📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 78 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول:

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 150 و 96، وحساب العبارة AA

حساب القاسم المشترك الأكبر PGCD(150,96)\text{PGCD}(150, 96)

💡إضاءة وتنبيه:
لحساب القاسم المشترك الأكبر، نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأكثر دقة في الامتحانات الرسمية.
150=96×1+54150 = 96 \times 1 + 54
96=54×1+4296 = 54 \times 1 + 42
54=42×1+1254 = 42 \times 1 + 12
42=12×3+642 = 12 \times 3 + 6
12=6×2+012 = 6 \times 2 + 0

بما أن آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات المتتالية هو 66، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(150,96)=6\text{PGCD}(150, 96) = 6

حساب العبارة AA وكتابة الناتج على شكل كسر غير قابل للاختزال

لدينا العبارة:

A=96150−75÷52A = \frac{96}{150} - \frac{7}{5} \div \frac{5}{2}

أولاً، نقوم باختزال الكسر 96150\frac{96}{150} بقسمة بسطه ومقامه على القاسم المشترك الأكبر لهما وهو 66:

96150=96÷6150÷6=1625\frac{96}{150} = \frac{96 \div 6}{150 \div 6} = \frac{16}{25}

ثانياً، نحسب عملية القسمة (الضرب في مقلوب الكسر الثاني):

75÷52=75×25=7×25×5=1425\frac{7}{5} \div \frac{5}{2} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{7 \times 2}{5 \times 5} = \frac{14}{25}

نعوض الآن في العبارة AA:

A=1625−1425A = \frac{16}{25} - \frac{14}{25}
A=16−1425A = \frac{16 - 14}{25}
✅الإجابة النموذجية:
A=225A = \frac{2}{25}

الكسر 225\frac{2}{25} غير قابل للاختزال لأن PGCD(2,25)=1\text{PGCD}(2, 25) = 1.

2) تبسيط العبارات الجذور والكسور

كتابة NN على الشكل aba\sqrt{b}

لدينا العبارة:

N=3300−3+27N = 3\sqrt{300} - \sqrt{3} + \sqrt{27}

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى جذاءات يظهر فيها أصغر عدد طبيعي ممكن تحت الجذر (وهو 33):

300=100×3=102×3300 = 100 \times 3 = 10^2 \times 3
27=9×3=32×327 = 9 \times 3 = 3^2 \times 3

نعوض في العبارة NN:

N=3100×3−3+9×3N = 3\sqrt{100 \times 3} - \sqrt{3} + \sqrt{9 \times 3}
N=3×103−13+33N = 3 \times 10\sqrt{3} - 1\sqrt{3} + 3\sqrt{3}
N=303−13+33N = 30\sqrt{3} - 1\sqrt{3} + 3\sqrt{3}
N=(30−1+3)3N = (30 - 1 + 3)\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
N=323N = 32\sqrt{3}

حيث a=32a = 32 و b=3b = 3 وهما عددان طبيعيان، و bb أصغر ما يمكن.

تبيان أن MM عدد طبيعي

لدينا العبارة:

M=(3−6)(3+6)M = (3 - \sqrt{6})(3 + \sqrt{6})

نلاحظ أن العبارة هي جداء شهير من الشكل (x−y)(x+y)=x2−y2(x - y)(x + y) = x^2 - y^2:

M=32−(6)2M = 3^2 - (\sqrt{6})^2
M=9−6M = 9 - 6
✅الإجابة النموذجية:
M=3M = 3

وبما أن 33 عدد طبيعي، فإن MM عدد طبيعي فعلاً.

إثبات أن L=6−12L = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}

لدينا العبارة:

L=6−626L = \frac{6 - \sqrt{6}}{2\sqrt{6}}

لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في 6\sqrt{6}:

L=(6−6)×626×6L = \frac{(6 - \sqrt{6}) \times \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \times \sqrt{6}}
L=66−(6)22×6L = \frac{6\sqrt{6} - (\sqrt{6})^2}{2 \times 6}
L=66−612L = \frac{6\sqrt{6} - 6}{12}

نستخرج 66 كعامل مشترك من البسط:

L=6(6−1)12L = \frac{6(\sqrt{6} - 1)}{12}

نختزل البسط والمقام بقسمتهما على 66:

L=6−12L = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}
✅الإجابة النموذجية:

وهو المطلوب إثباته:

L=6−12L = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}
📌

التمرين الثاني:

1) البرهان أن (AD)//(BC)(AD) // (BC)

نعتبر المستقيمين (AC)(AC) و (BD)(BD) المتقاطعين في النقطة EE.

نقارن النسبتين EDEB\frac{ED}{EB} و EAEC\frac{EA}{EC}:

النسبة الأولى:
EDEB=22.5=0.8\frac{ED}{EB} = \frac{2}{2.5} = 0.8
النسبة الثانية:
EAEC=2.83.5=0.8\frac{EA}{EC} = \frac{2.8}{3.5} = 0.8

نلاحظ أن:

EDEB=EAEC=0.8\frac{ED}{EB} = \frac{EA}{EC} = 0.8

وبما أن النقط D,E,BD, E, B والنقط A,E,CA, E, C على استقامة واحدة وبنفس الترتيب:

✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين (AD)(AD) و (BC)(BC) متوازيان، أي:

(AD)//(BC)(AD) // (BC)

2) حساب الطول BCBC

بما أن المستقيمين (AD)(AD) و (BC)(BC) متوازيان، والنقط D,E,BD, E, B و A,E,CA, E, C مستقيمة، فإنه بتطبيق خاصية طاليس نجد:

EDEB=EAEC=ADBC\frac{ED}{EB} = \frac{EA}{EC} = \frac{AD}{BC}

نعوض بالأطوال المعلومة:

22.5=3.2BC\frac{2}{2.5} = \frac{3.2}{BC}

باستعمال الرابع المتناسب:

BC=2.5×3.22BC = \frac{2.5 \times 3.2}{2}
BC=82BC = \frac{8}{2}
✅الإجابة النموذجية:
BC = 4 \text{ cm} ] ### 3) حساب قيس الزاوية \( \widehat{CAB} \) بالتدوير إلى الدرجة نلاحظ من التشفير في الشكل أن المثلث \( ABC \) قائم في \( B \). لدينا: * طول الضلع المقابل للزاوية \( \widehat{CAB} \) هو: \( BC = 4 \text{ cm} \) * طول الوتر \( AC \) هو: \[ AC = AE + EC = 2.8 + 3.5 = 6.3 \text{ cm}

باستخدام جيب تمام الزاوية (أو الجيب):

sin⁡(CAB^)=المقابلالوتر=BCAC\sin(\widehat{CAB}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{AC}
sin⁡(CAB^)=46.3≈0.6349\sin(\widehat{CAB}) = \frac{4}{6.3} \approx 0.6349

باستعمال الحاسبة (اللمسة sin⁡−1\sin^{-1} أو 2ndF sin\text{2ndF sin}):

CAB^≈39.41∘\widehat{CAB} \approx 39.41^\circ

وبتدوير الناتج إلى الوحدة (الدرجة):

✅الإجابة النموذجية:
CAB^≈39∘\widehat{CAB} \approx 39^\circ