باستعمال خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقٍ غير معدوم هو $120$، فإن:

لقسمة الكسر واختزاله دفعة واحدة، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $120$:

الكسر غير القابل للاختزال هو:

لكي تكون القسمة عادلة (أي يحصل كل تلميذ على نفس العدد من الكراريس ونفس العدد من الكتب دون بقاء أي كراس أو كتاب)، ويتم التوزيع على أكبر عدد ممكن من التلاميذ، يجب أن يكون عدد التلاميذ هو القاسم المشترك الأكبر لعدد الكراريس (600) وعدد الكتب (480).

نعلم سابقاً أن: $\text{PGCD}(600; 480) = 120$.

أكبر عدد من التلاميذ الذين يمكن التوزيع عليهم هو 120 تلميذاً.

يحصل كل تلميذ على 5 كراريس و 4 كتب.

العبارة المعطاة:

نقوم بتبسيط الجذور بكتابة الأعداد تحت الجذر على شكل جذاء عددين أحدهما مربع تام والآخر هو 7:

نعوض هذه القيم في العبارة $C$:

نأخذ $\sqrt{7}$ كعامل مشترك:

كتابة العدد $C$ على الشكل المطلوب هي:

(حيث $a = 4$ وهو عدد ناطق).

نعوض قيمة $C$ التي وجدناها سابقاً:

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{7}$:

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 2:

النسبة بمقام ناطق هي:

نضيف 5 إلى طرفي المعادلة لعزل $X^2$:

بما أن العدد 25 موجب تماماً ($25 > 0$)، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

أو

للمعادلة حلان هما:

بما أن الشكل $ABCD$ مستطيل، فإن كل ضلعين متقابلين فيه متقايسان ومتوازيان، وزواياه الأربع قائمة.

إذن:

نستخدم الخاصية العكسية لخاصية طاليس في المثلث $BAC$:

1. النسبة الأولى:

2. النسبة الثانية:

بما أن:

والنقاط مرتبة بنفس الترتيب على الضلعين، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس نستنتج أن:

المستقيمان متوازيان، أي:

بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن المثلث $ADC$ قائم الزاوية في $D$.

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث $ADC$:

نعوض بالأطوال المعلومة:

بما أن الطول موجب دائماً:

بما أن $(EH) // (AC)$، فإنه بتطبيق خاصية طاليس في المثلث $BAC$ نجد:

نعوض بالقيم المعلومة:

الطول $AC$ يساوي: