📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 75 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول

1) أ) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 3605 و 6180

💡إضاءة وتنبيه:
لحساب القاسم المشترك الأكبر PGCD\text{PGCD} لعددين طبيعيين، نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة في الامتحانات الرسمية.
✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين 61806180 و 36053605:

6180=3605×1+25756180 = 3605 \times 1 + 2575
3605=2575×1+10303605 = 2575 \times 1 + 1030
2575=1030×2+5152575 = 1030 \times 2 + 515
1030=515×2+01030 = 515 \times 2 + 0

بما أن الباقي الأخير المعدوم هو 00، فإن القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم وهو 515515.

إذن:

PGCD(6180,3605)=515\text{PGCD}(6180, 3605) = 515

1) ب) كتابة العدد AA على شكل كسر غير قابل للاختزال

حيث:

A=36056180−23÷47A = \frac{3605}{6180} - \frac{2}{3} \div \frac{4}{7}
💡إضاءة وتنبيه:
لتبسيط الحساب، نقوم أولاً باختزال الكسر 36056180\frac{3605}{6180} بقسمة بسطه ومقامه على قاسمهما المشترك الأكبر الذي حسبناه سابقاً (515515). ثم نطبق أولويات العمليات (القسمة تسبق الطرح).
✅الإجابة النموذجية:

🔹 الخطوة 1: اختزال الكسر الأول

36056180=3605÷5156180÷515=712\frac{3605}{6180} = \frac{3605 \div 515}{6180 \div 515} = \frac{7}{12}

🔹 الخطوة 2: تعويض الكسر المختزل في العبارة AA وحساب القسمة (الضرب في المقلوب)

A=712−23×74A = \frac{7}{12} - \frac{2}{3} \times \frac{7}{4}
A=712−2×73×4A = \frac{7}{12} - \frac{2 \times 7}{3 \times 4}
A=712−1412A = \frac{7}{12} - \frac{14}{12}

🔹 الخطوة 3: إجراء عملية الطرح

A=7−1412=−712A = \frac{7 - 14}{12} = -\frac{7}{12}

بما أن العددين 77 و 1212 أوليان فيما بينهما، فإن الكسر الناتج غير قابل للاختزال.

إذن:

A=−712A = -\frac{7}{12}

2) أ) إثبات أن B=CB = C وكتابة الناتج على الشكل ab+ca\sqrt{b} + c

لدينا:

B=486−2216+36+24B = \sqrt{486} - 2\sqrt{216} + \sqrt{36} + \sqrt{24}
C=(6−2)(26+3)C = (\sqrt{6} - 2)(2\sqrt{6} + 3)
💡إضاءة وتنبيه:
لتبسيط الجذور التربيعية، نبحث عن أكبر مربع تام يقسم الأعداد تحت الجذور. نلاحظ أن العدد 66 هو القاسم المشترك الأصغر الذي سيبقى تحت الجذر لجميع الحدود.
✅الإجابة النموذجية:

أولاً: تبسيط العبارة BB

نحلل الأعداد تحت الجذور بدلالة 66:

486=81×6=92×6486 = 81 \times 6 = 9^2 \times 6
216=36×6=62×6216 = 36 \times 6 = 6^2 \times 6
36=6236 = 6^2 (مربع تام)
24=4×6=22×624 = 4 \times 6 = 2^2 \times 6

نعوض في العبارة BB:

B=81×6−236×6+36+4×6B = \sqrt{81 \times 6} - 2\sqrt{36 \times 6} + \sqrt{36} + \sqrt{4 \times 6}
B=96−2×66+6+26B = 9\sqrt{6} - 2 \times 6\sqrt{6} + 6 + 2\sqrt{6}
B=96−126+26+6B = 9\sqrt{6} - 12\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + 6

نجمع الحدود المتشابهة التي تحتوي على 6\sqrt{6}:

B=(9−12+2)6+6B = (9 - 12 + 2)\sqrt{6} + 6
B=−16+6=−6+6B = -1\sqrt{6} + 6 = -\sqrt{6} + 6

ثانياً: تبسيط ونشر العبارة CC

C=(6−2)(26+3)C = (\sqrt{6} - 2)(2\sqrt{6} + 3)

نقوم بنشر القوسين بالتفصيل:

C=6×26+6×3−2×26−2×3C = \sqrt{6} \times 2\sqrt{6} + \sqrt{6} \times 3 - 2 \times 2\sqrt{6} - 2 \times 3
C=2×(6)2+36−46−6C = 2 \times (\sqrt{6})^2 + 3\sqrt{6} - 4\sqrt{6} - 6
C=2×6+(3−4)6−6C = 2 \times 6 + (3 - 4)\sqrt{6} - 6
C=12−6−6C = 12 - \sqrt{6} - 6
C=(12−6)−6C = (12 - 6) - \sqrt{6}
C=6−6C = 6 - \sqrt{6}

الاستنتاج:

بما أن:

B=6−6وC=6−6B = 6 - \sqrt{6} \quad \text{و} \quad C = 6 - \sqrt{6}

فإن:

B=C=−6+6B = C = -\sqrt{6} + 6

وهو مكتوب على الشكل المطلوب ab+ca\sqrt{b} + c حيث:

a=−1a = -1، b=6b = 6، c=6c = 6 وهي أعداد صحيحة نسبية، و b=6b = 6 هو أصغر ما يمكن.

2) ب) إثبات أن D=2−23D = 2 - 2\sqrt{3}

حيث:

D=23−63D = \frac{2\sqrt{3} - 6}{\sqrt{3}}
💡إضاءة وتنبيه:
لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في جذر المقام (وهو 3\sqrt{3}).
✅الإجابة النموذجية:
D=(23−6)×33×3D = \frac{(2\sqrt{3} - 6) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}

ننشر البسط ونبسط المقام:

D=23×3−6×33D = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 6 \times \sqrt{3}}{3}
D=2×3−633D = \frac{2 \times 3 - 6\sqrt{3}}{3}
D=6−633D = \frac{6 - 6\sqrt{3}}{3}

نوزع القسمة على حدود البسط:

D=63−633D = \frac{6}{3} - \frac{6\sqrt{3}}{3}
D=2−23D = 2 - 2\sqrt{3}

وهو المطلوب إثباته.

📌

التمرين الثاني

1) حساب الطول BCBC وكتابة الناتج على الشكل aba\sqrt{b}

💡إضاءة وتنبيه:
المثلث ABCABC قائم في AA (حسب رمز الزاوية القائمة في الشكل)، إذن نطبق خاصية فيثاغورس مباشرة لحساب طول الوتر BCBC.
✅الإجابة النموذجية:

بما أن المثلث ABCABC قائم في AA، فإنه حسب خاصية فيثاغورس لدينا:

BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2

بالتعويض بالأطوال المعطاة (AB=8 cmAB = 8 \text{ cm} و AC=4 cmAC = 4 \text{ cm}):

BC2=82+42BC^2 = 8^2 + 4^2
BC2=64+16BC^2 = 64 + 16
BC2=80BC^2 = 80

إذن:

BC=80BC = \sqrt{80}

نكتب الناتج على الشكل aba\sqrt{b} حيث bb أصغر عدد طبيعي ممكن:

BC=16×5=16×5=45 cmBC = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \text{ cm}

2) البرهان أن (DB)//(EF)(DB) // (EF)

💡إضاءة وتنبيه:
لإثبات توازي مستقيمين، نستخدم الخاصية العكسية لخاصية طاليس. لكن أولاً، يجب تحديد وحساب الأطوال اللازمة للنسب.
من التشفير على الرسم، نلاحظ أن النقطة DD هي منتصف الوتر [BC][BC].
في المثلث القائم، طول المتوسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول هذا الوتر. إذن: AD=BC2AD = \frac{BC}{2}.
✅الإجابة النموذجية:

🔹 الخطوة 1: حساب الأطوال اللازمة

حساب الطول ADAD:

بما أن المثلث ABCABC قائم في AA و DD هي منتصف الوتر [BC][BC] (حسب التشفير)، فإن [AD][AD] هو المتوسط المتعلق بالوتر [BC][BC].

حسب خاصية المتوسط المتعلق بالوتر في المثلث القائم:

AD=BC2=452=25 cmAD = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5} \text{ cm}
حساب الطول AFAF:

بما أن النقطة BB تنتمي إلى القطعة [AF][AF]، فإن:

AF=AB+BF=8+4=12 cmAF = AB + BF = 8 + 4 = 12 \text{ cm}

🔹 الخطوة 2: مقارنة النسبتين

نحسب النسبتين ADAE\frac{AD}{AE} و ABAF\frac{AB}{AF}:

النسبة الأولى:
ADAE=2535=23\frac{AD}{AE} = \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{3}
النسبة الثانية:
ABAF=812=8÷412÷4=23\frac{AB}{AF} = \frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}

نلاحظ أن:

ADAE=ABAF=23\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AF} = \frac{2}{3}

وبما أن النقط A,D,EA, D, E والنقط A,B,FA, B, F مرتبة بنفس الترتيب على الاستقامة، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، نستنتج أن المستقيمين متوازيان:

(DB)//(EF)(DB) // (EF)

3) حساب الطول EFEF

💡إضاءة وتنبيه:
بما أن المستقيمين متوازيان، يمكننا تطبيق خاصية طاليس المباشرة لحساب الطول EFEF.
✅الإجابة النموذجية:

بما أن (DB)//(EF)(DB) // (EF) والنقاط A,D,EA, D, E و A,B,FA, B, F على استقامة واحدة، فحسب خاصية طاليس لدينا:

ADAE=ABAF=DBEF\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AF} = \frac{DB}{EF}

نعلم أن DD منتصف [BC][BC]، إذن:

DB=BC2=25 cmDB = \frac{BC}{2} = 2\sqrt{5} \text{ cm}

نعوض في النسب:

23=25EF\frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{EF}

باستعمال الرابع المتناسب:

EF=3×252=35 cmEF = \frac{3 \times 2\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5} \text{ cm}

4) حساب قيس الزاوية CBA^\widehat{CBA} بالتدوير إلى الدرجة

💡إضاءة وتنبيه:
في المثلث القائم ABCABC، يمكننا حساب قيس الزاوية الحادة CBA^\widehat{CBA} باستخدام إحدى النسب المثلثية (الظل، الجيب، أو جيب التمام). يفضل استخدام الظل tan⁡\tan لتجنب استخدام القيم التقريبية للجذور.
✅الإجابة النموذجية:

في المثلث ABCABC القائم في AA:

tan⁡(CBA^)=المقابلالمجاور=ACAB\tan(\widehat{CBA}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{AC}{AB}

بالتعويض بالأعداد:

tan⁡(CBA^)=48=0.5\tan(\widehat{CBA}) = \frac{4}{8} = 0.5

باستعمال الآلة الحاسبة (اللمسة 2ndF+tan⁡\text{2ndF} + \tan أو shift+tan⁡\text{shift} + \tan):

CBA^≈26.565∘\widehat{CBA} \approx 26.565^\circ

وبالتدوير إلى الدرجة (بما أن الجزء من عشرة هو 55 فما فوق، نضيف 11 لآحاد الجزء الصحيح):

CBA^≈27∘\widehat{CBA} \approx 27^\circ