1. إثبات أن العددين 65 و42 أوليان فيما بينهما:

لإثبات أن العددين أوليان فيما بينهما، يجب أن نبين أن قاسمها المشترك الأكبر يساوي 1، أي: $PGCD(65; 42) = 1$.

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات المتتالية هو $1$.

إذن: $PGCD(65; 42) = 1$.

بما أن القاسم المشترك الأكبر للعددين 65 و42 يساوي 1، فإن العددين 65 و42 أوليان فيما بينهما.

2. حساب $PGCD(520; 336)$ ثم كتابة الكسر $\frac{520}{336}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

نطبق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس):

آخر باقٍ غير معدوم هو $8$.

إذن: $PGCD(520; 336) = 8$.

لقسمة كسر واختزاله دفعة واحدة إلى كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر:

وبما أننا أثبتنا في السؤال الأول أن العددين 65 و42 أوليان فيما بينهما، فإن الكسر الناتج غير قابل للاختزال تماماً.

3. حساب العدد $A$ حيث $A = \frac{5}{2} \times \frac{1}{3} - \frac{520}{336}$:

لتسهيل الحساب وتفادي الأعداد الكبيرة، نستبدل الكسر $\frac{520}{336}$ بكسره المختزل $\frac{65}{42}$:

نعطي الأولوية لعملية الضرب قبل الطرح:

الآن نقوم بعملية الطرح بتوحيد المقامات (المقام المشترك هو 42 لأن $42 = 6 \times 7$):

نختزل الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما وهو $6$:

القيمة الدقيقة والمبسطة للعدد $A$ هي: $A = -\frac{5}{7}$.

1. حساب عدد باقات الزهور:

يريد بائع الزهور تشكيل أكبر عدد ممكن من الباقات المتماثلة تماماً من حيث عدد الورود والقرنفل دون ترك أي زهرة. هذا يعني أن عدد الباقات يجب أن يكون القاسم المشترك الأكبر لعدد الورود (520) وعدد القرنفل (336).

أكبر عدد ممكن من باقات الزهور التي يمكن تشكيلها هو 8 باقات.

2. حساب عدد الورود في كل باقة:

نقسم العدد الإجمالي للورود على عدد الباقات:

عدد الورود في كل باقة هو 65 وردة.

3. حساب عدد القرنفل في كل باقة:

نقسم العدد الإجمالي للقرنفل على عدد الباقات:

عدد القرنفل في كل باقة هو 42 قرنفلة.

1. كتابة العدد $A$ على شكل $a\sqrt{b}$ حيث $a$ عدد نسبي صحيح، و $b$ عدد طبيعي أصغر ما يمكن:

العبارة المعطاة:

نلاحظ وجود الحد $-7\sqrt{3}$، مما يدل على أن العدد الطبيعي الأصغر المتبقي تحت الجذر هو $b = 3$. نقوم بتفكيك الأعداد الأخرى تحت الجذور إلى جداءات يكون أحد عواملها 3:

نعوض في العبارة:

نطبق خاصية الجذور المتمثلة في $\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$:

نستخرج $\sqrt{3}$ كعامل مشترك:

هنا نجد أن $a = -10$ (عدد نسبي صحيح) و $b = 3$ (عدد طبيعي أصغر ما يمكن).

الشكل المبسط للعدد $A$ هو: $A = -10\sqrt{3}$.

2. جعل مقام النسبة $\frac{3}{10\sqrt{3}}$ عدداً ناطقاً:

للتخلص من الجذر في المقام، نضرب كلاً من بسط ومقام النسبة في $\sqrt{3}$:

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 3:

كتابة النسبة بمقام ناطق هي: $\frac{\sqrt{3}}{10}$.

3. حل المعادلة $x^2 = A$:

لدينا من السؤال الأول في هذا التمرين:

بما أن $\sqrt{3} > 0$ والعدد $-10$ سالب، فإن الجداء $-10\sqrt{3}$ هو عدد سالب تماماً، أي:

حسب القاعدة الرياضية لدراسة حلول المعادلة من الشكل $x^2 = k$:

وبما أن $A$ عدد سالب تماماً، فإن المعادلة $x^2 = A$ مستحيلة الحل.

بما أن $A = -10\sqrt{3}$ وهو عدد سالب تماماً ($A < 0$)، فإن المعادلة $x^2 = A$ ليس لها حلول.