📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 142 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول (13 نقطة)

📌

التمرين الأول (03 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين AA و BB:

أولاً، نقوم بكتابة العددين الطبيعيين AA و BB على الشكل العشري البسيط:

A=27,3420×103=27342A = 27,3420 \times 10^3 = 27342
B=0,021168×106=21168B = 0,021168 \times 10^6 = 21168

لحساب PGCD⁡(27342,21168)\operatorname{PGCD}(27342, 21168)، نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

27342=21168×1+617427342 = 21168 \times 1 + 6174
21168=6174×3+264621168 = 6174 \times 3 + 2646
6174=2646×2+8826174 = 2646 \times 2 + 882
2646=882×3+02646 = 882 \times 3 + 0

آخر باقي غير معدوم هو 882882.

✅الإجابة النموذجية:

القاسم المشترك الأكبر للعددين AA و BB هو:

PGCD⁡(27342,21168)=882\operatorname{PGCD}(27342, 21168) = 882

2. كتابة العدد CC كتابة علمية:

العبارة المعطاة:

C=72×10−2024×1020250,14×102024C = \frac{7^2 \times 10^{-2024} \times 10^{2025}}{0,14 \times 10^{2024}}

نبسط البسط والمقام باستخدام قوى العدد 10:

C=49×10−2024+20250,14×102024=49×1010,14×102024=4900,14×102024C = \frac{49 \times 10^{-2024 + 2025}}{0,14 \times 10^{2024}} = \frac{49 \times 10^1}{0,14 \times 10^{2024}} = \frac{490}{0,14 \times 10^{2024}}

نحسب حاصل قسمة الأعداد:

4900,14=3500\frac{490}{0,14} = 3500

بالتالي:

C=3500×10−2024=3,5×103×10−2024=3,5×103−2024=3,5×10−2021C = 3500 \times 10^{-2024} = 3,5 \times 10^3 \times 10^{-2024} = 3,5 \times 10^{3 - 2024} = 3,5 \times 10^{-2021}
✅الإجابة النموذجية:

الكتابة العلمية للعدد CC هي:

C=3,5×10−2021C = 3,5 \times 10^{-2021}

3. حساب DD وإعطاء الناتج على شكل كسر غير قابل للاختزال:

العبارة:

D=AB−1−3÷2D = \frac{A}{B} - \frac{1}{-3} \div 2

أولاً: نختزل الكسر AB\frac{A}{B} بقسمة البسط والمقام على PGCD⁡(A,B)=882\operatorname{PGCD}(A, B) = 882:

AB=27342÷88221168÷882=3124\frac{A}{B} = \frac{27342 \div 882}{21168 \div 882} = \frac{31}{24}

ثانياً: نحسب الجزء الثاني من العبارة:

1−3÷2=−13×12=−16\frac{1}{-3} \div 2 = -\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}

ثالثاً: نعوض ونجري عملية الطرح:

D=3124−(−16)=3124+16D = \frac{31}{24} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{31}{24} + \frac{1}{6}

نوحد المقامات بالضرب في 4:

D=3124+1×46×4=31+424=3524D = \frac{31}{24} + \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{31 + 4}{24} = \frac{35}{24}
✅الإجابة النموذجية:

قيمة DD على شكل كسر غير قابل للاختزال هي:

D=3524D = \frac{35}{24}
📌

التمرين الثاني (03 نقاط)

1. كتابة EE على الشكل b+ab + \sqrt{a}:

العبارة:

E=22+12−2+231+3E = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}

نبسط الكسر الثاني بنطق مقامه:

12=1×22×2=22\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

نبسط الكسر الثالث بتحليل البسط بإنتاج عامل مشترك 22:

2+231+3=2(1+3)1+3=2\frac{2 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} = 2

نعوض الأجزاء المبسطة في العبارة EE:

E=22+22−2=(2+22)−2=222−2=2−2=−2+2E = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 = \left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}\right) - 2 = \frac{2\sqrt{2}}{2} - 2 = \sqrt{2} - 2 = -2 + \sqrt{2}
✅الإجابة النموذجية:

العبارة EE مكتوبة على الشكل b+ab + \sqrt{a} هي:

E=−2+2E = -2 + \sqrt{2}

حيث b=−2b = -2 و a=2a = 2.

2. جعل مقام العدد BB عدداً ناطقاً:

العبارة المعطاة:

B=4+29−1B = \frac{4 + \sqrt{2}}{\sqrt{9} - 1}

نعلم أن 9=3\sqrt{9} = 3، إذن المقام يساوي:

9−1=3−1=2\sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2

بالتعويض نجد:

B=4+22=42+22=2+22B = \frac{4 + \sqrt{2}}{2} = \frac{4}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}
💡إضاءة وتنبيه:

مقام العدد BB أصلاني ناطق بعد تبسيط 9\sqrt{9} إلى 33، والمقام الناطق الناتج يساوي 22.

✅الإجابة النموذجية:

كتابة BB بمقام ناطق:

B=4+22B = \frac{4 + \sqrt{2}}{2}

3. حل المعادلة التالية:

x2=−2xx\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{x\sqrt{x}}

باستعمال الخاصية الجدائية (الجداء المتصالب):

x×(xx)=2×(−2)\sqrt{x} \times (x\sqrt{x}) = \sqrt{2} \times (-\sqrt{2})

نعلم أن x×x=x\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x، إذن الطرف الأيسر يصبح:

x×x=x2x \times x = x^2

الطرف الأيمن:

2×(−2)=−2\sqrt{2} \times (-\sqrt{2}) = -2

فتصبح المعادلة:

x2=−2x^2 = -2
💡إضاءة وتنبيه:

مربع أي عدد حقيقي هو دائماً عدد موجب أو معدوم (x2≥0x^2 \ge 0). لا يمكن لمربع عدد حقيقي أن يكون مساوياً لعدد سالب (−2-2).

✅الإجابة النموذجية:

بما أن −2<0-2 < 0، فإن المعادلة x2=−2x^2 = -2 ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

📌

التمرين الثالث (03 نقاط)

1. إثبات أن المثلث DECDEC قائم:

من أطوال أضلاع المثلث DECDEC المعطاة في الشكل:

CD=4 cmCD = 4\text{ cm}
DE=25 cmDE = 2\sqrt{5}\text{ cm}
CE=6 cmCE = 6\text{ cm}

نحسب مربع طول أطول ضلع (الوتر المترشح CECE):

CE2=62=36CE^2 = 6^2 = 36

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

CD2+DE2=42+(25)2=16+(4×5)=16+20=36CD^2 + DE^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + (4 \times 5) = 16 + 20 = 36

نلاحظ أن:

CE2=CD2+DE2=36CE^2 = CD^2 + DE^2 = 36
✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث DECDEC قائم في النقطة DD.

2. حساب الطول ACAC:

بما أن المستقيمين (AB)(AB) و (DE)(DE) متوازيان، والمستقيمان (AE)(AE) و (BD)(BD) يتقاطعان في النقطة CC، نطبق خاصية طاليس:

CACE=CBCD=ABDE\frac{CA}{CE} = \frac{CB}{CD} = \frac{AB}{DE}

بالتعويض بالأطوال المعلومة (CE=6 cmCE = 6\text{ cm}، CB=1,8 cmCB = 1,8\text{ cm}، CD=4 cmCD = 4\text{ cm}):

AC6=1,84\frac{AC}{6} = \frac{1,8}{4}

ومنهم:

AC=6×1,84=10,84=2,7 cmAC = \frac{6 \times 1,8}{4} = \frac{10,8}{4} = 2,7\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول ACAC يساوي:

AC=2,7 cmAC = 2,7\text{ cm}

3. إثبات أن sin⁡DEC^×tan⁡DEC^=4515\sin \widehat{DEC} \times \tan \widehat{DEC} = \frac{4\sqrt{5}}{15}:

في المثلث القائم DECDEC في DD:

1. جيب الزاوية (sin⁡DEC^\sin \widehat{DEC}):

sin⁡DEC^=الضلع المقابلالوتر=CDCE=46=23\sin \widehat{DEC} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{CD}{CE} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

2. ظل الزاوية (tan⁡DEC^\tan \widehat{DEC}):

tan⁡DEC^=الضلع المقابلالضلع المجاور=CDDE=425=25=255\tan \widehat{DEC} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{CD}{DE} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

3. جداء النسبتين المثلثيتين:

sin⁡DEC^×tan⁡DEC^=23×255=2×253×5=4515\sin \widehat{DEC} \times \tan \widehat{DEC} = \frac{2}{3} \times \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \times 2\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{4\sqrt{5}}{15}
✅الإجابة النموذجية:

تم الإثبات بنجاح أن:

sin⁡DEC^×tan⁡DEC^=4515\sin \widehat{DEC} \times \tan \widehat{DEC} = \frac{4\sqrt{5}}{15}
📌

التمرين الرابع (04 نقاط)

1. إثبات أن ABFABF مثلث قائم في FF:

النقطة FF تنتمي إلى الدائرة (C)(C).
القطعة [AB][AB] هي قطر للدائرة (C)(C).
النقطة FF تختلف عن طرفي القطر AA و BB.
✅الإجابة النموذجية:

حسب خاصية المثلث المحاط بدائرة (إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً للدائرة المحيطة به فإن هذا المثلث قائم)، فإن المثلث ABFABF قائم في النقطة FF.

2. إيجاد قيس الزاوية FBA^\widehat{FBA} بالتدوير إلى الوحدة:

في المثلث القائم ABFABF في FF:

طول الوتر AB=2×r=2×2,5=5 cmAB = 2 \times r = 2 \times 2,5 = 5\text{ cm}.
طول الضلع المقابل للزاوية FBA^\widehat{FBA} هو AF=3 cmAF = 3\text{ cm}.

نحسب جيب الزاوية:

sin⁡FBA^=AFAB=35=0,6\sin \widehat{FBA} = \frac{AF}{AB} = \frac{3}{5} = 0,6

باستعمال الآلة الحاسبة (sin⁡−1(0,6)\sin^{-1}(0,6)):

FBA^≈36,8698∘\widehat{FBA} \approx 36,8698^\circ
✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية FBA^\widehat{FBA} بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة هو:

FBA^≈37∘\widehat{FBA} \approx 37^\circ

3. تعيين النقطتين MM و NN:

النقطة MM تقع على نصف المستقيم [BA)[BA) حيث BM=7,5 cmBM = 7,5\text{ cm}.

بما أن AB=5 cmAB = 5\text{ cm}، فإن النقطة AA تقع بين BB و MM، وطول القطعة AMAM هو:

AM=BM−BA=7,5−5=2,5 cmAM = BM - BA = 7,5 - 5 = 2,5\text{ cm}
النقطة NN تقع على نصف المستقيم [FA)[FA) حيث FN=4,5 cmFN = 4,5\text{ cm}.

بما أن FA=3 cmFA = 3\text{ cm}، فإن النقطة AA تقع بين FF و NN، وطول القطعة ANAN هو:

\