لدينا الأعداد التالية:

للبرهان على أن العبّارة الجذرية تبسط إلى عدد طبيعي، نستخدم الخواص الجبرية للجذور التربيعية وخاصة القاعدة: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$.

بما أن $\sqrt{16} = 4$، فإن:

العدد $A = 12$، وهو عدد طبيعي.

نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذر إلى حاصل ضرب عددين أحدهما مربع تام والآخر هو $3$:

كتابة $B$ على الشكل $a\sqrt{3}$ هي: $B = 6\sqrt{3}$ (حيث $a = 6$).

نعوض قيمتي $A$ و $B$ المحسوبتين سابقاً:

نختزل الكسر على $6$:

لجعل مقام النسبية عدداً ناطقاً، نضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

تم الإثبات بنجاح أن: $\frac{A}{B} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

لتكن العبارة الجبرية $E$ حيث:

نقوم بنشر المتطابقة الشهيرة الأولى $(x+1)^2$ ثم نشر الجداء $(x+1)(2x - 3)$:

نعوض في العبارة $E$:

نقوم بإزالة الأقواس مع تغيير إشارات ما داخل القوس الثاني السابِق بإشارة سالبة:

نجمع الحدود المتشابهة:

العبارة المبسطة هي: $E = -x^2 + 3x + 4$.

نلاحظ وجود العامل المشترك $(x+1)$ في كلا الحدين:

تبسيط ما داخل العارضتين:

التحليل إلى جداء عاملين هو: $E = (x+1)(-x + 4)$.

نعوض العبارة المحللة:

معادلة الجداء المعدوم تعني أن:

حلول المعادلة $E = 0$ هي القيمتان: $x = -1$ و $x = 4$.

مجموعة الحلول تكتب: $S = \{-1\,;\, 4\}$.

معطيات التمرين:

$AB = 6\text{ cm}$، $AM = 18\text{ cm}$، $AC = 8\text{ cm}$، $AN = 24\text{ cm}$، $MN = 30\text{ cm}$.

النقط $A, B, M$ في استقامية، والنقط $A, C, N$ في استقامية.

للإجابة بفرع إثبات نوع المثلث، ندرس أولاً المثلث الكبير $AMN$ لمعرفة الزاوية عند الرأس $A$، ثم نستغل التقابل بالرأس لنقل الزاوية القائمة إلى المثلث $ABC$.

في المثلث $AMN$:

بما أن $MN^2 = AM^2 + AN^2$، فحسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث $AMN$ قائم في $A$، أي أن الزاوية $\widehat{MAN} = 90^\circ$.

وبما أن النقط $M, A, B$ والنقط $N, A, C$ على استقامة واحدة متقاطعة في $A$، فإن الزاويتين $\widehat{BAC}$ و $\widehat{MAN}$ متقابلتان بالرأس، وبالتالي:

المثلث $ABC$ هو مثلث قائم في النقطة $A$.

في المثلث القائم $ABC$ في $A$، وبتقبيق خاصية فيثاغورس:

نعوض بالأطوال المعلومة:

الطول $BC = 10\text{ cm}$.

نحسب النسبتين القائمتين من النقطة $A$:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $A, B, M$ والنقط $A, C, N$ مرتبة بنفس الترتيب وعلى استقامة واحدة، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس:

المستقيمان $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان: $(MN) \parallel (BC)$.

المعطيات: $RST$ مثلث قائم في $R$ فيه: $\sin(\widehat{RTS}) = 0.8$ و $RS = 4\text{ cm}$.

نعلم أن الجيب في المثلث القائم يساوي المقابل على الوتر:

بالتعويض:

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $RST$ في $R$:

الطول $ST = 5\text{ cm}$، والطول $TR = 3\text{ cm}$.

بما أن المستقيم $(\Delta)$ عمودي على $(TR)$ في النقطة $M$، والمستقيم $(RS)$ عمودي على $(TR)$ في النقطة $R$ (لأن المثلث قائم في $R$)؛

فإن المستقيمين $(\Delta)$ و $(RS)$ متعامدان على نفس المستقيم $(TR)$، مما يعني أنهما متوازيان:

بتطبيق خاصية طاليس على المثلثين $TMN$ و $TRS$:

نعوض بالأطوال المعلومة:

ومنهم:

الرقم الأول بعد الفاصلة هو $3$ (أصغر من $5$)، بالتالي بالتدوير إلى الوحدة نجد:

الطول $MN$ بالتدوير إلى الوحدة هو $5\text{ cm}$.

المعطيات الخاصة بقطعة الأرض والمشروع:

المسافة بين الأشجار يجب أن تقسم كلاً من الطول والعرض بدون باقٍ، وبما أن هذه المسافة أكبر ما يمكن، فهذا يعني أنها تساوي القاسم المشترك الأكبر للبعدين $72$ و $42$.

المسافة $d = \text{PGCD}(72, 42)$.

نستخدم خوارزمية الفروق المتتالية أو خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقي غير معدوم هو $6$.

إذن: $\text{PGCD}(72, 42) = 6$.

المسافة بين كل شجرة وأخرى هي $6\text{ m}$.

لحساب عدد الأشجار الشامل للمحيط، نحسب محيط المزرعة المستطيلة $P$ ثم نقسمه على المسافة بين الشجرتين $d$:

عدد الأشجار $N$:

عدد الأشجار اللازمة لغرس المزرعة هو $38\text{ شجرة}$.

الكتابة العلمية لعدد هي كتابته على الشكل $a \times 10^n$ حيث $1 \le |a| < 10$ و $n$ عدد صحيح نسبي.

تكلفة التشجير الكلية هي $41400\text{ DA}$، وتكتب علمياً بالشكل: $4.14 \times 10^4\text{ DA}$.

بما أن كيس السماد الواحد يكفي لتسميد مساحة قدرها $24\text{ m}^2$، فإن عدد الأكياس اللازمة $K$ هو:

يلزم العم عيسى لتسميد أرضه المزرعة $126$ كيساً من السماد.