في القسمة الإقليدية، الحاصل والباقي هما عددان طبيعيان، ويجب دائماً أن يكون المقسوم عليه أكبر تماماً من الباقي.

إذا قسمنا عدداً $A$ على $x$ وكان الباقي $r$، فإننا نكتب: $A = x \cdot q + r$ مع الشرط الأساسي: $x > r$.

من معطيات التمرين لدينا:

1. عند قسمة $402$ على $x$ نجد الباقي $12$. هذا يعني أنه يوجد عدد طبيعي $q_1$ حيث:

ومنه:

إذن: $x$ قاسم للعدد $390$.

2. عند قسمة $488$ على نفس العدد $x$ نجد الباقي $8$. هذا يعني أنه يوجد عدد طبيعي $q_2$ حيث:

ومنه:

إذن: $x$ قاسم للعدد $480$.

من (1) و(2) نستنتج أن $x$ هو قاسم مشترك للعددين $390$ و $480$ ويحقق الشرط $x > 12$.

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $30$، فإن:

بما أن $x$ قاسم مشترك للعددين $390$ و $480$، فإن $x$ هو من قواسم قاسمها المشترك الأكبر $30$.

قواسم العدد $30$ هي:

وبما أن الشرط المعطى هو $x > 12$، فإن القيم الممكنة للعدد $x$ هي:

قيم العدد الطبيعي $x$ التي تحقق شروط المسألة هي: $15$ أو $30$.

إذا كان القاسم المشترك الأكبر لعددين $a$ و $b$ هو $d$، فإنه يمكن كتابتهما على الشكل: $a = d \cdot a'$ و $b = d \cdot b'$ حيث يكون $a'$ و $b'$ عددين طبيعيين أوليين فيما بينهما (أي $\text{PGCD}(a', b') = 1$).

نفرض أن العددين الطبيعيين هما $a$ و $b$.

لدينا:

1. مجموع العددين هو $81$:

2. القاسم المشترك الأكبر لهما هو $27$:

بناءً على القاعدة، نضع:

حيث $a'$ و $b'$ عددان طبيعيان أوليان فيما بينهما ($\text{PGCD}(a', b') = 1$).

نعوض في معادلة المجموع:

نأخذ $27$ كعامل مشترك:

نقسم الطرفين على $27$:

بما أن $a'$ و $b'$ عددان طبيعيان ومجموعهما $3$، فإن الحالات الممكنة هي:

(ملاحظة: الحالة $a'=0$ و $b'=3$ مرفوضة لأن القاسم المشترك الأكبر لـ $0$ و $81$ هو $81$ وليس $27$).

العددين الطبيعيين المطلوبين هما: $27$ و $54$.

(التحقق: $27 + 54 = 81$ و $\text{PGCD}(27, 54) = 27$).

لملء صندوق متوازي المستطيلات بمكعبات متماثلة تماماً دون ترك أي فراغ، يجب أن يكون طول ضلع المكعب $x$ قاسماً مشتركاً لأبعاد الصندوق الثلاثة.

ولكي يكون عدد المكعبات أصغر ما يمكن، يجب أن يكون حجم المكعب الواحد أكبر ما يمكن، مما يعني أن طول ضلعه $x$ يجب أن يكون أكبر ما يمكن (أي القاسم المشترك الأكبر للأبعاد الثلاثة).

أبعاد الصندوق هي: $36\text{ cm}$، $48\text{ cm}$، $60\text{ cm}$.

بما أن $x$ عدد طبيعي يمثل طول ضلع المكعب، ولكي يكون عدد المكعبات أصغر ما يمكن، فإن:

لحساب القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أعداد، نحسب أولاً القاسم المشترك الأكبر لعددين منها، ثم نحسب القاسم المشترك الأكبر للناتج مع العدد الثالث.

باستخدام خوارزمية إقليدس:

إذن:

بما أن العدد $60$ يقبل القسمة على $12$:

إذن:

وبالتالي فإن:

قيمة $x$ حتى يكون عدد المكعبات أصغر ما يمكن هي: $x = 12\text{ cm}$.

لدينا:

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاء عددين أحدهما مربع تام (يفضل القسمة على $2$ هنا لأن الأعداد زوجية وتبسيطها يظهر وجود $\sqrt{2}$):

نعوض في العبارة:

نأخذ $\sqrt{2}$ كعامل مشترك:

لدينا:

نحلل الأعداد تحت الجذور بنفس الطريقة:

نعوض في العبارة:

نأخذ $\sqrt{2}$ كعامل مشترك:

الشكل المبسط للعددين هو:

أولاً، نحسب البسط والمقام على حدة لتسهيل العملية:

لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}$:

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما وهو $6$:

إذن:

نعوض بقيمتي $A$ و $B$ المبسطتين:

أولاً، نحسب الجذاء داخل الجذر $A \times B$:

الآن نحسب الجذر التربيعي للناتج:

نحلل العدد $108$ إلى جذاء يتضمن مربعاً تاماً:

إذن:

القيم المضبوطة للأعداد هي:

*

*

*