Le document Paper #121 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am contient-il un corrigé ?

Oui, ce document est disponible avec son corrigé et barème officiel en téléchargement PDF gratuit sur DzMadrassa.

Comment télécharger ce sujet en PDF ?

Vous pouvez télécharger le document en format PDF imprimable directement via le bouton de téléchargement sur DzMadrassa.

Est-il possible de faire un quiz interactif ?

Oui, DzMadrassa propose des quiz interactifs pour tester vos connaissances avec correction immédiate.

Paper #121 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

PDFCorrigé IA2024Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet avec corrigé détaillé en format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 121 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: (3 نقاط)

1) التبرير دون حساب هل العددان 682 و 352 أوليان فيما بينهما:

💡إضاءة وتنبيه:

يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1. إذا وجد قاسم مشترك أكبر من 1 (مثل 2)، فإن العددين غير أوليين فيما بينهما مباشرة دون الحاجة لحساب $\text{PGCD}$ .

✅الإجابة النموذجية:

العددان $682$ و $352$ ليسا أوليين فيما بينهما.

التبرير: كلاً من العددين $682$ و $352$ عدد زوجي (آحادهما $2$ )، وبالتالي فهما يقبلان القسمة على $2$ . بما أنه يوجد قاسم مشترك أكبر من $1$ ، فإن $\text{PGCD}(682, 352) \neq 1$ .

2) حل المعادلتين:

المعادلة الأولى: $x^2 - \frac{225}{81} = 0$

✅الإجابة النموذجية:

نكتب المعادلة على الشكل $x^2 = b$ :

x^2 = \frac{225}{81}

بما أن $\frac{225}{81} > 0$ ، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

x = \sqrt{\frac{225}{81}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{81}} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}

أو:

x = -\sqrt{\frac{225}{81}} = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}

حلول المعادلة الأولى هي: $S = \left\{ -\frac{5}{3} \,;\, \frac{5}{3} \right\}$ .

المعادلة الثانية: $\frac{x}{4+2\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2}$

✅الإجابة النموذجية:

باستعمال الجداء التصالبي (الطرفين في الوسطين):

2 \times x = (4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})

نلاحظ أن الطرف الأيمن متطابقة شهيرة من الشكل $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

2x = 4^2 - (2\sqrt{3})^2

2x = 16 - (4 \times 3)

2x = 16 - 12

2x = 4 \implies x = \frac{4}{2} = 2

حل المعادلة الثانية هو: $x = 2$ .

3) كتابة العدد $d$ على أسط شكل ممكن:

d = \frac{682}{352} - \frac{16}{8} \div \frac{2}{\sqrt{9}}

✅الإجابة النموذجية:

أولاً: نختزل الكسر $\frac{682}{352}$ بحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}(682, 352)$ باستعمال خوارزمية إقليدس:

682 = 352 \times 1 + 330

352 = 330 \times 1 + 22

330 = 22 \times 15 + 0

إذن: $\text{PGCD}(682, 352) = 22$ .

الاختزال:

\frac{682}{352} = \frac{682 \div 22}{352 \div 22} = \frac{31}{16}

ثانياً: نبسط الحد الثاني:

\frac{16}{8} = 2 \quad \text{و} \quad \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}

\frac{16}{8} \div \frac{2}{\sqrt{9}} = 2 \div \frac{2}{3} = 2 \times \frac{3}{2} = 3

ثالثاً: نحسب القيمة النهائية لـ $d$ :

d = \frac{31}{16} - 3 = \frac{31}{16} - \frac{3 \times 16}{16} = \frac{31 - 48}{16} = -\frac{17}{16}

📌

التمرين الثاني: (3 نقاط)

1) تبسيط العدد $A$ :

A = \sqrt{500} - \sqrt{125} - 3\sqrt{5}

✅الإجابة النموذجية:

نكتب ما تحت الجذور على شكل $a^2 \times 5$ :

A = \sqrt{100 \times 5} - \sqrt{25 \times 5} - 3\sqrt{5}

A = 10\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5}

A = (10 - 5 - 3)\sqrt{5} = 2\sqrt{5}

2) حساب مساحة الشكل $S$ :

💡إضاءة وتنبيه:

بالتمعن في التشفير المعطى على الشكل:

1. الاضلاع الأربعة متقايسة (تشفير التقايس `//`).

2. وجود زوايا قائمة عند الرؤوس.

هذا يعني أن الشكل $ABCD$ هو مربع طول ضلعه $a = 2\sqrt{5} \text{ cm}$ .

✅الإجابة النموذجية:

مساحة المربع $ABCD$ هي:

S = a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \times (\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 \text{ cm}^2

3) التبين أن $CA = 2\sqrt{10} \text{ cm}$ :

✅الإجابة النموذجية:

القطر $CA$ يقسم المربع إلى مثلثين قائمين. نأخذ المثلث $ABC$ القائم في $B$ :

حسب نظرية فيثاغورس:

CA^2 = AB^2 + BC^2

التعويض العددي:

CA^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 20 + 20 = 40

CA = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10} \text{ cm}

📌

التمرين الثالث: (3 نقاط)

1) إنشاء الشكل وحساب الطول $AC$ :

✅الإجابة النموذجية:

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ ، فبحسب نظرية فيثاغورس:

BC^2 = AB^2 + AC^2

5^2 = 3^2 + AC^2 \implies 25 = 9 + AC^2

AC^2 = 25 - 9 = 16 \implies AC = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}

2) شرح لماذا $(ME)$ و $(AC)$ متوازيان:

💡إضاءة وتنبيه:

تعتمد هذه الإجابة على الخاصية الأساسية للتوازي: "إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فهما متوازيان".

✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

1. المثلث $ABC$ قائم في $A$ ، إذن: $(AC) \perp (AB)$ .

2. المعطيات تنص على أن المستقيم الذي يشمل $E$ يعامد $(AB)$ ، إذن: $(ME) \perp (AB)$ .

بما أن كلا من $(AC)$ و $(ME)$ عموديان على نفس المستقيم $(AB)$ ، فإن $(ME) \parallel (AC)$ .

3) حساب الطول $BM$ :

✅الإجابة النموذجية:

لدينا النقط $B, E, A$ في استقامية، والنقط $B, M, C$ في استقامية، و $(ME) \parallel (AC)$ .

أولاً نحسب الطول $BE$ :

BE = AB - AE = 3 - 1 = 2 \text{ cm}

بتطبيق نظرية طالس في المثلث $BAC$ :

\frac{BE}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{EM}{AC}

بالتعويض في النسبتين الأولى والثانية:

\frac{2}{3} = \frac{BM}{5}

BM = \frac{2 \times 5}{3} = \frac{10}{3} \text{ cm} \approx 3.33 \text{ cm}

📌

التمرين الرابع: (3 نقاط)

العبارة الجبرية:

B = (3x - 2)(x + 5) - (3x - 2)^2

1) نشر وتبسيط العبارة $B$ :

✅الإجابة النموذجية:

B = \left[ 3x(x) + 3x(5) - 2(x) - 2(5) \right] - \left[ (3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2 \right]

B = (3x^2 + 15x - 2x - 10) - (9x^2 - 12x + 4)

B = 3x^2 + 13x - 10 - 9x^2 + 12x - 4

B = (3x^2 - 9x^2) + (13x + 12x) + (-10 - 4)

B = -6x^2 + 25x - 14

2) حساب القيمة العددية للعبارة $B$ من أجل $x = \frac{7}{2}$ :

✅الإجابة النموذجية:

نعوض $x = \frac{7}{2}$ في العبارة المنشورة:

B = -6\left(\frac{7}{2}\right)^2 + 25\left(\frac{7}{2}\right) - 14

B = -6\left(\frac{49}{4}\right) + \frac{175}{2} - 14

B = -\frac{294}{4} + \frac{175}{2} - 14 = -\frac{147}{2} + \frac{175}{2} - \frac{28}{2}

B = \frac{-147 + 175 - 28}{2} = \frac{0}{2} = 0

3) تحليل العبارة $B$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

✅الإجابة النموذجية:

نلاحظ وجود عامل مشترك وهو $(3x - 2)$ :

B = (3x - 2) \left[ (x + 5) - (3x - 2) \right]

B = (3x - 2) (x + 5 - 3x + 2)

B = (3x - 2) (-2x + 7)

📌

الوضعية الإدماجية: (08 نقاط)

1) حساب الإرتفاع الذي يرى منه الرافعة (الطول $EF$ ):

💡إضاءة وتنبيه:

من الشكل نلاحظ أن:

النقط

C, F, B

على استقامة واحدة بنفس الترتيب، حيث

BF = 18 \text{ m}

FC = 27 \text{ m}

، فتكون المسافة الإجمالية:

BC = BF + FC = 18 + 27 = 45 \text{ m}

النقط

A, E, C

على استقامة واحدة.

المستقيمان

(EF)

(AB)

عموديان على الأرض

(BC)

، بالتالي:

(EF) \parallel (AB)

✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق نظرية طالس في المثلث $ABC$ :

\frac{CF}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{EF}{AB}

بالتعويض بالقيم المعلومة:

\frac{27}{45} = \frac{EF}{26}

EF = \frac{27 \times 26}{45} = \frac{702}{45} = 15.6 \text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة:

$EF \approx 16 \text{ m}$

2) حساب ارتفاع الرافعة (الطول $HC$ ):

💡إضاءة وتنبيه:

ارتفاع الرافعة ينقسم إلى جزءين: $HC = HD + DC$ .

الشكل $EFCD$ مستطيل، إذن: $CD = EF = 15.6 \text{ m}$ و $ED = FC = 27 \text{ m}$ .

نبدأ بحساب الطول $HD$ من المثلث القائم $HED$ .

✅الإجابة النموذجية:

أولاً: حساب الطول $HD$ :

في المثلث $HED$ القائم في $D$ :

$\tan(\widehat{HED}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{HD}{ED}$

$\tan(37^\circ) = \frac{HD}{27}$

$HD = 27 \times \tan(37^\circ) \approx 27 \times 0.75355 \approx 20.35 \text{ m}$

ثانياً: حساب الارتفاع الكلي للرافعة $HC$ :

$HC = HD + DC = 20.35 + 15.6 = 35.95 \text{ m}$

بالتدوير إلى الوحدة:

$HC \approx 36 \text{ m}$

3) حساب الزواية التي يرى بها الرافعة (الزاوية $\widehat{HEC}$ ):

✅الإجابة النموذجية:

الزاوية $\widehat{HEC}$ هي مجموع الزاويتين $\widehat{HED}$ و $\widehat{DEC}$ :

$\widehat{HEC} = \widehat{HED} + \widehat{DEC}$

لدينا $\widehat{HED} = 37^\circ$ .

حساب الزاوية $\widehat{DEC}$ :

في المثلث $EDC$ القائم في $D$ :

$\tan(\widehat{DEC}) = \frac{DC}{ED} = \frac{15.6}{27} \approx 0.5778$

باستخدام الحاسبة ( $\text{shift tan}$ أو $\tan^{-1}$ ):

$\widehat{DEC} \approx 30.02^\circ$

حساب الزاوية الإجمالية $\widehat{HEC}$ :

$\widehat{HEC} = 37^\circ + 30.02^\circ = 67.02^\circ$

بالتدوير إلى الوحدة:

$\widehat{HEC} \approx 67^\circ$

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

About this file

Paper #121 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Verified by Teachers

Middle education-4th Year Of Middle School-Mathematics

Paper #121 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Google Preferred SourcesNew Feature

Add « DzMadrassa » as your Preferred Source on Google

With 1 click, get DzMadrassa's verified exams, solutions, and quizzes prioritized in your Google Search and AI Overviews.

⭐ Add as Preferred Source

Paper #121 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 121 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: (3 نقاط)

1) التبرير دون حساب هل العددان 682 و 352 أوليان فيما بينهما:

2) حل المعادلتين:

المعادلة الأولى: x2−22581=0x^2 - \frac{225}{81} = 0x2−81225​=0

المعادلة الثانية: x4+23=4−232\frac{x}{4+2\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2}4+23​x​=24−23​​

3) كتابة العدد ddd على أسط شكل ممكن:

التمرين الثاني: (3 نقاط)

1) تبسيط العدد AAA:

2) حساب مساحة الشكل SSS:

3) التبين أن CA=210 cmCA = 2\sqrt{10} \text{ cm}CA=210​ cm:

التمرين الثالث: (3 نقاط)

1) إنشاء الشكل وحساب الطول ACACAC:

2) شرح لماذا (ME)(ME)(ME) و (AC)(AC)(AC) متوازيان:

3) حساب الطول BMBMBM:

التمرين الرابع: (3 نقاط)

1) نشر وتبسيط العبارة BBB:

2) حساب القيمة العددية للعبارة BBB من أجل x=72x = \frac{7}{2}x=27​:

3) تحليل العبارة BBB إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

الوضعية الإدماجية: (08 نقاط)

1) حساب الإرتفاع الذي يرى منه الرافعة (الطول EFEFEF):

2) حساب ارتفاع الرافعة (الطول HCHCHC):

3) حساب الزواية التي يرى بها الرافعة (الزاوية HEC^\widehat{HEC}HEC):

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

About this file

Paper #121 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Add « DzMadrassa » as your Preferred Source on Google

المعادلة الأولى: $x^2 - \frac{225}{81} = 0$

المعادلة الثانية: $\frac{x}{4+2\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2}$

3) كتابة العدد $d$ على أسط شكل ممكن:

1) تبسيط العدد $A$ :

2) حساب مساحة الشكل $S$ :

3) التبين أن $CA = 2\sqrt{10} \text{ cm}$ :

1) إنشاء الشكل وحساب الطول $AC$ :

2) شرح لماذا $(ME)$ و $(AC)$ متوازيان:

3) حساب الطول $BM$ :

1) نشر وتبسيط العبارة $B$ :

2) حساب القيمة العددية للعبارة $B$ من أجل $x = \frac{7}{2}$ :

3) تحليل العبارة $B$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

1) حساب الإرتفاع الذي يرى منه الرافعة (الطول $EF$ ):

2) حساب ارتفاع الرافعة (الطول $HC$ ):

3) حساب الزواية التي يرى بها الرافعة (الزاوية $\widehat{HEC}$ ):