📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 76 - فرض الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: فروض الفصل الأول
📌

التمرين الأول (07 نقاط)

إليك العددين MM و NN حيث:

M=(2+3)2M = (2 + \sqrt{3})^2
N=227−12108−147+49N = 2\sqrt{27} - \frac{1}{2}\sqrt{108} - \sqrt{147} + \sqrt{49}

1) نشر وتبسيط العدد MM وكتابته على الشكل a+bca + b\sqrt{c}

💡إضاءة وتنبيه:

لنشر العبارة MM، نستخدم المتطابقة الشهيرة الأولى (مربع مجموع):

(x+y)2=x2+2xy+y2(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

حيث نقوم بتعويض x=2x = 2 و y=3y = \sqrt{3}.

✅الإجابة النموذجية:
M=(2+3)2M = (2 + \sqrt{3})^2
M=(2)2+2(2)(3)+(3)2M = (2)^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2
M=4+43+3M = 4 + 4\sqrt{3} + 3
M=(4+3)+43M = (4 + 3) + 4\sqrt{3}
M=7+43M = 7 + 4\sqrt{3}

العبارة مكتوبة على الشكل a+bca + b\sqrt{c} حيث: a=7a = 7، b=4b = 4، c=3c = 3.

2) تبيين أن: N=7−43N = 7 - 4\sqrt{3}

💡إضاءة وتنبيه:

لتبسيط العبارة NN، نقوم بكتابة الأعداد الموجودة تحت الجذور على شكل جذاء عددين أحدهما مربع تام، مع الاستعانة بالعدد 33 كقاسم مشترك تحت الجذور بناءً على نتيجة السؤال الأول.

✅الإجابة النموذجية:

لدينا العبارة:

N=227−12108−147+49N = 2\sqrt{27} - \frac{1}{2}\sqrt{108} - \sqrt{147} + \sqrt{49}

نقوم بتحليل الجذور التربيعية:

27=9×3=32×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{3^2 \times 3} = 3\sqrt{3}
108=36×3=62×3=63\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{6^2 \times 3} = 6\sqrt{3}
147=49×3=72×3=73\sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{7^2 \times 3} = 7\sqrt{3}
49=7\sqrt{49} = 7

نعوض هذه القيم في العبارة NN:

N=2(33)−12(63)−73+7N = 2(3\sqrt{3}) - \frac{1}{2}(6\sqrt{3}) - 7\sqrt{3} + 7
N=63−33−73+7N = 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 7

نجمع الحدود المتشابهة التي تحتوي على 3\sqrt{3}:

N=(6−3−7)3+7N = (6 - 3 - 7)\sqrt{3} + 7
N=−43+7N = -4\sqrt{3} + 7

بترتيب الحدود نجد:

N=7−43N = 7 - 4\sqrt{3}

وهو المطلوب إثباته.

3) تبيين أن M×NM \times N عدد نسبي صحيح

💡إضاءة وتنبيه:

لحساب الجداء M×NM \times N، نلاحظ أن العبارتين مترافقتان، مما يسمح لنا بتطبيق المتطابقة الشهيرة الثالثة (فرق مربعين):

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
✅الإجابة النموذجية:
M×N=(7+43)(7−43)M \times N = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})

بتطبيق المتطابقة الشهيرة الثالثة:

M×N=(7)2−(43)2M \times N = (7)^2 - (4\sqrt{3})^2
M×N=49−(16×3)M \times N = 49 - (16 \times 3)
M×N=49−48M \times N = 49 - 48
M×N=1M \times N = 1

بما أن العدد 11 هو عدد صحيح، فإن الجداء M×NM \times N هو بالفعل عدد نسبي صحيح.

4) تبيين أن: 33−2=−3−23\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2} = -3 - 2\sqrt{3}

💡إضاءة وتنبيه:

لجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في مرافق المقام. مرافق المقدار (3−2)(\sqrt{3} - 2) هو (3+2)(\sqrt{3} + 2).

✅الإجابة النموذجية:
33−2=3(3+2)(3−2)(3+2)\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3} + 2)}

ننشر البسط ونبسط المقام:

البسط: 3×3+23=3+23\sqrt{3} \times \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3}
المقام: (3)2−(2)2=3−4=−1(\sqrt{3})^2 - (2)^2 = 3 - 4 = -1

نعوض في النسبة:

33−2=3+23−1\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2} = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{-1}
33−2=−(3+23)\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2} = -(3 + 2\sqrt{3})
33−2=−3−23\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2} = -3 - 2\sqrt{3}

وهو المطلوب إثباته.

📌

التمرين الثاني (06 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر PGCD(27342;21168)PGCD(27342; 21168)

💡إضاءة وتنبيه:

نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) لأنها الطريقة الأسرع والأدق للتعامل مع الأعداد الكبيرة. القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقٍ غير معدوم في سلسلة القسمات.

✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق خوارزمية القسمات المتتالية:

27342=21168×1+617427342 = 21168 \times 1 + 6174
21168=6174×3+264621168 = 6174 \times 3 + 2646
6174=2646×2+8826174 = 2646 \times 2 + 882
2646=882×3+02646 = 882 \times 3 + 0

آخر باقٍ غير معدوم هو 882882.

إذن:

PGCD(27342;21168)=882PGCD(27342; 21168) = 882

2) كتابة الكسر 2734221168\frac{27342}{21168} على شكل كسر غير قابل للاختزال

💡إضاءة وتنبيه:

للحصول على كسر غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر الذي حسبناه في السؤال السابق.

✅الإجابة النموذجية:
2734221168=27342÷88221168÷882\frac{27342}{21168} = \frac{27342 \div 882}{21168 \div 882}

نقوم بإجراء العمليات الحسابية:

27342÷882=3127342 \div 882 = 31
21168÷882=2421168 \div 882 = 24

إذن الكسر غير القابل للاختزال هو:

2734221168=3124\frac{27342}{21168} = \frac{31}{24}

3) حساب العدد CC حيث: C=2734221168−76÷42C = \frac{27342}{21168} - \frac{7}{6} \div \frac{4}{2}

💡إضاءة وتنبيه:

لتسهيل الحساب، نعوض الكسر الكبير بكسره المختزل المساوي له 3124\frac{31}{24}. كما نراعي أولويات العمليات الحسابية، حيث تُعطى الأولوية لعملية القسمة قبل الطرح.

✅الإجابة النموذجية:

نعوض الكسر الأول بقيمته المختزلة:

C=3124−76÷42C = \frac{31}{24} - \frac{7}{6} \div \frac{4}{2}

لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

C=3124−(76×24)C = \frac{31}{24} - \left( \frac{7}{6} \times \frac{2}{4} \right)
C=3124−1424C = \frac{31}{24} - \frac{14}{24}

بما أن المقامين موحدان، نطرح البسطين مباشرة:

C=31−1424C = \frac{31 - 14}{24}
C=1724C = \frac{17}{24}

4) حل المعادلة: 6x2−524=31246x^2 - \frac{5}{24} = \frac{31}{24}

💡إضاءة وتنبيه:

لحل هذه المعادلة، نقوم بعزل المجهول x2x^2 في طرف والمعاليم في الطرف الآخر، ثم نناقش إشارة الناتج لتحديد عدد الحلول.

✅الإجابة النموذجية:

ننقل الكسر −524-\frac{5}{24} إلى الطرف الأيمن مع تغيير إشارته:

6x2=3124+5246x^2 = \frac{31}{24} + \frac{5}{24}

نجمع الكسرين ذوي المقام الموحد:

6x2=31+5246x^2 = \frac{31 + 5}{24}
6x2=36246x^2 = \frac{36}{24}

نختزل الكسر 3624\frac{36}{24} بالقسمة على 1212:

6x2=326x^2 = \frac{3}{2}

نقسم الطرفين على 66 لعزل x2x^2:

x2=326x^2 = \frac{\frac{3}{2}}{6}
x2=32×6x^2 = \frac{3}{2 \times 6}
x2=312x^2 = \frac{3}{12}

نختزل الكسر بالقسمة على 33:

x2=14x^2 = \frac{1}{4}

بما أن 14>0\frac{1}{4} > 0، فإن للمعادلة حلين متمايزين هما:

x=14=12x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

أو

x=−14=−12x = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}

إذن حلول المعادلة هي: x=12x = \frac{1}{2} و x=−12x = -\frac{1}{2}.

📌

التمرين الثالث (07 نقاط)

1) تبيين نوع المثلث FMEFME

💡إضاءة وتنبيه:

نعتمد هنا على النظرية المتعلقة بالدائرة المحيطة بالمثلث القائم: "إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً للدائرة المحيطة به، فإن هذا المثلث قائم والضلع القطري هو وتره".

✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

المثلث FMEFME مرسوم داخل الدائرة (C)(C).
الضلع [EF][EF] هو قطر للدائرة (C)(C).
النقطة MM نقطة من الدائرة (C)(C) وتختلف عن الطرفين EE و FF.

وحسب الخاصية العكسية لخاصية الدائرة المحيطة بالمثلث القائم، فإن المثلث FMEFME قائم في النقطة MM.

2) حساب قيس الزاوية ME^F^\widehat{M\hat{E}F} بالتدوير إلى الدرجة

💡إضاءة وتنبيه:

في المثلث القائم FMEFME، لدينا طول الوتر EF=10 cmEF = 10\text{ cm} وطول الضلع المقابل للزاوية ME^F^\widehat{M\hat{E}F} وهو FM=6 cmFM = 6\text{ cm}. نستخدم النسبة المثلثية "الجيب" (sin⁡\sin).

✅الإجابة النموذجية:

في المثلث القائم FMEFME في MM:

sin⁡(ME^F^)=المقابلالوتر=FMEF\sin(\widehat{M\hat{E}F}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{FM}{EF}

بالتعويض العددي:

sin⁡(ME^F^)=610=0.6\sin(\widehat{M\hat{E}F}) = \frac{6}{10} = 0.6

باستخدام الحاسبة العلمية (بواسطة اللمسة sin⁡−1\sin^{-1} أو 2ndF+sin⁡\text{2ndF} + \sin):

ME^F^≈36.869∘\widehat{M\hat{E}F} \approx 36.869^\circ

بالتدوير إلى الوحدة (الدرجة):

ME^F^≈37∘\widehat{M\hat{E}F} \approx 37^\circ

3) حساب الطول MEME وتعيين النقطة NN

💡إضاءة وتنبيه:

بما أن المثلث FMEFME قائم في MM، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع القائم الثالث MEME.

✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم FMEFME في MM:

EF2=FM2+ME2EF^2 = FM^2 + ME^2

بالتعويض بالقيم المعلومة:

102=62+ME210^2 = 6^2 + ME^2
100=36+ME2100 = 36 + ME^2
ME2=100−36ME^2 = 100 - 36
ME2=64ME^2 = 64
ME=64=8 cmME = \sqrt{64} = 8\text{ cm}
تعيين النقطة NN: نقوم بتحديد النقطة NN على القطعة [EM][EM] بحيث تبعد عن EE بمسافة EN=4.8 cmEN = 4.8\text{ cm}.

4) حساب الطول NKNK

💡إضاءة وتنبيه:

لرسم المستقيم العمودي على (EM)(EM) في NN والذي يقطع (EF)(EF) في KK، نلاحظ نشوء مستقيمين عموديين على نفس المستقيم، مما يعني توازيهما، وبالتالي نطبق خاصية طاليس.

✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

المستقيم (NK)(NK) عمودي على المستقيم (EM)(EM) (معطيات).
المستقيم (FM)(FM) عمودي على المستقيم (EM)(EM) (لأن المثلث FMEFME قائم في MM).

بما أن المستقيمين (NK)(NK) و (FM)(FM) عموديان على نفس المستقيم (EM)(EM)، فهما متوازيان:

(NK)//(FM)(NK) // (FM)

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث EMFEMF حيث N∈[EM]N \in [EM] و K∈[EF]K \in [EF] و (NK)//(FM)(NK) // (FM):

ENEM=EKEF=NKFM\frac{EN}{EM} = \frac{EK}{EF} = \frac{NK}{FM}

بالتعويض بالقيم المعلومة:

4.88=EK10=NK6\frac{4.8}{8} = \frac{EK}{10} = \frac{NK}{6}

لحساب الطول NKNK، نأخذ النسبة الأولى والثالثة:

NK=4.8×68NK = \frac{4.8 \times 6}{8}
NK=28.88=3.6 cmNK = \frac{28.8}{8} = 3.6\text{ cm}

5) تبيين أن المستقيمين (ME)(ME) و (SR)(SR) متوازيان

💡إضاءة وتنبيه:

لإثبات التوازي، نستخدم الخاصية العكسية لخاصية طاليس. يجب أولاً التحقق من نسب الأطوال وترتيب النقط على الاستقامة.

✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

النقطة RR تنتمي إلى نصف المستقيم [EF)[EF) حيث FR=5 cmFR = 5\text{ cm}. بما أن EF=10 cmEF = 10\text{ cm}، فإن النقطة FF تقع بين EE و RR، وتكون النقط EE، FF، RR على استقامية بهذا الترتيب.
النقطة SS تنتمي إلى المستقيم (MF)(MF) حيث FS=3 cmFS = 3\text{ cm} ولا تنتمي إلى القطعة [MF][MF]. هذا يعني أن النقطة FF تقع بين MM و SS، وتكون النقط MM، FF، SS على استقامية بنفس ترتيب النقط السابقة.

نحسب ونقارن النسبتين:

النسبة الأولى:
FRFE=510=0.5\frac{FR}{FE} = \frac{5}{10} = 0.5
النسبة الثانية:
FSFM=36=0.5\frac{FS}{FM} = \frac{3}{6} = 0.5

نلاحظ أن:

FRFE=FSFM=0.5\frac{FR}{FE} = \frac{FS}{FM} = 0.5

وبما أن النسبتين متساويتان والنقط EE، FF، RR والنقط MM، FF، SS مرتبة بنفس الترتيب على الاستقامة، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين (ME)(ME) و (SR)(SR) متوازيان:

(ME)//(SR)(ME) // (SR)