باستخدام خوارزمية القسمات المتتالية:

آخر باقٍ غير معدوم هو $4242$.

القاسم المشترك الأكبر للعددين 2058 و 1050 هو:

العبارة المعطاة هي:

نختزل الكسر $\frac{2058}{1050}\backslash frac\{2058\}\{1050\}$ أولاً بختزاله على $\text{PGCD}(2058,1050)=42\backslash text\{PGCD\}(2058,\; 1050)\; =\; 42$:

نعوض الكسر المختزل في العبارة $GG$:

نوحد المقامات داخل القوسين:

لقسمة كسرين نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

قيمة العدد $GG$ مكتوبة على شكل كسر غير قابل للاختزال هي:

العبارة المعطاة:

نحلل الأعداد تحت الراديكال (الجذر) إلى جذاء يكون أحدهما مربعاً تاماً:

بالتعويض في العبارة $AA$:

كتابة العدد $AA$ على الشكل $a\sqrt{b}a\backslash sqrt\{b\}$ هي:

حيث $a=2a\; =\; 2$ و $b=3b\; =\; 3$.

العبارة المعطاة:

لنقلب المقام إلى عدد ناطق، نضرب كل من البسط والمقام في $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$:

النسبة $BB$ بمقام ناطق هي:

العبارة المعطاة:

نعوض بقيمة $A=2\sqrt{3}A\; =\; 2\backslash sqrt\{3\}$ وقيمة $B=\frac{3-\sqrt{3}}{3}B\; =\; \backslash frac\{3\; -\; \backslash sqrt\{3\}\}\{3\}$:

نختزل العدد $22$ في الحد الأول، والعدد $33$ في الحد الثاني:

النتيجة هي $H=3H\; =\; 3$، وبما أن $3\in \mathbb{N}3\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$، فإن $HH$ عدد طبيعي.

1. تساوي النسبتين $\frac{RK}{RN}\backslash frac\{RK\}\{RN\}$ و $\frac{RL}{RM}\backslash frac\{RL\}\{RM\}$.

2. استقامية النقط وترتيبها بنفس النظام $(K,R,N)(K,\; R,\; N)$ و $(L,R,M)(L,\; R,\; M)$.

المعطيات:

أولاً: حساب الطول $RMRM$:

بما أن النقط $M,R,LM,\; R,\; L$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب:

ثانياً: حساب ومقارنة النسبتين:

1. نسبة الطولين الأولى:

2. نسبة الطولين الثانية:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $K,R,NK,\; R,\; N$ والنقط $L,R,ML,\; R,\; M$ في استقامية وبنفس الترتيب.

حسب الخاصية العكسية لخاصية طالس، فإن المستقيَمين متوازيان:

العبارة الجبرية المعطاة:

باستخدام المتطابقة الشهيرة الأولى $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2(a\; +\; b)^2\; =\; a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2$:

نعوض نتيجتي النشر في العبارة الأصلية $EE$:

نحذف الأقواس مع تغيير إشارات الحدود داخل القوس الثاني المسبوق بإشارة ناقص:

نجمع الحدود المتشابهة:

وهو المطلوب استنتاجه: $E=-7x^2-18E\; =\; -7x^2\; -\; 18$.

نعوض العبارة المبسطة لـ $EE$:

بما أن $9>09\; >\; 0$، فإن المعادلة تقبل حلين متعاكسين هما:

للمعادلة $E=-81E\; =\; -81$ حلّان هما:

في المثلث $AMBAMB$، لدينا أطوال الأضلاع التالية:

نحسب مربع أطول ضلع:

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

نلاحظ أن:

حسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن المثلث $AMBAMB$ قائم في النقطة $MM$.

وعليه، فإن المستقيَمين $(AE)(AE)$ و $(HB)(HB)$ متعامدان عند النقطة $MM$، أي $(AE)\perp (HB)(AE)\; \backslash perp\; (HB)$.

بما أن $(AE)\perp (HB)(AE)\; \backslash perp\; (HB)$، تحقق شرط التوازن المبين في نص المسألة، وبذلك الهيكل متوازن.

المحيط الخارجي للهيكل يتكون من القطع: $AC+CD+DE+EF+FG+GAAC\; +\; CD\; +\; DE\; +\; EF\; +\; FG\; +\; GA$.

بما أن المستقيَم $(AE)(AE)$ هو محور تناظر الهيكل، فإن:

وعليه فإن الطول الإجمالي للهيكل الخارجي يعطى بالعبارة:

في المثلث $AECAEC$:

إذن $(MB)\mathrm{/}\mathrm{/}(EC)(MB)\; //\; (EC)$ لأنهما عموديان على نفس المستقيم $(AE)(AE)$.

تطبيق خاصية طالس في المثلث $AECAEC$ حيث النقط $A,M,EA,\; M,\; E$ والنقط $A,B,CA,\; B,\; C$ على استقامة واحدة:

نعوض الأطوال المعلومة ($AB=20AB\; =\; 20$، $MB=12MB\; =\; 12$، $EC=18,75EC\; =\; 18,75$):

نستخرج الطول $ACAC$:

في المثلث $DECDEC$ القائم في $EE$:

باستخدام الظل ($\tan \backslash tan$):

بالتدوير إلى $0,010,01$ نجد:

باستخدام الجيب ($\sin \backslash sin$):

بالتدوير إلى $0,010,01$ نجد:

نجمع الأطوال للجهة اليمنى:

نضرب في $22$ بسبب التناظر حول $(AE)(AE)$:

طول الهيكل الخارجي $ACDEFGACDEFG$ هو: