📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 125 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (05 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 315 و 180 (PGCD(315,180)\text{PGCD}(315, 180)):

💡إضاءة وتنبيه:
نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتابعة) لأنها الأسرع والأضمن للوصول إلى النتيجة بدقة.

نُجري عمليات القسمة الإقليدية المتتابعة كما يلي:

315=180×1+135315 = 180 \times 1 + 135
180=135×1+45180 = 135 \times 1 + 45
135=45×3+0135 = 45 \times 3 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم هو 4545، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(315,180)=45\text{PGCD}(315, 180) = 45

2) تبيان أن العدد AA هو عدد طبيعي:

لدينا العبارة:

A=−616+315180÷25A = \frac{-6}{16} + \frac{315}{180} \div \frac{2}{5}
الخطوة الأولى: نختزل الكسر 315180\frac{315}{180} بقسمة البسط والمقام على PGCD(315,180)=45\text{PGCD}(315, 180) = 45:
315÷45180÷45=74\frac{315 \div 45}{180 \div 45} = \frac{7}{4}
الخطوة الثانية: نختزل الكسر −616\frac{-6}{16} بقسمة البسط والمقام على 22:
−6÷216÷2=−38\frac{-6 \div 2}{16 \div 2} = \frac{-3}{8}
الخطوة الثالثة: نعوض في العبارة AA ونطبق أولوية العمليات (قسمة الكسرين تتحول إلى ضرب في المقلوب):
A=−38+(74÷25)A = \frac{-3}{8} + \left( \frac{7}{4} \div \frac{2}{5} \right)
A=−38+(74×52)A = \frac{-3}{8} + \left( \frac{7}{4} \times \frac{5}{2} \right)
A=−38+7×54×2A = \frac{-3}{8} + \frac{7 \times 5}{4 \times 2}
A=−38+358A = \frac{-3}{8} + \frac{35}{8}
A=−3+358=328=4A = \frac{-3 + 35}{8} = \frac{32}{8} = 4
✅الإجابة النموذجية:

بما أن 4∈N4 \in \mathbb{N}، فإن العدد A=4A = 4 هو عدد طبيعي.

3) مسألة إحاطة قاعة الرياضة بأعمدة الإنارة:

أبعاد القاعة هي: الطول 31.5 m31.5 \text{ m} والعرض 18 m18 \text{ m}.

لكي نتمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر بسهولة، نحول الأبعاد إلى الديسيمتر (dm\text{dm}):

الطول: 31.5 m=315 dm31.5 \text{ m} = 315 \text{ dm}
العرض: 18 m=180 dm18 \text{ m} = 180 \text{ dm}

أ) حساب أكبر مسافة بين كل عمودين متجاورين:

أكبر مسافة بين عمودين متجاورين هي القاسم المشترك الأكبر للبعدين:

d=PGCD(315,180)=45 dm=4.5 md = \text{PGCD}(315, 180) = 45 \text{ dm} = 4.5 \text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

أكبر مسافة بين كل عمودين هي 4.5 m4.5 \text{ m}.

ب) حساب عدد الأعمدة اللازمة:

نحسب محيط القاعة المستطيلة الشكل (PP):
P=2×(الطول+العرض)P = 2 \times (\text{الطول} + \text{العرض})
P=2×(31.5+18)=2×49.5=99 mP = 2 \times (31.5 + 18) = 2 \times 49.5 = 99 \text{ m}
نقسم المحيط على المسافة بين الأعمدة:
عدد الأعمدة=Pd=994.5=22\text{عدد الأعمدة} = \frac{P}{d} = \frac{99}{4.5} = 22
✅الإجابة النموذجية:

عدد الأعمدة اللازمة لإحاطة القاعة هو 2222 عموداً.

📌

التمرين الثاني: (05 نقاط)

1) كتابة العدد EE على الشكل b5b\sqrt{5} (حيث bb عدد طبيعي):

لدينا العبارة:

E=745−35+80E = 7\sqrt{45} - 3\sqrt{5} + \sqrt{80}

نحلل الأعداد تحت الجذور بدلالة العدد 55:

45=9×5=32×5  ⟹  45=3545 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5 \implies \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
80=16×5=42×5  ⟹  80=4580 = 16 \times 5 = 4^2 \times 5 \implies \sqrt{80} = 4\sqrt{5}

نعوض في العبارة EE:

E=7(35)−35+45E = 7(3\sqrt{5}) - 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5}
E=215−35+45E = 21\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5}
E=(21−3+4)5E = (21 - 3 + 4)\sqrt{5}
E=225E = 22\sqrt{5}
✅الإجابة النموذجية:

قيمة EE على الشكل المطلوبة هي 22522\sqrt{5} (حيث b=22b = 22).

2) كتابة العدد FF بمقام ناطق:

لدينا العبارة:

F=23−511F = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{11}}

نضرب كل من البسط والمقام في 11\sqrt{11}:

F=(23−5)×1111×11F = \frac{(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) \times \sqrt{11}}{\sqrt{11} \times \sqrt{11}}
F=23×11−5×1111F = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{11} - \sqrt{5} \times \sqrt{11}}{11}
F=233−5511F = \frac{2\sqrt{33} - \sqrt{55}}{11}
✅الإجابة النموذجية:

العبارة بمقام ناطق هي: F=233−5511F = \frac{2\sqrt{33} - \sqrt{55}}{11}.

3) حل المعادلتين ذات المجهول xx:

المعادلة الأولى: x−25=5x\frac{x}{-2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{x}

باستخدام الجداء التصالبي (الطرفين في الوسطين):

x×x=(−25)×5x \times x = (-2\sqrt{5}) \times \sqrt{5}
x2=−2×(5)2x^2 = -2 \times (\sqrt{5})^2
x2=−2×5x^2 = -2 \times 5
x2=−10x^2 = -10
💡إضاءة وتنبيه:
المربع الكامل لأي عدد حقيقي هو دوماً عدد موجب أو معدوم، ولا يمكن أن يكون سالباً.
✅الإجابة النموذجية:

بما أن −10<0-10 < 0، فإن المعادلة ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية.

المعادلة الثانية: x2=121x^2 = 121

بما أن 121>0121 > 0، فإن للمعادلة حَلّين متعاكسين هما:

x=121=11أوx=−121=−11x = \sqrt{121} = 11 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{121} = -11
✅الإجابة النموذجية:

حلا المعادلة هما: x=11x = 11 و x=−11x = -11.

📌

التمرين الثالث: (04 نقاط)

البرهان على أن المستقيمين (AB)(AB) و (CD)(CD) متوازيان:

من معطيات الشكل والشكل المرفق:

النقط A,O,CA, O, C على استقامية واحدة.
النقط B,O,DB, O, D على استقامية واحدة.
الأطوال المعطاة هي:
OC=4.5 cmOC = 4.5 \text{ cm}
OA=12 cmOA = 12 \text{ cm}
OD=6 cmOD = 6 \text{ cm}
OB=16 cmOB = 16 \text{ cm}

1) حساب ونسبتي الطولين المقابلين:

النسبة الأولى:
OCOA=4.512=45120=0.375\frac{OC}{OA} = \frac{4.5}{12} = \frac{45}{120} = 0.375
النسبة الثانية:
ODOB=616=0.375\frac{OD}{OB} = \frac{6}{16} = 0.375

نلاحظ أن:

OCOA=ODOB=0.375\frac{OC}{OA} = \frac{OD}{OB} = 0.375

2) ترتيب النقاط والنتيجة:

بما أن النسبتين متساويتان (OCOA=ODOB)\left( \frac{OC}{OA} = \frac{OD}{OB} \right)، والنقاط C,O,AC, O, A و D,O,BD, O, B مرتبة بنفس الترتيب على المستقيمين المتطابقين/المتقاطعين، فحسب الخاصية العكسية لنظرية طاليس (Thales):

✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان (AB)(AB) و (CD)(CD) متوازيان (أي: (AB)∥(CD)(AB) \parallel (CD)).

📌

التمرين الرابع: (06 نقاط)

1) إنشاء المثلث EFGEFG:

نرسم القطعة المستقيمة FG=7.5 cmFG = 7.5 \text{ cm}.
باستخدام المدوار، نفتح القوس الأول من FF بفتحة 6 cm6 \text{ cm} (للطول EFEF).
نفتح القوس الثاني من GG بفتحة 4.5 cm4.5 \text{ cm} (للطول EGEG).
نقطة تقاطع القوسين هي النقطة EE.

2) تبيان أن المثلث EFGEFG قائم وتحديد رأس القائم:

أطوال أضلاع المثلث هي:

FG=7.5 cmFG = 7.5 \text{ cm} (الضلع الأطول)
EF=6 cmEF = 6 \text{ cm}
EG=4.5 cmEG = 4.5 \text{ cm}

نحسب مربع أطوال الأضلاع:

FG2=(7.5)2=56.25FG^2 = (7.5)^2 = 56.25
EF2+EG2=62+(4.5)2=36+20.25=56.25EF^2 + EG^2 = 6^2 + (4.5)^2 = 36 + 20.25 = 56.25

نلاحظ أن:

FG2=EF2+EG2FG^2 = EF^2 + EG^2
💡إضاءة وتنبيه:
تحقق مساواة فيثاغورس يعني حتماً أن المثلث قائم في الرأس المقابل للوتر FGFG.
✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث EFGEFG قائم في النقطة EE.

3) حساب tan⁡(EGF^)\tan(\widehat{EGF}) والاستنتاج:

أ) حساب tan⁡(EGF^)\tan(\widehat{EGF}):

في المثلث القائم EFGEFG في EE:

tan⁡(EGF^)=الضلع المقابلالضلع المجاور=EFEG\tan(\widehat{EGF}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{EF}{EG}
tan⁡(EGF^)=64.5=43≈1.333...\tan(\widehat{EGF}) = \frac{6}{4.5} = \frac{4}{3} \approx 1.333...

بالتدوير إلى 0.10.1 (جزء من عشرة):

✅الإجابة النموذجية:
tan⁡(EGF^)≈1.3\tan(\widehat{EGF}) \approx 1.3

ب) استنتاج قيس الزاوية EGF^\widehat{EGF}:

باستخدام الحاسبة (tan⁡−1\tan^{-1} أو Shift+tan⁡\text{Shift} + \tan):

EGF^=tan⁡−1(1.3333...)≈53.13∘\widehat{EGF} = \tan^{-1}(1.3333...) \approx 53.13^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية EGF^\widehat{EGF} بالتدوير إلى الوحدة هو 53∘53^\circ.