائم في $B$.

لدينا في هذا المثلث القائم:

نستخدم علاقة جيب تمام الزاوية (cosinus):

باستخدام الحاسبة العلمية (بالضغط على زر $\text{Shift}$ ثم $\cos$ أو $\cos^{-1}$ للعدد $0.5$):

قيس الزاوية $\alpha$ هو $60^\circ$.