الكتابة العلمية لعدد عشري هي كتابته من الشكل $a \times 10^n$ حيث $a$ عدد عشري مكتوب برقم واحد غير معدوم قبل الفاصلة ($1 \le a < 10$) و $n$ عدد صحيح نسبي.

لدينا العبارة:

نقوم بفصل الأعداد المعلومة عن قوى العدد 10 لتسهيل الحساب:

نحسب الجزء العددي:

نحسب جزء قوى العدد 10 بتطبيق قواعد الحساب على القوى $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$ و $\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$:

إذن:

نكتب الناتج كتابة علمية بإزاحة الفاصلة بمرتبة واحدة نحو اليسار وإضافة $1$ إلى الأس:

الكتابة العلمية للعدد $A$ هي:

لدينا العبارة:

نقوم بتبسيط الجذور بكتابة الأعداد تحت الجذر على شكل جذاء يكون أحد عامليه مربعاً تاماً والآخر هو 5:

نعوض هذه القيم في العبارة $B$:

نستخرج $\sqrt{5}$ كعامل مشترك:

كتابة العدد $B$ على الشكل $a\sqrt{5}$ هي:

لدينا الكسر:

لإيجاد الكسر غير القابل للاختزال مباشرة، نحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 3465 و 1575 باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو 315، فإن:

الآن نقسم كلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر $315$:

الكسر غير القابل للاختزال المساوي للعدد $C$ هو:

نطبق المتطابقة الشهيرة الثانية (مربع فرق): $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

نطبق المتطابقة الشهيرة الأولى (مربع مجموع): $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

ترتيب الحدود تنازلياً حسب الأسس:

نطبق خاصية توزيع الضرب على الجمع:

نتائج النشر والتبسيط هي:

من خلال تشفير الشكل المرفق، نلاحظ وجود زاوية قائمة عند النقطة $A$ ناتجة عن تقاطع المستقيمين $(EA)$ و $(RN)$، مما يعني أن المثلثين $EAN$ و $EAR$ قائمان في $A$.

بما أن النقطة $A$ تنتمي إلى القطعة المستقيمة $[RN]$، فإن:

ومنه:

بالتعويض بالقيم المعطاة ($RN = 10.6\text{ cm}$ و $AN = 4.5\text{ cm}$):

في المثلث $EAN$ القائم في $A$، وبتطبيق نظرية فيثاغورس:

نعوض بالقيم المعلومة ($EN = 9\text{ cm}$ و $AN = 4.5\text{ cm}$):

بالتدوير إلى $\frac{1}{10}$ (رقم واحد بعد الفاصلة):

بما أن الرقم الثاني بعد الفاصلة هو 9 (وهو أكبر من أو يساوي 5)، فإننا نضيف 1 إلى الرقم الأول بعد الفاصلة:

(ملاحظة بديلة باستخدام جيب تمام الزاوية $\widehat{ENA} = 60^\circ$):

في المثلث $REN$:

بتطبيق نظرية طالس في المثلث $REN$، نجد:

نأخذ النسبة المعلومة لحساب الطول المطلوب:

نعوض بالقيم المعلومة ($RA = 6.1$، $RN = 10.6$، $EN = 9$):

باستعمال الرابع المتناسب:

بالتدوير إلى $\frac{1}{10}$:

الطول $TA$ هو:

في المثلث $EAR$ القائم في $A$:

نعوض بالقيم (باستخدام القيمة الدقيقة لـ $EA = \sqrt{60.75}$ لتفادي تراكم أخطاء التدوير):

(أو باستخدام القيمة المدورة $EA \approx 7.8$):

باستخدام الحاسبة (اللمسة العكسية للظل $\tan^{-1}$ أو $\text{Shift} + \text{tan}$):

بالتدوير إلى الدرجة (بما أن الجزء العشري هو 9 وهو أكبر من 5، نقرب إلى العدد الصحيح الموالي):