أولاً، نقوم بكتابة العددين الطبيعيين $AA$ و $BB$ على الشكل العشري البسيط:

لحساب $\mathrm{PGCD}(27342,21168)\backslash operatorname\{PGCD\}(27342,\; 21168)$، نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقي غير معدوم هو $882882$.

القاسم المشترك الأكبر للعددين $AA$ و $BB$ هو:

العبارة المعطاة:

نبسط البسط والمقام باستخدام قوى العدد 10:

نحسب حاصل قسمة الأعداد:

بالتالي:

الكتابة العلمية للعدد $CC$ هي:

العبارة:

أولاً: نختزل الكسر $\frac{A}{B}\backslash frac\{A\}\{B\}$ بقسمة البسط والمقام على $\mathrm{PGCD}(A,B)=882\backslash operatorname\{PGCD\}(A,\; B)\; =\; 882$:

ثانياً: نحسب الجزء الثاني من العبارة:

ثالثاً: نعوض ونجري عملية الطرح:

نوحد المقامات بالضرب في 4:

قيمة $DD$ على شكل كسر غير قابل للاختزال هي:

العبارة:

نبسط الكسر الثاني بنطق مقامه:

نبسط الكسر الثالث بتحليل البسط بإنتاج عامل مشترك $22$:

نعوض الأجزاء المبسطة في العبارة $EE$:

العبارة $EE$ مكتوبة على الشكل $b+\sqrt{a}b\; +\; \backslash sqrt\{a\}$ هي:

حيث $b=-2b\; =\; -2$ و $a=2a\; =\; 2$.

العبارة المعطاة:

نعلم أن $\sqrt{9}=3\backslash sqrt\{9\}\; =\; 3$، إذن المقام يساوي:

بالتعويض نجد:

مقام العدد $BB$ أصلاني ناطق بعد تبسيط $\sqrt{9}\backslash sqrt\{9\}$ إلى $33$، والمقام الناطق الناتج يساوي $22$.

كتابة $BB$ بمقام ناطق:

باستعمال الخاصية الجدائية (الجداء المتصالب):

نعلم أن $\sqrt{x}\times \sqrt{x}=x\backslash sqrt\{x\}\; \backslash times\; \backslash sqrt\{x\}\; =\; x$، إذن الطرف الأيسر يصبح:

الطرف الأيمن:

فتصبح المعادلة:

مربع أي عدد حقيقي هو دائماً عدد موجب أو معدوم ($x^2\ge 0x^2\; \backslash ge\; 0$). لا يمكن لمربع عدد حقيقي أن يكون مساوياً لعدد سالب ($-2-2$).

بما أن ، فإن المعادلة $x^2=-2x^2\; =\; -2$ ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

من أطوال أضلاع المثلث $DECDEC$ المعطاة في الشكل:

نحسب مربع طول أطول ضلع (الوتر المترشح $CECE$):

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

نلاحظ أن:

حسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $DECDEC$ قائم في النقطة $DD$.

بما أن المستقيمين $(AB)(AB)$ و $(DE)(DE)$ متوازيان، والمستقيمان $(AE)(AE)$ و $(BD)(BD)$ يتقاطعان في النقطة $CC$، نطبق خاصية طاليس:

بالتعويض بالأطوال المعلومة ($CE=6\text{ cm}CE\; =\; 6\backslash text\{\; cm\}$، $CB=1,8\text{ cm}CB\; =\; 1,8\backslash text\{\; cm\}$، $CD=4\text{ cm}CD\; =\; 4\backslash text\{\; cm\}$):

ومنهم:

الطول $ACAC$ يساوي:

في المثلث القائم $DECDEC$ في $DD$:

1. جيب الزاوية ($\sin \widehat{DEC}\backslash sin\; \backslash widehat\{DEC\}$):

2. ظل الزاوية ($\tan \widehat{DEC}\backslash tan\; \backslash widehat\{DEC\}$):

3. جداء النسبتين المثلثيتين:

تم الإثبات بنجاح أن:

حسب خاصية المثلث المحاط بدائرة (إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً للدائرة المحيطة به فإن هذا المثلث قائم)، فإن المثلث $ABFABF$ قائم في النقطة $FF$.

في المثلث القائم $ABFABF$ في $FF$:

نحسب جيب الزاوية:

باستعمال الآلة الحاسبة (${\sin }^{-1}(0,6)\backslash sin^\{-1\}(0,6)$):

قيس الزاوية $\widehat{FBA}\backslash widehat\{FBA\}$ بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة هو:

بما أن $AB=5\text{ cm}AB\; =\; 5\backslash text\{\; cm\}$، فإن النقطة $AA$ تقع بين $BB$ و $MM$، وطول القطعة $AMAM$ هو:

بما أن $FA=3\text{ cm}FA\; =\; 3\backslash text\{\; cm\}$، فإن النقطة $AA$ تقع بين $FF$ و $NN$، وطول القطعة $ANAN$ هو:

\