📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 88 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (6 نقاط)

1. حساب العدد AA

لحساب العدد AA، يجب مراعاة أولويات العمليات الحسابية، حيث تُعطى الأولوية لعملية الضرب قبل عملية الجمع.

A=36+56×32A = \frac{3}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{3}{2}
💡إضاءة وتنبيه:

عند حساب عبارة تتضمن جمعاً وضرباً لكسور، نقوم أولاً بإجراء عملية الضرب (بضرب البسط في البسط والمقام في المقام)، ثم نقوم بتوحيد المقامات لإجراء عملية الجمع.

خطوة 1: حساب عملية الضرب
56×32=5×36×2=1512\frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 3}{6 \times 2} = \frac{15}{12}
خطوة 2: تعويض الناتج في العبارة وتوحيد المقامات
A=36+1512A = \frac{3}{6} + \frac{15}{12}

المقام المشترك الأصغر بين 6 و 12 هو 12. نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2:

36=3×26×2=612\frac{3}{6} = \frac{3 \times 2}{6 \times 2} = \frac{6}{12}
خطوة 3: جمع الكسرين وتبسيط الناتج
A=612+1512=6+1512=2112A = \frac{6}{12} + \frac{15}{12} = \frac{6 + 15}{12} = \frac{21}{12}

نلاحظ أن الكسر قابل للاختزال بالقسمة على القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام وهو 3:

A=21÷312÷3=74A = \frac{21 \div 3}{12 \div 3} = \frac{7}{4}
✅الإجابة النموذجية:

القيمة الدقيقة والمبسطة للعدد AA هي:

A=74A = \frac{7}{4}

2. كتابة العدد BB كتابة علمية ثم كتابة عشرية

لدينا العبارة:

B=4×10−3×7×1085×104B = \frac{4 \times 10^{-3} \times 7 \times 10^8}{5 \times 10^4}
خطوة 1: تجميع الأعداد معاً وقوى العدد 10 معاً
B=4×75×10−3×108104B = \frac{4 \times 7}{5} \times \frac{10^{-3} \times 10^8}{10^4}
خطوة 2: تبسيط الأعداد وقوى 10 في البسط
4×7=284 \times 7 = 28
10−3×108=10−3+8=10510^{-3} \times 10^8 = 10^{-3 + 8} = 10^5

إذن تصبح العبارة:

B=285×105104B = \frac{28}{5} \times \frac{10^5}{10^4}
خطوة 3: حساب القسمة
285=5.6\frac{28}{5} = 5.6
105104=105−4=101\frac{10^5}{10^4} = 10^{5 - 4} = 10^1

إذن:

B=5.6×101B = 5.6 \times 10^1
💡إضاءة وتنبيه:

الكتابة العلمية لعدد عشري تكتب على الشكل a×10na \times 10^n حيث aa عدد عشري مكتوب برقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة (1≤a<101 \le a < 10) و nn عدد صحيح نسبي.

الكتابة العلمية للعدد BB:
B=5.6×101B = 5.6 \times 10^1
الكتابة العشرية للعدد BB:

نقوم بحساب القيمة مباشرة:

B=5.6×10=56B = 5.6 \times 10 = 56
✅الإجابة النموذجية:
الكتابة العلمية: B=5.6×101B = 5.6 \times 10^1
الكتابة العشرية: B=56B = 56

3. تبيان أن: A×B14=7A \times \frac{B}{14} = 7

نقوم بتعويض قيمتي AA و BB اللتين وجدناهما سابقاً:

A=74,B=56A = \frac{7}{4} \quad , \quad B = 56

نعوض في الطرف الأيسر للمساواة:

A×B14=74×5614A \times \frac{B}{14} = \frac{7}{4} \times \frac{56}{14}

نحسب أولاً الكسر الثاني:

5614=4\frac{56}{14} = 4

نعوض مجدداً:

A×B14=74×4A \times \frac{B}{14} = \frac{7}{4} \times 4

نختزل العدد 4 من البسط والمقام:

A×B14=7A \times \frac{B}{14} = 7

وهو المطلوب إثباته.

✅الإجابة النموذجية:

المساواة محققة فعلاً لأن:

A×B14=74×4=7A \times \frac{B}{14} = \frac{7}{4} \times 4 = 7
📌

التمرين الثاني: (7 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر PGCD(195;165)\text{PGCD}(195; 165)

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

195=165×1+30195 = 165 \times 1 + 30
165=30×5+15165 = 30 \times 5 + 15
30=15×2+030 = 15 \times 2 + 0

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو 15، فإن:

PGCD(195;165)=15\text{PGCD}(195; 165) = 15
✅الإجابة النموذجية:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 195 و 165 هو:

PGCD(195;165)=15\text{PGCD}(195; 165) = 15

2. كتابة الكسر 195165\frac{195}{165} على شكل كسر غير قابل للاختزال

لكتابة الكسر على شكل كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر (1515):

195165=195÷15165÷15=1311\frac{195}{165} = \frac{195 \div 15}{165 \div 15} = \frac{13}{11}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر غير القابل للاختزال هو:

195165=1311\frac{195}{165} = \frac{13}{11}

3. مسألة بائع الأزهار

يريد بائع الأزهار تقسيم 195 وردة بيضاء و 165 وردة حمراء إلى باقات متماثلة تماماً من حيث عدد ونوع الورود.

أ - حساب أكبر عدد من الباقات التي يمكن تشكيلها:

أكبر عدد من الباقات يمثل القاسم المشترك الأكبر لعدد الورود البيضاء والحمراء لكي يتم استهلاك كل الورود دون متبقٍ وبأكبر عدد ممكن.

عدد الباقات=PGCD(195;165)=15\text{عدد الباقات} = \text{PGCD}(195; 165) = 15
✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد من الباقات التي يمكن تشكيلها هو 15 باقة.

ب - تحديد تشكيلة كل باقة:

لمعرفة عدد الورود من كل نوع في الباقة الواحدة، نقسم العدد الإجمالي لكل نوع على عدد الباقات (15):

عدد الورود البيضاء في كل باقة:
195÷15=13 وردة بيضاء195 \div 15 = 13 \text{ وردة بيضاء}
عدد الورود الحمراء في كل باقة:
165÷15=11 وردة حمراء165 \div 15 = 11 \text{ وردة حمراء}
✅الإجابة النموذجية:

تتكون كل باقة من 13 وردة بيضاء و 11 وردة حمراء.

📌

التمرين الثالث: (7 نقاط)

1. كتابة العدد MM على الشكل aba\sqrt{b} (حيث bb أصغر ما يمكن)

لدينا العبارة:

M=128−250+42M = \sqrt{128} - 2\sqrt{50} + 4\sqrt{2}

نلاحظ أن الحد الأخير يحتوي على 2\sqrt{2}، مما يوحي بأننا يجب أن نكتب الأعداد تحت الجذور الأخرى على شكل جذاء يكون أحد عامليه هو 2:

تبسيط 128\sqrt{128}:
128=64×2=64×2=82\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}
تبسيط 2502\sqrt{50}:
250=225×2=2×25×2=2×52=1022\sqrt{50} = 2\sqrt{25 \times 2} = 2 \times \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 2 \times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}

نعوض هذه القيم في العبارة MM:

M=82−102+42M = 8\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 4\sqrt{2}

نستخرج 2\sqrt{2} كعامل مشترك:

M=(8−10+4)2M = (8 - 10 + 4)\sqrt{2}
M=22M = 2\sqrt{2}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة العدد MM على الشكل aba\sqrt{b} هي:

M=22M = 2\sqrt{2}

(حيث a=2a = 2 و b=2b = 2).

2. كتابة العدد NN بمقام ناطق

لدينا العبارة:

N=32−42N = \frac{3\sqrt{2} - 4}{\sqrt{2}}

لجعل مقام هذا النسب عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في 2\sqrt{2}:

N=(32−4)×22×2N = \frac{(3\sqrt{2} - 4) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}

نوزع الضرب في البسط:

N=32×2−422N = \frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2}
N=3×2−422N = \frac{3 \times 2 - 4\sqrt{2}}{2}
N=6−422N = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2}

نقسم حدي البسط على 2 لتبسيط العبارة:

N=62−422=3−22N = \frac{6}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة العدد NN بمقام ناطق في أبسط شكل هي:

N=3−22N = 3 - 2\sqrt{2}

3. تبيان أن العدد M+NM + N طبيعي

نقوم بجمع العبارتين المبسطتين لـ MM و NN:

M=22M = 2\sqrt{2}
N=3−22N = 3 - 2\sqrt{2}
M+N=(22)+(3−22)M + N = (2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2})

نلاحظ وجود حدين متعاكسين في الإشارة (222\sqrt{2} و −22-2\sqrt{2})، مجموعهما يساوي الصفر:

M+N=3M + N = 3

بما أن العدد 3 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية (N\mathbb{N})، فإن M+NM + N هو عدد طبيعي.

✅الإجابة النموذجية:

العدد M+NM + N هو عدد طبيعي لأن:

M+N=3M + N = 3

4. حل المعادلة: x2−3=6x^2 - 3 = 6

لحل هذه المعادلة، نضع المجهول في طرف والمعاليم في طرف آخر:

x2=6+3x^2 = 6 + 3
x2=9x^2 = 9
💡إضاءة وتنبيه:

المعادلة من الشكل x2=ax^2 = a:

إذا كان a>0a > 0، فإن للمعادلة حلين متمايزين هما: a\sqrt{a} و −a-\sqrt{a}.
إذا كان a=0a = 0، فإن للمعادلة حلاً وحيداً هو 00.
إذا كان a<0a < 0، فإن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.

بما أن 9>09 > 0، فإن للمعادلة حلين هما:

x=9=3x = \sqrt{9} = 3

أو

x=−9=−3x = -\sqrt{9} = -3
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما:

x=3أوx=−3x = 3 \quad \text{أو} \quad x = -3