Le document Paper #110 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am contient-il un corrigé ?

Oui, ce document est disponible avec son corrigé et barème officiel en téléchargement PDF gratuit sur DzMadrassa.

Comment télécharger ce sujet en PDF ?

Vous pouvez télécharger le document en format PDF imprimable directement via le bouton de téléchargement sur DzMadrassa.

Est-il possible de faire un quiz interactif ?

Oui, DzMadrassa propose des quiz interactifs pour tester vos connaissances avec correction immédiate.

Paper #110 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

PDFCorrigé IA2023Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet avec corrigé détaillé en format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 110 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول

1. هل العددان 4368 و 2548 أوليان فيما بينهما؟ مع التعليل

💡إضاءة وتنبيه:

يكون العددان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1 ( $\text{PGCD}(a, b) = 1$ ). إذا وجد قاسم مشترك آخر غير 1، فالعددان ليسا أوليين فيما بينهما.

✅الإجابة النموذجية:

العددان 4368 و 2548 ليسا أوليين فيما بينهما.

التعليل: كلاً من العددين 4368 و 2548 عدد زوجي (آحادهما 8)، وبالتالي يتقابلان القسمة على 2، مما يعني أن لهما قاسماً مشتركاً يختلف عن 1، أي أن $\text{PGCD}(4368, 2548) \neq 1$ .

2. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين $\text{PGCD}(2548, 4368)$

تطبيق خوارزمية قسمات إقليدس (القسمات المتتالية):

4368 = 2548 \times 1 + 1820

2548 = 1820 \times 1 + 728

1820 = 728 \times 2 + 364

728 = 364 \times 2 + 0

✅الإجابة النموذجية:

آخر باقي غير معدوم في خوارزمية إقليدس هو 364.

إذن:

\text{PGCD}(2548, 4368) = 364

3. كتابة العدد $A$ على شكل كسر غير قابل للاختزال

لدينا العبارة:

A = 2 - \left( \frac{2548}{4368} \right)^2 \times \frac{12}{49}

الخطوة الأولية: اختزال الكسر $\frac{2548}{4368}$ بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر 364:

\frac{2548 \div 364}{4368 \div 364} = \frac{7}{12}

التعويض في العبارة $A$ :

$A = 2 - \left( \frac{7}{12} \right)^2 \times \frac{12}{49}$

$A = 2 - \left( \frac{7^2}{12^2} \right) \times \frac{12}{49}$

$A = 2 - \frac{49}{144} \times \frac{12}{49}$

نختزل العدد 49 من البسط والمقام:

$A = 2 - \frac{12}{144}$

نختزل الكسر $\frac{12}{144}$ بقسمة البسط والمقام على 12:

$A = 2 - \frac{1}{12}$

نوحد المقامات:

$A = \frac{2 \times 12}{12} - \frac{1}{12} = \frac{24 - 1}{12} = \frac{23}{12}$

✅الإجابة النموذجية:

$A = \frac{23}{12}$

📌

التمرين الثاني

1. كتابة العدد $B$ على شكل $a\sqrt{5}$ حيث $a$ عدد ناطق

لدينا العبارة:

$B = \sqrt{125} - \sqrt{245} - \sqrt{180}$

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء جذاءين أحدهما مربع تام والآخر 5:

$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

$\sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = \sqrt{49} \times \sqrt{5} = 7\sqrt{5}$

$\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

بالتعويض في $B$ :

$B = 5\sqrt{5} - 7\sqrt{5} - 6\sqrt{5}$

$B = (5 - 7 - 6)\sqrt{5}$

$B = -8\sqrt{5}$

✅الإجابة النموذجية:

$B = -8\sqrt{5} \quad \text{حيث } a = -8$

2. نشر وتبسيط العدد $C$

لدينا العبارة:

$C = (\sqrt{3} - 4)(2\sqrt{3} - 5)$

تطبيق خاصية التوزيع:

$C = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \times 5 - 4 \times 2\sqrt{3} + 4 \times 5$

$C = 2 \times (\sqrt{3})^2 - 5\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 20$

$C = 2 \times 3 - (5 + 8)\sqrt{3} + 20$

$C = 6 - 13\sqrt{3} + 20$

$C = 26 - 13\sqrt{3}$

✅الإجابة النموذجية:

$C = 26 - 13\sqrt{3}$

3. جعل مقام النسبة $\frac{B - 2}{\sqrt{5}}$ عدداً ناطقاً

نعوض $B = -8\sqrt{5}$ في النسبة:

$\frac{B - 2}{\sqrt{5}} = \frac{-8\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5}}$

نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{5}$ :

$\frac{(-8\sqrt{5} - 2) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{-8(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}}{5}$

$= \frac{-8 \times 5 - 2\sqrt{5}}{5} = \frac{-40 - 2\sqrt{5}}{5}$

✅الإجابة النموذجية:

$\frac{B - 2}{\sqrt{5}} = \frac{-40 - 2\sqrt{5}}{5}$

📌

التمرين الثالث

المعطيات:

$(AB) // (EF)$

$AB = 24\text{ cm}$ ، $BC = 7\text{ cm}$ ، $BD = 8\text{ cm}$ ، $BO = 21\text{ cm}$ ، $OE = 12\text{ cm}$ ، $OF = 14\text{ cm}$ .

1. حساب الطولين $OA$ و $EF$

بما أن المستقيمين $(AE)$ و $(BF)$ يتقاطعان في النقطة $O$ ، والمستقيمين $(AB)$ و $(EF)$ متوازيان $(AB) // (EF)$ ، فحسب خاصية طاليس نكتب تناسبية الأطوال:

$\frac{OA}{OE} = \frac{OB}{OF} = \frac{AB}{EF}$

بالتعويض بالقيم المعلومة:

$\frac{OA}{12} = \frac{21}{14} = \frac{24}{EF}$

حساب الطول $OA$ :

$OA = \frac{12 \times 21}{14} = \frac{252}{14} = 18\text{ cm}$

حساب الطول $EF$ :

$EF = \frac{24 \times 14}{21} = \frac{336}{21} = 16\text{ cm}$

✅الإجابة النموذجية:

$OA = 18\text{ cm} \quad \text{و} \quad EF = 16\text{ cm}$

2. هل المستقيمان $(AO)$ و $(DC)$ متوازيان؟ مع التعليل

لنقرر توازي المستقيمين $(AO)$ و $(DC)$ في المثلث $ABO$ ، نحسب ونقارن النسبتين انطلاقاً من الرأس $B$ :

1. النسبة الأولى:

$\frac{BD}{BA} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

2. النسبة الثانية:

$\frac{BC}{BO} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$

نلاحظ أن:

$\frac{BD}{BA} = \frac{BC}{BO} = \frac{1}{3}$

وبما أن النقاط $B, D, A$ والنقاط $B, C, O$ مرتبة بنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين $(AO)$ و $(DC)$ متوازيان.

✅الإجابة النموذجية:

نعم، المستقيمان $(AO)$ و $(DC)$ متوازيان.

📌

التمرين الرابع

المعطيات من الشكل:

المثلث $SFE$ قائم في $S$ .

الطول $SE = 8\text{ cm}$ .

قيس الزاوية $\widehat{SFE} = 25^\circ$ .

حساب الطولين $SF$ و $EF$ بالتدوير إلى الوحدة

💡إضاءة وتنبيه:

في المثلث القائم:

$\tan(\text{الزاوية}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}$

$\sin(\text{الزاوية}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}$

1. حساب الطول $SF$ :

في المثلث القائم $SFE$ :

$\tan(\widehat{SFE}) = \frac{SE}{SF}$

$\tan(25^\circ) = \frac{8}{SF}$

$SF = \frac{8}{\tan(25^\circ)} \approx \frac{8}{0.4663} \approx 17.15\text{ cm}$

بالتدوير إلى الوحدة (الأقرب للعدد الصحيح):

$SF \approx 17\text{ cm}$

2. حساب الطول $EF$ :

في المثلث القائم $SFE$ :

$\sin(\widehat{SFE}) = \frac{SE}{EF}$

$\sin(25^\circ) = \frac{8}{EF}$

$EF = \frac{8}{\sin(25^\circ)} \approx \frac{8}{0.4226} \approx 18.93\text{ cm}$

بالتدوير إلى الوحدة:

$EF \approx 19\text{ cm}$

✅الإجابة النموذجية:

$SF \approx 17\text{ cm}$

$EF \approx 19\text{ cm}$

📌

الوضعية الإدماجية

الجزء الأول

1. حساب الطول $AS$ (طول السند):

العمارة ممتدة عمودياً على سطح الأرض، إذن المثلث $ABS$ قائم في $B$ .

معطيات الشكل:

$AB = 4.5\text{ m}$ (المسافة على الأرض)

$SB = 15\text{ m}$ (ارتفاع العمارة)

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $ABS$ :

$AS^2 = AB^2 + SB^2$

$AS^2 = (4.5)^2 + (15)^2$

$AS^2 = 20.25 + 225 = 245.25$

$AS = \sqrt{245.25} \approx 15.66\text{ m}$

✅الإجابة النموذجية:

طول السند $AS$ هو $15.66\text{ m}$ (أو بالتدوير إلى الوحدة: $16\text{ m}$ ).

2. حساب الطولين $SN$ و $SM$ :

حساب الطول $SN$ :

النقطة $N$ تقع على الضلع العمودي للعمارة على ارتفاع $NB = 2.8\text{ m}$ من الأرض، والارتفاع الكلي هو $SB = 15\text{ m}$ :

$SN = SB - NB = 15 - 2.8 = 12.2\text{ m}$

حساب الطول $SM$ :

باستخدام التناسبية مع طول السند الإجمالي $SA \approx 15.66\text{ m}$ :

$SM = SA \times \frac{SN}{SB} = 15.66 \times \frac{12.2}{15} \approx 12.74\text{ m}$

✅الإجابة النموذجية:

$SN = 12.2\text{ m}$

$SM \approx 12.74\text{ m}$

3. البرهان أن المستقيم $(MN)$ موازي للأرض (المستقيم $(AB)$ ):

نحسب ونقارن النسبتين انطلاقاً من قمة العمارة $S$ :

$\frac{SN}{SB} = \frac{12.2}{15} \approx 0.8133$

$\frac{SM}{SA} = \frac{12.74}{15.66} \approx 0.8135$

بما أن النسبتين متساويتان:

$\frac{SN}{SB} = \frac{SM}{SA}$

والنقاط $S, N, B$ و $S, M, A$ مرتبة بنفس الترتيب على الاستقامة، فإنه بحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيم $(MN)$ يوازي المستقيم $(AB)$ (أي موازي للأرض).

4. حساب $\tan \alpha$ واستنتاج قيمة الزاوية $\alpha$ :

في المثلث القائم $ABS$ عند القاعدة $A$ :

$\tan \alpha = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{SB}{AB}$

$\tan \alpha = \frac{15}{4.5} = \frac{10}{3} \approx 3.33$

استنتاج قيمة الزاوية $\alpha$ بالضغط على زر $\tan^{-1}(3.33)$ :

$\alpha \approx 73.3^\circ$

بالتدوير إلى الوحدة:

$\alpha \approx 73^\circ$

✅الإجابة النموذجية:

$\tan \alpha = 3.33$

قيمة الزاوية $\alpha$ بالتدوير إلى الوحدة هي $73^\circ$ .

الجزء الثاني

1. ما هو عدد العمارات التي بدأ العمال بترميمها؟

يريد المقاول توزيع العمال (240 بناء و 84 دهاناً) على أكبر عدد من العمارات بالتساوي وبدون بقاء أي عامل.

هذا العدد يمثل القاسم المشترك الأكبر للعددين 240 و 84، أي $\text{PGCD}(240, 84)$ .

تطبيق خوارزمية إقليدس:

$240 = 84 \times 2 + 72$

$84 = 72 \times 1 + 12$

$72 = 12 \times 6 + 0$

آخر باقي غير معدوم هو 12.

$\text{PGCD}(240, 84) = 12$

✅الإجابة النموذجية:

عدد العمارات التي بدأ العمال بترميمها هو 12 عمارة.

2. ما هو عدد عمال الطلاء وعدد عمال البناء في كل عمارة؟

عدد عمال البناء في كل عمارة:

$240 \div 12 = 20 \text{ بناءً}$

عدد عمال الطلاء (الدهانين) في كل عمارة:

$84 \div 12 = 7 \text{ دهانين}$

✅الإجابة النموذجية:

يوجد في كل عمارة 20 بناءً و 7 دهانين (بإجمالي 27 عاملاً لكل عمارة).

3. حساب تكلفة ترميم كل عمارة:

المعطيات:

عدد العمال في العمارة الواحدة = $20 + 7 = 27 \text{ عاملاً}$ .

يومية العامل الواحد = $500\text{ دج}$ .

ثمن المواد لكل عمارة = $17000\text{ دج}$ .

عدد أيام العمل = $15 \text{ يوماً}$ .

الخطوات الحسابية:

1. حساب مصاريف أجور العمال لليوم الواحد في العمارة الواحدة:

$27 \times 500 = 13500\text{ دج/يوم}$

2. حساب إجمالي أجور العمال خلال 15 يوماً للعمارة الواحدة:

$13500 \times 15 = 202500\text{ دج}$

3. حساب التكلفة الإجمالية لترميم العمارة الواحدة:

$\text{التكلفة الإجمالية} = \text{أجور العمال} + \text{ثمن المواد}$

$\text{التكلفة الإجمالية} = 202500 + 17000 = 219500\text{ دج}$

✅الإجابة النموذجية:

تكلفة ترميم كل عمارة هي $219500\text{ دج}$ (مائتان وتسعة عشر ألفاً وخمسماية دينار جزائري).

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

About this file

Sujet n° 110 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Verified by Teachers

Enseignement moyen-4ème Année Moyenne-Mathématiques

Sujet n° 110 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Google Preferred SourcesNouveauté

Ajoutez « DzMadrassa » comme source préférée sur Google

En un clic, accédez en priorité aux sujets, corrigés et cours de DzMadrassa dans les résultats de recherche Google et AI Overviews.

⭐ Ajouter en source préférée

Paper #110 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 110 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول

1. هل العددان 4368 و 2548 أوليان فيما بينهما؟ مع التعليل

2. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين PGCD(2548,4368)\text{PGCD}(2548, 4368)PGCD(2548,4368)

3. كتابة العدد AAA على شكل كسر غير قابل للاختزال

التمرين الثاني

1. كتابة العدد BBB على شكل a5a\sqrt{5}a5​ حيث aaa عدد ناطق

2. نشر وتبسيط العدد CCC

3. جعل مقام النسبة B−25\frac{B - 2}{\sqrt{5}}5​B−2​ عدداً ناطقاً

التمرين الثالث

1. حساب الطولين OAOAOA و EFEFEF

2. هل المستقيمان (AO)(AO)(AO) و (DC)(DC)(DC) متوازيان؟ مع التعليل

التمرين الرابع

حساب الطولين SFSFSF و EFEFEF بالتدوير إلى الوحدة

1. حساب الطول SFSFSF:

2. حساب الطول EFEFEF:

الوضعية الإدماجية

الجزء الأول

1. حساب الطول ASASAS (طول السند):

2. حساب الطولين SNSNSN و SMSMSM:

3. البرهان أن المستقيم (MN)(MN)(MN) موازي للأرض (المستقيم (AB)(AB)(AB)):

4. حساب tan⁡α\tan \alphatanα واستنتاج قيمة الزاوية α\alphaα:

الجزء الثاني

1. ما هو عدد العمارات التي بدأ العمال بترميمها؟

2. ما هو عدد عمال الطلاء وعدد عمال البناء في كل عمارة؟

3. حساب تكلفة ترميم كل عمارة:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

About this file

Sujet n° 110 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Ajoutez « DzMadrassa » comme source préférée sur Google

2. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين $\text{PGCD}(2548, 4368)$

3. كتابة العدد $A$ على شكل كسر غير قابل للاختزال

1. كتابة العدد $B$ على شكل $a\sqrt{5}$ حيث $a$ عدد ناطق

2. نشر وتبسيط العدد $C$

3. جعل مقام النسبة $\frac{B - 2}{\sqrt{5}}$ عدداً ناطقاً

1. حساب الطولين $OA$ و $EF$

2. هل المستقيمان $(AO)$ و $(DC)$ متوازيان؟ مع التعليل

حساب الطولين $SF$ و $EF$ بالتدوير إلى الوحدة

1. حساب الطول $SF$ :

2. حساب الطول $EF$ :

1. حساب الطول $AS$ (طول السند):

2. حساب الطولين $SN$ و $SM$ :

3. البرهان أن المستقيم $(MN)$ موازي للأرض (المستقيم $(AB)$ ):

4. حساب $\tan \alpha$ واستنتاج قيمة الزاوية $\alpha$ :