📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 124 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول (03 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 2058 و 1050:

💡إضاءة وتنبيه:
لحساب PGCD(2058,1050)\text{PGCD}(2058, 1050) نعتمد خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الأسرع والأقل عرضة للأخطاء الحسابية.

باستخدام خوارزمية القسمات المتتالية:

2058=1050×1+10082058 = 1050 \times 1 + 1008
1050=1008×1+421050 = 1008 \times 1 + 42
1008=42×24+01008 = 42 \times 24 + 0

آخر باقٍ غير معدوم هو 4242.

✅الإجابة النموذجية:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 2058 و 1050 هو:

PGCD(2058,1050)=42\text{PGCD}(2058, 1050) = 42

2) حساب وإختزال العدد G:

العبارة المعطاة هي:

G=(20581050−65)÷13G = \left( \frac{2058}{1050} - \frac{6}{5} \right) \div \frac{1}{3}

نختزل الكسر 20581050\frac{2058}{1050} أولاً بختزاله على PGCD(2058,1050)=42\text{PGCD}(2058, 1050) = 42:

20581050=2058÷421050÷42=4925\frac{2058}{1050} = \frac{2058 \div 42}{1050 \div 42} = \frac{49}{25}

نعوض الكسر المختزل في العبارة GG:

G=(4925−65)÷13G = \left( \frac{49}{25} - \frac{6}{5} \right) \div \frac{1}{3}

نوحد المقامات داخل القوسين:

65=6×55×5=3025\frac{6}{5} = \frac{6 \times 5}{5 \times 5} = \frac{30}{25}
G=(4925−3025)÷13G = \left( \frac{49}{25} - \frac{30}{25} \right) \div \frac{1}{3}
G=1925÷13G = \frac{19}{25} \div \frac{1}{3}

لقسمة كسرين نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

G=1925×31=19×325×1=5725G = \frac{19}{25} \times \frac{3}{1} = \frac{19 \times 3}{25 \times 1} = \frac{57}{25}
✅الإجابة النموذجية:

قيمة العدد GG مكتوبة على شكل كسر غير قابل للاختزال هي:

G=5725G = \frac{57}{25}
📌

التمرين الثاني (03 نقاط)

1) كتابة العدد A على الشكل aba\sqrt{b}:

العبارة المعطاة:

A=375−527+23A = 3\sqrt{75} - 5\sqrt{27} + 2\sqrt{3}

نحلل الأعداد تحت الراديكال (الجذر) إلى جذاء يكون أحدهما مربعاً تاماً:

75=25×3=52×375 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3
27=9×3=32×327 = 9 \times 3 = 3^2 \times 3

بالتعويض في العبارة AA:

A=325×3−59×3+23A = 3\sqrt{25 \times 3} - 5\sqrt{9 \times 3} + 2\sqrt{3}
A=3×53−5×33+23A = 3 \times 5\sqrt{3} - 5 \times 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}
A=153−153+23A = 15\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 2\sqrt{3}
A=(15−15+2)3=23A = (15 - 15 + 2)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:

كتابة العدد AA على الشكل aba\sqrt{b} هي:

A=23A = 2\sqrt{3}

حيث a=2a = 2 و b=3b = 3.

2) جعل مقام النسبة B عدداً ناطقاً:

العبارة المعطاة:

B=3−13B = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}

لنقلب المقام إلى عدد ناطق، نضرب كل من البسط والمقام في 3\sqrt{3}:

B=(3−1)×33×3B = \frac{(\sqrt{3} - 1) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}
B=3×3−1×33B = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 1 \times \sqrt{3}}{3}
B=3−33B = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}
✅الإجابة النموذجية:

النسبة BB بمقام ناطق هي:

B=3−33B = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}

3) تبيان أن H عدد طبيعي:

العبارة المعطاة:

H=A2+3BH = \frac{A}{2} + 3B

نعوض بقيمة A=23A = 2\sqrt{3} وقيمة B=3−33B = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}:

H=232+3(3−33)H = \frac{2\sqrt{3}}{2} + 3 \left( \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \right)

نختزل العدد 22 في الحد الأول، والعدد 33 في الحد الثاني:

H=3+(3−3)H = \sqrt{3} + (3 - \sqrt{3})
H=3−3+3=3H = \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3 = 3
✅الإجابة النموذجية:

النتيجة هي H=3H = 3، وبما أن 3∈N3 \in \mathbb{N}، فإن HH عدد طبيعي.

📌

التمرين الثالث (2.5 نقطة)

البرهان على أن (KL)//(MN)(KL) // (MN):

💡إضاءة وتنبيه:
للبرهان على التوازي باستعمال الخاصية العكسية لخاصية طالس، يجب التأكد من:

1. تساوي النسبتين RKRN\frac{RK}{RN} و RLRM\frac{RL}{RM}.

2. استقامية النقط وترتيبها بنفس النظام (K,R,N)(K, R, N) و (L,R,M)(L, R, M).

المعطيات:

ML=29 cmML = 29\text{ cm}
RL=9 cmRL = 9\text{ cm}
RN=7 cmRN = 7\text{ cm}
RK=3,15 cmRK = 3,15\text{ cm}

أولاً: حساب الطول RMRM:

بما أن النقط M,R,LM, R, L على استقامة واحدة بهذا الترتيب:

RM=ML−RL=29−9=20 cmRM = ML - RL = 29 - 9 = 20\text{ cm}

ثانياً: حساب ومقارنة النسبتين:

1. نسبة الطولين الأولى:

RKRN=3,157=0,45\frac{RK}{RN} = \frac{3,15}{7} = 0,45

2. نسبة الطولين الثانية:

RLRM=920=0,45\frac{RL}{RM} = \frac{9}{20} = 0,45

نلاحظ أن:

RKRN=RLRM=0,45\frac{RK}{RN} = \frac{RL}{RM} = 0,45

وبما أن النقط K,R,NK, R, N والنقط L,R,ML, R, M في استقامية وبنفس الترتيب.

✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لخاصية طالس، فإن المستقيَمين متوازيان:

(KL)//(MN)(KL) // (MN)
📌

التمرين الرابع (3.5 نقاط)

العبارة الجبرية المعطاة:

E=(x+3)(9x−3)−(4x+3)2E = (x + 3)(9x - 3) - (4x + 3)^2

1) نشر وتبسيط العبارتين الفرعيتين:

نشر وتبسيط العبارة الأولى (x+3)(9x−3)(x + 3)(9x - 3):
(x+3)(9x−3)=x(9x)+x(−3)+3(9x)+3(−3)(x + 3)(9x - 3) = x(9x) + x(-3) + 3(9x) + 3(-3)
=9x2−3x+27x−9= 9x^2 - 3x + 27x - 9
=9x2+24x−9= 9x^2 + 24x - 9
نشر وتبسيط العبارة الثانية (4x+3)2(4x + 3)^2:

باستخدام المتطابقة الشهيرة الأولى (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:

(4x+3)2=(4x)2+2(4x)(3)+(3)2(4x + 3)^2 = (4x)^2 + 2(4x)(3) + (3)^2
=16x2+24x+9= 16x^2 + 24x + 9

2) استنتاج أن E=−7x2−18E = -7x^2 - 18:

نعوض نتيجتي النشر في العبارة الأصلية EE:

E=(9x2+24x−9)−(16x2+24x+9)E = (9x^2 + 24x - 9) - (16x^2 + 24x + 9)

نحذف الأقواس مع تغيير إشارات الحدود داخل القوس الثاني المسبوق بإشارة ناقص:

E=9x2+24x−9−16x2−24x−9E = 9x^2 + 24x - 9 - 16x^2 - 24x - 9

نجمع الحدود المتشابهة:

E=(9x2−16x2)+(24x−24x)+(−9−9)E = (9x^2 - 16x^2) + (24x - 24x) + (-9 - 9)
E=−7x2+0x−18E = -7x^2 + 0x - 18
E=−7x2−18E = -7x^2 - 18
✅الإجابة النموذجية:

وهو المطلوب استنتاجه: E=−7x2−18E = -7x^2 - 18.

حل المعادلة E=−81E = -81:

نعوض العبارة المبسطة لـ EE:

−7x2−18=−81-7x^2 - 18 = -81
−7x2=−81+18-7x^2 = -81 + 18
−7x2=−63-7x^2 = -63
x2=−63−7x^2 = \frac{-63}{-7}
x2=9x^2 = 9

بما أن 9>09 > 0، فإن المعادلة تقبل حلين متعاكسين هما:

x=9=3أوx=−9=−3x = \sqrt{9} = 3 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{9} = -3
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة E=−81E = -81 حلّان هما:

x1=3وx2=−3x_1 = 3 \quad \text{و} \quad x_2 = -3
📌

الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

الجزء الأول: إثبات توازن الهيكل

💡إضاءة وتنبيه:
يتوازن الهيكل إذا تحقق الشرط (AE)⊥(HB)(AE) \perp (HB). بما أن النقطة MM هي نقطة تقاطع (AE)(AE) و (HB)(HB)، فهذا يعني إثبات أن المثلث AMBAMB قائم في MM.

في المثلث AMBAMB، لدينا أطوال الأضلاع التالية:

AB=20 dmAB = 20\text{ dm} (أطول ضلع)
AM=16 dmAM = 16\text{ dm}
MB=12 dmMB = 12\text{ dm}

نحسب مربع أطول ضلع:

AB2=202=400AB^2 = 20^2 = 400

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

AM2+MB2=162+122=256+144=400AM^2 + MB^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400

نلاحظ أن:

AB2=AM2+MB2=400AB^2 = AM^2 + MB^2 = 400

حسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن المثلث AMBAMB قائم في النقطة MM.

وعليه، فإن المستقيَمين (AE)(AE) و (HB)(HB) متعامدان عند النقطة MM، أي (AE)⊥(HB)(AE) \perp (HB).

✅الإجابة النموذجية:

بما أن (AE)⊥(HB)(AE) \perp (HB)، تحقق شرط التوازن المبين في نص المسألة، وبذلك الهيكل متوازن.

الجزء الثاني: حساب طول الهيكل الخارجي (ACDEFG)(ACDEFG)

المحيط الخارجي للهيكل يتكون من القطع: AC+CD+DE+EF+FG+GAAC + CD + DE + EF + FG + GA.

بما أن المستقيَم (AE)(AE) هو محور تناظر الهيكل، فإن:

GA=ACGA = AC
FG=CDFG = CD
EF=DEEF = DE

وعليه فإن الطول الإجمالي للهيكل الخارجي يعطى بالعبارة:

L=2×(AC+CD+DE)L = 2 \times (AC + CD + DE)

1) حساب الطول ACAC:

في المثلث AECAEC:

لدينا (MB)⊥(AE)(MB) \perp (AE) (لأن المثلث AMBAMB قائم في MM).
ولدينا (EC)⊥(AE)(EC) \perp (AE) (لأن (AE)(AE) محور التناظر متعامد مع الخطوط الأفقية).

إذن (MB)//(EC)(MB) // (EC) لأنهما عموديان على نفس المستقيم (AE)(AE).

تطبيق خاصية طالس في المثلث AECAEC حيث النقط A,M,EA, M, E والنقط A,B,CA, B, C على استقامة واحدة:

AMAE=ABAC=MBEC\frac{AM}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{MB}{EC}

نعوض الأطوال المعلومة (AB=20AB = 20، MB=12MB = 12، EC=18,75EC = 18,75):

20AC=1218,75\frac{20}{AC} = \frac{12}{18,75}

نستخرج الطول ACAC:

AC=20×18,7512=37512=31,25 dmAC = \frac{20 \times 18,75}{12} = \frac{375}{12} = 31,25\text{ dm}

2) حساب الطولين DEDE و CDCD:

في المثلث DECDEC القائم في EE:

الزاوية EDC^=64∘\widehat{EDC} = 64^\circ
الضلع المقابل للزاوية EDC^\widehat{EDC} هو EC=18,75 dmEC = 18,75\text{ dm}
حساب الطول DEDE (الضلع المجاور):

باستخدام الظل (tan⁡\tan):

tan⁡(EDC^)=المقابلالمجاور=ECDE\tan(\widehat{EDC}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{EC}{DE}
tan⁡(64∘)=18,75DE\tan(64^\circ) = \frac{18,75}{DE}
DE=18,75tan⁡(64∘)≈18,752,0503≈9,1449 dmDE = \frac{18,75}{\tan(64^\circ)} \approx \frac{18,75}{2,0503} \approx 9,1449\text{ dm}

بالتدوير إلى 0,010,01 نجد:

DE≈9,14 dmDE \approx 9,14\text{ dm}
حساب الطول CDCD (الوتر):

باستخدام الجيب (sin⁡\sin):

sin⁡(EDC^)=المقابلالوتر=ECCD\sin(\widehat{EDC}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{EC}{CD}
sin⁡(64∘)=18,75CD\sin(64^\circ) = \frac{18,75}{CD}
CD=18,75sin⁡(64∘)≈18,750,8988≈20,861 dmCD = \frac{18,75}{\sin(64^\circ)} \approx \frac{18,75}{0,8988} \approx 20,861\text{ dm}

بالتدوير إلى 0,010,01 نجد:

CD≈20,86 dmCD \approx 20,86\text{ dm}

3) حساب الطول الإجمالي للهيكل الخارجي ACDEFGACDEFG:

نجمع الأطوال للجهة اليمنى:

AC+CD+DE=31,25+20,86+9,14=61,25 dmAC + CD + DE = 31,25 + 20,86 + 9,14 = 61,25\text{ dm}

نضرب في 22 بسبب التناظر حول (AE)(AE):

L=2×61,25=122,5 dmL = 2 \times 61,25 = 122,5\text{ dm}
✅الإجابة النموذجية:

طول الهيكل الخارجي ACDEFGACDEFG هو:

L=122,5 dmL = 122,5\text{ dm}