📚
الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 77 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الحل النموذجي المعتمد والشامل
المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
1. كتابة العدد A A A الكتابة العلمية لعدد عشري هي كتابته من الشكل a × 10 n a \times 10^n a × 1 0 n a a a 1 ≤ a < 10 1 \le a < 10 1 ≤ a < 10 n n n
لدينا العبارة:
A = 49 × 10 8 × 6 × 10 − 6 14 × 10 − 2 A = \frac{49 \times 10^8 \times 6 \times 10^{-6}}{14 \times 10^{-2}} A = 14 × 1 0 − 2 49 × 1 0 8 × 6 × 1 0 − 6
نقوم بفصل الأعداد المعلومة عن قوى العدد 10 لتسهيل الحساب:
A = ( 49 × 6 14 ) × ( 10 8 × 10 − 6 10 − 2 ) A = \left( \frac{49 \times 6}{14} \right) \times \left( \frac{10^8 \times 10^{-6}}{10^{-2}} \right) A = ( 14 49 × 6 ) × ( 1 0 − 2 1 0 8 × 1 0 − 6 )
نحسب الجزء العددي:
49 × 6 14 = 7 × 7 × 6 2 × 7 = 7 × 6 2 = 42 2 = 21 \frac{49 \times 6}{14} = \frac{7 \times 7 \times 6}{2 \times 7} = \frac{7 \times 6}{2} = \frac{42}{2} = 21 14 49 × 6 = 2 × 7 7 × 7 × 6 = 2 7 × 6 = 2 42 = 21
نحسب جزء قوى العدد 10 بتطبيق قواعد الحساب على القوى 10 a × 10 b = 10 a + b 10^a \times 10^b = 10^{a+b} 1 0 a × 1 0 b = 1 0 a + b 10 a 10 b = 10 a − b \frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b} 1 0 b 1 0 a = 1 0 a − b
10 8 × 10 − 6 10 − 2 = 10 8 + ( − 6 ) 10 − 2 = 10 2 10 − 2 = 10 2 − ( − 2 ) = 10 2 + 2 = 10 4 \frac{10^8 \times 10^{-6}}{10^{-2}} = \frac{10^{8 + (-6)}}{10^{-2}} = \frac{10^2}{10^{-2}} = 10^{2 - (-2)} = 10^{2 + 2} = 10^4 1 0 − 2 1 0 8 × 1 0 − 6 = 1 0 − 2 1 0 8 + ( − 6 ) = 1 0 − 2 1 0 2 = 1 0 2 − ( − 2 ) = 1 0 2 + 2 = 1 0 4
إذن:
A = 21 × 10 4 A = 21 \times 10^4 A = 21 × 1 0 4
نكتب الناتج كتابة علمية بإزاحة الفاصلة بمرتبة واحدة نحو اليسار وإضافة 1 1 1
A = 2.1 × 10 1 × 10 4 = 2.1 × 10 5 A = 2.1 \times 10^1 \times 10^4 = 2.1 \times 10^5 A = 2.1 × 1 0 1 × 1 0 4 = 2.1 × 1 0 5 الكتابة العلمية للعدد A A A
A = 2.1 × 10 5 A = 2.1 \times 10^5 A = 2.1 × 1 0 5
2. كتابة العدد B B B a 5 a\sqrt{5} a 5 a a a
لدينا العبارة:
B = 3 20 − 4 5 + 245 B = 3\sqrt{20} - 4\sqrt{5} + \sqrt{245} B = 3 20 − 4 5 + 245
نقوم بتبسيط الجذور بكتابة الأعداد تحت الجذر على شكل جذاء يكون أحد عامليه مربعاً تاماً والآخر هو 5:
20 = 4 × 5 = 2 2 × 5 = 2 5 \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{2^2 \times 5} = 2\sqrt{5} 20 = 4 × 5 = 2 2 × 5 = 2 5 245 = 49 × 5 = 7 2 × 5 = 7 5 \sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = \sqrt{7^2 \times 5} = 7\sqrt{5} 245 = 49 × 5 = 7 2 × 5 = 7 5
نعوض هذه القيم في العبارة B B B
B = 3 ( 2 5 ) − 4 5 + 7 5 B = 3(2\sqrt{5}) - 4\sqrt{5} + 7\sqrt{5} B = 3 ( 2 5 ) − 4 5 + 7 5
B = 6 5 − 4 5 + 7 5 B = 6\sqrt{5} - 4\sqrt{5} + 7\sqrt{5} B = 6 5 − 4 5 + 7 5
نستخرج 5 \sqrt{5} 5
B = ( 6 − 4 + 7 ) 5 B = (6 - 4 + 7)\sqrt{5} B = ( 6 − 4 + 7 ) 5
كتابة العدد B B B a 5 a\sqrt{5} a 5
B = 9 5 ( حيث a = 9 ) B = 9\sqrt{5} \quad (\text{حيث } a = 9) B = 9 5 ( حيث a = 9 )
3. اختزال العدد C C C
لدينا الكسر:
C = 3465 1575 C = \frac{3465}{1575} C = 1575 3465
لإيجاد الكسر غير القابل للاختزال مباشرة، نحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 3465 و 1575 باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):
3465 = 1575 × 2 + 315 3465 = 1575 \times 2 + 315 3465 = 1575 × 2 + 315
1575 = 315 × 5 + 0 1575 = 315 \times 5 + 0 1575 = 315 × 5 + 0
بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو 315، فإن:
PGCD ( 3465 , 1575 ) = 315 \text{PGCD}(3465, 1575) = 315 PGCD ( 3465 , 1575 ) = 315
الآن نقسم كلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر 315 315 315
C = 3465 ÷ 315 1575 ÷ 315 C = \frac{3465 \div 315}{1575 \div 315} C = 1575 ÷ 315 3465 ÷ 315
C = 11 5 C = \frac{11}{5} C = 5 11 الكسر غير القابل للاختزال المساوي للعدد C C C
C = 11 5 C = \frac{11}{5} C = 5 11
نشر وتبسيط العبارات التالية:
العبارة الأولى: ( 5 − 3 ) 2 (5 - \sqrt{3})^2 ( 5 − 3 ) 2 نطبق المتطابقة الشهيرة الثانية (مربع فرق): ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2
( 5 − 3 ) 2 = 5 2 − 2 × 5 × 3 + ( 3 ) 2 (5 - \sqrt{3})^2 = 5^2 - 2 \times 5 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 ( 5 − 3 ) 2 = 5 2 − 2 × 5 × 3 + ( 3 ) 2
( 5 − 3 ) 2 = 25 − 10 3 + 3 (5 - \sqrt{3})^2 = 25 - 10\sqrt{3} + 3 ( 5 − 3 ) 2 = 25 − 10 3 + 3
( 5 − 3 ) 2 = 28 − 10 3 (5 - \sqrt{3})^2 = 28 - 10\sqrt{3} ( 5 − 3 ) 2 = 28 − 10 3
العبارة الثانية: ( 2 + x ) 2 (2 + x)^2 ( 2 + x ) 2 نطبق المتطابقة الشهيرة الأولى (مربع مجموع): ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
( 2 + x ) 2 = 2 2 + 2 × 2 × x + x 2 (2 + x)^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times x + x^2 ( 2 + x ) 2 = 2 2 + 2 × 2 × x + x 2
( 2 + x ) 2 = 4 + 4 x + x 2 (2 + x)^2 = 4 + 4x + x^2 ( 2 + x ) 2 = 4 + 4 x + x 2
ترتيب الحدود تنازلياً حسب الأسس:
( 2 + x ) 2 = x 2 + 4 x + 4 (2 + x)^2 = x^2 + 4x + 4 ( 2 + x ) 2 = x 2 + 4 x + 4
العبارة الثالثة: − 3 ( 2 x + 7 ) -3(2x + 7) − 3 ( 2 x + 7 ) نطبق خاصية توزيع الضرب على الجمع:
− 3 ( 2 x + 7 ) = ( − 3 ) × ( 2 x ) + ( − 3 ) × ( 7 ) -3(2x + 7) = (-3) \times (2x) + (-3) \times (7) − 3 ( 2 x + 7 ) = ( − 3 ) × ( 2 x ) + ( − 3 ) × ( 7 )
− 3 ( 2 x + 7 ) = − 6 x − 21 -3(2x + 7) = -6x - 21 − 3 ( 2 x + 7 ) = − 6 x − 21 نتائج النشر والتبسيط هي:
( 5 − 3 ) 2 = 28 − 10 3 (5 - \sqrt{3})^2 = 28 - 10\sqrt{3} ( 5 − 3 ) 2 = 28 − 10 3 ( 2 + x ) 2 = x 2 + 4 x + 4 (2 + x)^2 = x^2 + 4x + 4 ( 2 + x ) 2 = x 2 + 4 x + 4 − 3 ( 2 x + 7 ) = − 6 x − 21 -3(2x + 7) = -6x - 21 − 3 ( 2 x + 7 ) = − 6 x − 21
1. حساب الطولين E A EA E A A R AR A R من خلال تشفير الشكل المرفق، نلاحظ وجود زاوية قائمة عند النقطة A A A ( E A ) (EA) ( E A ) ( R N ) (RN) ( R N ) E A N EAN E A N E A R EAR E A R A A A
بما أن النقطة A A A [ R N ] [RN] [ R N ]
R N = A R + A N RN = AR + AN R N = A R + A N
ومنه:
A R = R N − A N AR = RN - AN A R = R N − A N
بالتعويض بالقيم المعطاة (R N = 10.6 cm RN = 10.6\text{ cm} R N = 10.6 cm A N = 4.5 cm AN = 4.5\text{ cm} A N = 4.5 cm
A R = 10.6 − 4.5 = 6.1 cm AR = 10.6 - 4.5 = 6.1\text{ cm} A R = 10.6 − 4.5 = 6.1 cm
في المثلث E A N EAN E A N A A A
E N 2 = E A 2 + A N 2 EN^2 = EA^2 + AN^2 E N 2 = E A 2 + A N 2
نعوض بالقيم المعلومة (E N = 9 cm EN = 9\text{ cm} E N = 9 cm A N = 4.5 cm AN = 4.5\text{ cm} A N = 4.5 cm
9 2 = E A 2 + 4.5 2 9^2 = EA^2 + 4.5^2 9 2 = E A 2 + 4. 5 2
81 = E A 2 + 20.25 81 = EA^2 + 20.25 81 = E A 2 + 20.25
E A 2 = 81 − 20.25 EA^2 = 81 - 20.25 E A 2 = 81 − 20.25
E A 2 = 60.75 EA^2 = 60.75 E A 2 = 60.75
E A = 60.75 ≈ 7.794 cm EA = \sqrt{60.75} \approx 7.794\text{ cm} E A = 60.75 ≈ 7.794 cm
بالتدوير إلى 1 10 \frac{1}{10} 10 1
بما أن الرقم الثاني بعد الفاصلة هو 9 (وهو أكبر من أو يساوي 5)، فإننا نضيف 1 إلى الرقم الأول بعد الفاصلة:
E A ≈ 7.8 cm EA \approx 7.8\text{ cm} E A ≈ 7.8 cm
(ملاحظة بديلة باستخدام جيب تمام الزاوية E N A ^ = 60 ∘ \widehat{ENA} = 60^\circ E N A = 6 0 ∘
cos ( 60 ∘ ) = A N E N = 4.5 9 = 0.5 ( محققة ) \cos(60^\circ) = \frac{AN}{EN} = \frac{4.5}{9} = 0.5 \quad (\text{محققة}) cos ( 6 0 ∘ ) = E N A N = 9 4.5 = 0.5 ( محققة )
sin ( 60 ∘ ) = E A E N ⟹ E A = 9 × sin ( 60 ∘ ) = 9 × 0.866 ≈ 7.8 cm \sin(60^\circ) = \frac{EA}{EN} \implies EA = 9 \times \sin(60^\circ) = 9 \times 0.866 \approx 7.8\text{ cm} sin ( 6 0 ∘ ) = E N E A ⟹ E A = 9 × sin ( 6 0 ∘ ) = 9 × 0.866 ≈ 7.8 cm الطول
A R = 6.1 cm AR = 6.1\text{ cm} A R = 6.1 cm الطول
E A ≈ 7.8 cm EA \approx 7.8\text{ cm} E A ≈ 7.8 cm (بالتدوير إلى
0.1 0.1 0.1 )
2. حساب الطول T A TA T A ( E N ) ∥ ( A T ) (EN) \parallel (AT) ( E N ) ∥ ( A T )
في المثلث R E N REN R E N
لدينا النقطة
T T T تنتمي إلى المستقيم
( R E ) (RE) ( R E ) .
لدينا النقطة
A A A تنتمي إلى المستقيم
( R N ) (RN) ( R N ) .
المستقيمان
( A T ) (AT) ( A T ) و
( E N ) (EN) ( E N ) متوازيان.
بتطبيق نظرية طالس في المثلث R E N REN R E N
R A R N = R T R E = T A E N \frac{RA}{RN} = \frac{RT}{RE} = \frac{TA}{EN} R N R A = R E R T = E N T A
نأخذ النسبة المعلومة لحساب الطول المطلوب:
R A R N = T A E N \frac{RA}{RN} = \frac{TA}{EN} R N R A = E N T A
نعوض بالقيم المعلومة (R A = 6.1 RA = 6.1 R A = 6.1 R N = 10.6 RN = 10.6 R N = 10.6 E N = 9 EN = 9 E N = 9
6.1 10.6 = T A 9 \frac{6.1}{10.6} = \frac{TA}{9} 10.6 6.1 = 9 T A
باستعمال الرابع المتناسب:
T A = 6.1 × 9 10.6 TA = \frac{6.1 \times 9}{10.6} T A = 10.6 6.1 × 9
T A = 54.9 10.6 ≈ 5.179 cm TA = \frac{54.9}{10.6} \approx 5.179\text{ cm} T A = 10.6 54.9 ≈ 5.179 cm
بالتدوير إلى 1 10 \frac{1}{10} 10 1
T A ≈ 5.2 cm TA \approx 5.2\text{ cm} T A ≈ 5.2 cm الطول T A TA T A
T A ≈ 5.2 cm TA \approx 5.2\text{ cm} T A ≈ 5.2 cm
3. حساب tan ( E R A ^ ) \tan(\widehat{ERA}) tan ( E R A ) E R A ^ \widehat{ERA} E R A
في المثلث E A R EAR E A R A A A
tan ( E R A ^ ) = المقابل المجاور = E A A R \tan(\widehat{ERA}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{EA}{AR} tan ( E R A ) = المجاور المقابل = A R E A
نعوض بالقيم (باستخدام القيمة الدقيقة لـ E A = 60.75 EA = \sqrt{60.75} E A = 60.75
tan ( E R A ^ ) = 60.75 6.1 ≈ 7.7942 6.1 ≈ 1.278 \tan(\widehat{ERA}) = \frac{\sqrt{60.75}}{6.1} \approx \frac{7.7942}{6.1} \approx 1.278 tan ( E R A ) = 6.1 60.75 ≈ 6.1 7.7942 ≈ 1.278
(أو باستخدام القيمة المدورة E A ≈ 7.8 EA \approx 7.8 E A ≈ 7.8
tan ( E R A ^ ) = 7.8 6.1 ≈ 1.279 \tan(\widehat{ERA}) = \frac{7.8}{6.1} \approx 1.279 tan ( E R A ) = 6.1 7.8 ≈ 1.279
استنتاج قيس الزاوية E R A ^ \widehat{ERA} E R A باستخدام الحاسبة (اللمسة العكسية للظل tan − 1 \tan^{-1} tan − 1 Shift + tan \text{Shift} + \text{tan} Shift + tan
E R A ^ = tan − 1 ( 1.278 ) ≈ 51.95 ∘ \widehat{ERA} = \tan^{-1}(1.278) \approx 51.95^\circ E R A = tan − 1 ( 1.278 ) ≈ 51.9 5 ∘
بالتدوير إلى الدرجة (بما أن الجزء العشري هو 9 وهو أكبر من 5، نقرب إلى العدد الصحيح الموالي):
E R A ^ ≈ 52 ∘ \widehat{ERA} \approx 52^\circ E R A ≈ 5 2 ∘ ظل الزاوية:
tan ( E R A ^ ) ≈ 1.28 \tan(\widehat{ERA}) \approx 1.28 tan ( E R A ) ≈ 1.28 قيس الزاوية
E R A ^ \widehat{ERA} E R A بالتدوير إلى الدرجة هو:
E R A ^ ≈ 52 ∘ \widehat{ERA} \approx 52^\circ E R A ≈ 5 2 ∘