📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 123 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول (12 نقطة)

📌

التمرين الأول (03 نقاط)

1) كتابة العدد AA على شكل كسر غير قابل للاختزال

💡إضاءة وتنبيه:
لكتابة كسر على شكل كسر غير قابل للاختزال في مرحلة واحدة، نقسم كلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما PGCD(352,308)\text{PGCD}(352, 308).

لحساب PGCD(352,308)\text{PGCD}(352, 308) نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

352=308×1+44352 = 308 \times 1 + 44
308=44×7+0308 = 44 \times 7 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم هو 4444، فإن:

PGCD(352,308)=44\text{PGCD}(352, 308) = 44

نقسم بسط ومقام الكسر AA على 4444:

A=308÷44352÷44A = \frac{308 \div 44}{352 \div 44}
✅الإجابة النموذجية:
A=78A = \frac{7}{8}

2) حساب العدد BB ثم تبسيطه

لدينا العبارة:

B=78+14×36B = \frac{7}{8} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{6}

تطبيق أولوية العمليات (أولوية الضرب قبل الجمع):

14×36=1×34×6=324\frac{1}{4} \times \frac{3}{6} = \frac{1 \times 3}{4 \times 6} = \frac{3}{24}

نختزل الكسر 324\frac{3}{24} بقسمة البسط والمقام على 33:

3÷324÷3=18\frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8}

نعوض في العبارة BB:

B=78+18=7+18=88B = \frac{7}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7 + 1}{8} = \frac{8}{8}
✅الإجابة النموذجية:
B=1B = 1

3) أعطِ الكتابة العلمية للعدد CC

لدينا العبارة:

C=444×10−2×2×10530×102C = \frac{444 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^5}{30 \times 10^2}

نفصل الأعداد العشرية عن قوى العدد 10:

C=(444×230)×(10−2×105102)C = \left( \frac{444 \times 2}{30} \right) \times \left( \frac{10^{-2} \times 10^5}{10^2} \right)

حساب الجزء العددي:

88830=29.6\frac{888}{30} = 29.6

حساب جزء القوى باستعمال خواص القوى 10a×10b=10a+b10^a \times 10^b = 10^{a+b} و 10a10b=10a−b\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}:

10−2+5102=103102=103−2=101\frac{10^{-2+5}}{10^2} = \frac{10^3}{10^2} = 10^{3-2} = 10^1

إذن:

C=29.6×101=296C = 29.6 \times 10^1 = 296

الكتابة العلمية تكون من الشكل a×10na \times 10^n حيث 1≤a<101 \le a < 10:

✅الإجابة النموذجية:
C=2.96×102C = 2.96 \times 10^2
📌

التمرين الثاني (03.5 نقاط)

1) تبيان أن العدد MM عدد طبيعي

لدينا:

M=318×2M = 3\sqrt{18} \times \sqrt{2}

بتطبيق خاصية ضرب الجذور التربيعية a×b=a×b\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}:

M=318×2M = 3\sqrt{18 \times 2}
M=336M = 3\sqrt{36}
M=3×6M = 3 \times 6
✅الإجابة النموذجية:
M=18M = 18

العدد 1818 هو عدد طبيعي، وهو المطلوب.

2) كتابة العدد NN على شكل a3a\sqrt{3}

لدينا:

N=227−12N = 2\sqrt{27} - \sqrt{12}

نحلل الأعداد تحت الجذر إلى حاصل ضرب عددين أحدهما مربع تام والآخر هو 33:

27=9×3=32×327 = 9 \times 3 = 3^2 \times 3
12=4×3=22×312 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3

نعوض في العبارة NN:

N=29×3−4×3N = 2\sqrt{9 \times 3} - \sqrt{4 \times 3}
N=2×33−23N = 2 \times 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}
N=63−23N = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}
N=(6−2)3N = (6 - 2)\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
N=43N = 4\sqrt{3}

3) التحقق أن 2MN=33\frac{2M}{N} = 3\sqrt{3}

نعوض قيمتي M=18M = 18 و N=43N = 4\sqrt{3} في الطرف الأيسر:

2MN=2×1843=3643\frac{2M}{N} = \frac{2 \times 18}{4\sqrt{3}} = \frac{36}{4\sqrt{3}}

بنقصيمة البسط والمقام على 4:

36÷443÷4=93\frac{36 \div 4}{4\sqrt{3} \div 4} = \frac{9}{\sqrt{3}}

تنصيل المقام (تنطيق مقام الكسر بضربه في 3\sqrt{3}):

9×33×3=933\frac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3}

باختزال 9 على 3:

✅الإجابة النموذجية:
2MN=33\frac{2M}{N} = 3\sqrt{3}

وهو المطلوب إثباته.

📌

التمرين الثالث (03.5 نقاط)

1) إنشاء الشكل

💡إضاءة وتنبيه:
النقطة RR تنتمي للمستقيم (TU)(TU) ولا تنتمي للقطعة [TU][TU]، مما يعني أنها تقع على امتداد القطعة خارجها من جهة TT. ونفس الشيء بالنسبة للنقطة SS بالنسبة للقطعة [TV][TV]. هذا ينشئ الشكل الفراشي (الرأس المشترك TT).
نرسم المثلث TUVTUV بالأطوال المعطاة: TV=8 cmTV = 8\text{ cm}، UV=7 cmUV = 7\text{ cm}، TU=6 cmTU = 6\text{ cm}.
نمدد المستقيم (TU)(TU) من جهة TT ونعين النقطة RR حيث RT=1.5 cmRT = 1.5\text{ cm}.
نمدد المستقيم (TV)(TV) من جهة TT ونعين النقطة SS حيث ST=2 cmST = 2\text{ cm}.
نصل بين النقطتين SS و RR.
✅الإجابة النموذجية:

```

S

\

\ 2 cm

\

T----------- U (6 cm)

/ \

1.5 cm / \

/ \ 8 cm

R \

V

SR=1.75cm,UV=7cmSR = 1.75 cm , UV = 7 cm

```

2) حساب الطول SRSR

لدينا المستقيمان (RU)(RU) و (SV)(SV) يتقاطعان في النقطة TT.
لدينا شرط التوازي المعطى في المعطيات: (SR)//(UV)(SR) // (UV).

بتطبيق خاصية طالوس المباشرة في هذا الشكل:

TRTU=TSTV=SRUV\frac{TR}{TU} = \frac{TS}{TV} = \frac{SR}{UV}

نعوض الأطوال المعلومة:

1.56=28=SR7\frac{1.5}{6} = \frac{2}{8} = \frac{SR}{7}

نلاحظ أن النسبة الأولى والثانية متساويتان:

1.56=0.25و28=0.25\frac{1.5}{6} = 0.25 \quad \text{و} \quad \frac{2}{8} = 0.25

نأخذ التناسب:

1.56=SR7\frac{1.5}{6} = \frac{SR}{7}

باستعمال الرابع المتناسب:

SR=1.5×76SR = \frac{1.5 \times 7}{6}
SR=10.56SR = \frac{10.5}{6}
✅الإجابة النموذجية:
SR=1.75 cmSR = 1.75\text{ cm}
📌

التمرين الرابع (02 نقاط)

1) حساب cos⁡(WHC^)\cos(\widehat{WHC}) واستنتاج tan⁡(WHC^)\tan(\widehat{WHC})

المثلث WHCWHC قائم في WW، إذن نطبق العلاقة الأساسية بين الجيب وجيب التمام:

cos⁡2(WHC^)+sin⁡2(WHC^)=1\cos^2(\widehat{WHC}) + \sin^2(\widehat{WHC}) = 1

نعوض قيمة sin⁡(WHC^)=0.6\sin(\widehat{WHC}) = 0.6:

cos⁡2(WHC^)+(0.6)2=1\cos^2(\widehat{WHC}) + (0.6)^2 = 1
cos⁡2(WHC^)+0.36=1\cos^2(\widehat{WHC}) + 0.36 = 1
cos⁡2(WHC^)=1−0.36\cos^2(\widehat{WHC}) = 1 - 0.36
cos⁡2(WHC^)=0.64\cos^2(\widehat{WHC}) = 0.64
cos⁡(WHC^)=0.64\cos(\widehat{WHC}) = \sqrt{0.64}
✅الإجابة النموذجية (حساب الكوسينوس):
cos⁡(WHC^)=0.8\cos(\widehat{WHC}) = 0.8

استنتاج tan⁡(WHC^)\tan(\widehat{WHC}):

tan⁡(WHC^)=sin⁡(WHC^)cos⁡(WHC^)\tan(\widehat{WHC}) = \frac{\sin(\widehat{WHC})}{\cos(\widehat{WHC})}
tan⁡(WHC^)=0.60.8\tan(\widehat{WHC}) = \frac{0.6}{0.8}
✅الإجابة النموذجية (استنتاج الظل):
tan⁡(WHC^)=0.75\tan(\widehat{WHC}) = 0.75

2) استنتاج قيس الزاويتين WHC^\widehat{WHC} و WCH^\widehat{WCH}

قيس الزاوية WHC^\widehat{WHC}:

باستعمال الآلة الحاسبة (اللمسة sin⁡−1\sin^{-1} أو 2ndF sin\text{2ndF sin}):

sin⁡(WHC^)=0.6  ⟹  WHC^=sin⁡−1(0.6)≈36.869∘\sin(\widehat{WHC}) = 0.6 \implies \widehat{WHC} = \sin^{-1}(0.6) \approx 36.869^\circ

بالتدوير إلى الدرجة (الوحدة):

✅الإجابة النموذجية:
WHC^≈37∘\widehat{WHC} \approx 37^\circ
قيس الزاوية WCH^\widehat{WCH}:

في المثلث القائم WHCWHC في WW، الزاويتان الحادتان متتامتان (مجموعهما 90∘90^\circ):

WCH^=90∘−WHC^\widehat{WCH} = 90^\circ - \widehat{WHC}
WCH^≈90∘−36.869∘=53.131∘\widehat{WCH} \approx 90^\circ - 36.869^\circ = 53.131^\circ

بالتدوير إلى الدرجة (الوحدة):

✅الإجابة النموذجية:
WCH^≈53∘\widehat{WCH} \approx 53^\circ
📌

الجزء الثاني (08 نقاط)

📌

الوضعية الإدماجية: طوفان الأقصى

الجزء الأول:

1) إيجاد عدد الأفواج المكونة

💡إضاءة وتنبيه:
تشكيل أكبر عدد ممكن من الأفواج المتماثلة يعني البحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين 195 (عدد الفدائيين) و 240 (عدد الجنود).

حساب PGCD(240,195)\text{PGCD}(240, 195) باستعمال خوارزمية إقليدس:

240=195×1+45240 = 195 \times 1 + 45
195=45×4+15195 = 45 \times 4 + 15
45=15×3+045 = 15 \times 3 + 0

آخر باقي غير معدوم هو 1515.

PGCD(240,195)=15\text{PGCD}(240, 195) = 15
✅الإجابة النموذجية:

عدد الأفواج المكونة هو: 1515 فوجاً.

2) إيجاد عدد الفدائيين ثم عدد الجنود في كل فوج

عدد الفدائيين في كل فوج:
195÷15=13195 \div 15 = 13
عدد الجنود في كل فوج:
240÷15=16240 \div 15 = 16
✅الإجابة النموذجية:
عدد الفدائيين في كل فوج هو: 13 فدائياً.
عدد الجنود في كل فوج هو: 16 جندياً.

الجزء الثاني:

1) حساب البعد بين الفدائيين EE و FF (الطول EFEF)

المثلث CEFCEF قائم في EE (كما هو موضح بالرمز المربع عند الرأس EE).

نطبق خاصية فيثاغورس على المثلث القائم CEFCEF:

CF2=CE2+EF2CF^2 = CE^2 + EF^2

نعوض القيم المعلومة (CF=25 mCF = 25\text{ m} و CE=3 mCE = 3\text{ m}):

252=32+EF225^2 = 3^2 + EF^2
625=9+EF2625 = 9 + EF^2
EF2=625−9EF^2 = 625 - 9
EF2=616EF^2 = 616
EF=616≈24.819 mEF = \sqrt{616} \approx 24.819\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

البعد بين الفدائيين EE و FF هو: EF=616 m≈24.82 mEF = \sqrt{616}\text{ m} \approx 24.82\text{ m}.

2) تبيان أن خط الهجوم (EF)(EF) يوازي خط الهجوم (BD)(BD)

التبرير باستخدام خاصية التعامد والتوازي:

من المعطيات والشكل المرفق:

1. المستقيم (EF)(EF) عمودي على المستقيم (BE)(BE) عند النقطة EE، أي: (EF)⊥(BE)(EF) \perp (BE).

2. المستقيم (BD)(BD) عمودي على المستقيم (BE)(BE) عند النقطة BB، أي: (BD)⊥(BE)(BD) \perp (BE).

💡إضاءة وتنبيه:
الخاصية الهندسيّة: "إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان".
✅الإجابة النموذجية:

بما أن (EF)⊥(BE)(EF) \perp (BE) و (BD)⊥(BE)(BD) \perp (BE)، فإن خط الهجوم (EF)(EF) يوازي خط الهجوم (BD)(BD):

(EF)//(BD)(EF) // (BD)

3) أ) حساب قيس الزاوية BCD^\widehat{BCD} (بالتدوير إلى الدرجة)

بما أن المستقيمين متوازيان (EF)//(BD)(EF) // (BD)، والخطين (BE)(BE) و (FD)(FD) يتقاطعان في النقطة CC، فإن الزاويتين BCD^\widehat{BCD} و ECF^\widehat{ECF} متقابلتان بالرأس، وبالتالي هما متساويتان:

BCD^=ECF^\widehat{BCD} = \widehat{ECF}

في المثلث القائم CEFCEF في EE:

cos⁡(ECF^)=الضلع المجاورالوتر=CECF=325=0.12\cos(\widehat{ECF}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{CE}{CF} = \frac{3}{25} = 0.12

باستعمال الآلة الحاسبة:

ECF^=cos⁡−1(0.12)≈83.107∘\widehat{ECF} = \cos^{-1}(0.12) \approx 83.107^\circ

وبالتالي:

BCD^≈83.107∘\widehat{BCD} \approx 83.107^\circ

بالتدوير إلى الدرجة (الوحدة):

✅الإجابة النموذجية:
BCD^≈83∘\widehat{BCD} \approx 83^\circ

(ملاحظة معلمية دقيقة: في حال الاعتماد على النسبة المثلثية للجيب sin⁡(BCD^)=cos⁡(ECF^)\sin(\widehat{BCD}) = \cos(\widehat{ECF}) بحسب أبعاد الشكل القائم، فإن القيمة بالتدوير تبقى دقيقة ومبررة هندسياً).

ب) استنتاج المسافة بين الفدائيين AA و BB (الطول ABAB)

نعلم أن الطول الكلي للقطعة العمودية هو AD=22 mAD = 22\text{ m}.

ونعلم أن النقط AA، BB، DD على استقامة واحدة بهذا الترتيب، إذن:

AB=AD−BDAB = AD - BD

حساب الطول BDBD في المثلث القائم BCDBCD في BB:

باستعمال النسبة المثلثية للجيب في المثلث القائم BCDBCD:

sin⁡(BCD^)=BDCD\sin(\widehat{BCD}) = \frac{BD}{CD}

لدينا CD=15 mCD = 15\text{ m} و sin⁡(BCD^)=sin⁡(ECF^)=EFCF=61625≈0.9928\sin(\widehat{BCD}) = \sin(\widehat{ECF}) = \frac{EF}{CF} = \frac{\sqrt{616}}{25} \approx 0.9928:

BD=CD×sin⁡(BCD^)BD = CD \times \sin(\widehat{BCD})
BD=15×61625≈15×0.9928≈14.89 mBD = 15 \times \frac{\sqrt{616}}{25} \approx 15 \times 0.9928 \approx 14.89\text{ m}

أو بتطبيق خاصية طالوس بين المثلثين المتقابلين بالرأس CEFCEF و CBDCBD:

BDEF=CDCF  ⟹  BD=CD×EFCF=15×61625≈14.89 m\frac{BD}{EF} = \frac{CD}{CF} \implies BD = \frac{CD \times EF}{CF} = \frac{15 \times \sqrt{616}}{25} \approx 14.89\text{ m}

نعوض لحساب الطول ABAB:

AB=22−14.89=7.11 mAB = 22 - 14.89 = 7.11\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

المسافة بين الفدائيين AA و BB هي: AB≈7.11 mAB \approx 7.11\text{ m} (أو بالتدوير إلى المتر: 7 m7\text{ m}).