Le document Paper #118 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am contient-il un corrigé ?

Oui, ce document est disponible avec son corrigé et barème officiel en téléchargement PDF gratuit sur DzMadrassa.

Comment télécharger ce sujet en PDF ?

Vous pouvez télécharger le document en format PDF imprimable directement via le bouton de téléchargement sur DzMadrassa.

Est-il possible de faire un quiz interactif ?

Oui, DzMadrassa propose des quiz interactifs pour tester vos connaissances avec correction immédiate.

Paper #118 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

PDFCorrigé IA2024Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet avec corrigé détaillé en format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 118 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول (03 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 630 و 345 واستنتاج القواسم المشتركة لهما

💡إضاءة وتنبيه:

لنحسب القاسم المشترك الأكبر

\text{PGCD}(630, 345)

نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية).

باستخدام خوارزمية القسمات المتتالية:

630 = 345 \times 1 + 285

345 = 285 \times 1 + 60

285 = 60 \times 4 + 45

60 = 45 \times 1 + 15

45 = 15 \times 3 + 0

آخر باقي غير معدوم هو $15$ .

✅الإجابة النموذجية:

\text{PGCD}(630, 345) = 15

استنتاج القواسم المشتركة للعددين 630 و 345:

القواسم المشتركة للعددين هي نفسها قواسم قاسمها المشترك الأكبر (العدد $15$ ).

قواسم العدد $15$ هي: $1$ ، $3$ ، $5$ ، $15$ .

✅الإجابة النموذجية:

مجموعة القواسم المشتركة للعددين 630 و 345 هي: $\{1, 3, 5, 15\}$ .

2) كتابة الكسر $\frac{345}{630}$ على شكل غير قابل للاختزال

💡إضاءة وتنبيه:

لكتابة كسر على شكل غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمها المشترك الأكبر $\text{PGCD}$ .

$\frac{345}{630} = \frac{345 \div 15}{630 \div 15} = \frac{23}{42}$

✅الإجابة النموذجية:

الكسر الغير قابل للاختزال هو:

$\frac{345}{630} = \frac{23}{42}$

3) حساب العدد $T$

$T = \frac{345}{630} - \frac{23}{42}$

نعوض الكسر $\frac{345}{630}$ بالكسر المختزل الموافق له $\frac{23}{42}$ :

$T = \frac{23}{42} - \frac{23}{42} = 0$

✅الإجابة النموذجية:

$T = 0$

📌

التمرين الثاني (03 نقاط)

الشكل المقابل مرسوم بأطوال غير حقيقية حيث المعطيات:

$CB = 5.2$

$BA = 2.6$

$CD = 4.8$

$DE = 2.4$

$BD = 6$

النقاط $C, B, A$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب، والنقاط $C, D, E$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب.

1) تبيان أن $(BD) \parallel (AE)$

💡إضاءة وتنبيه:

لإثبات توازي المستقيمين نستعمل الخاصية العكسية لخاصية طاليس بعد مقارنة النسبتين.

نحسب الطول الكلي $CA$ :

$CA = CB + BA = 5.2 + 2.6 = 7.8$

نحسب الطول الكلي $CE$ :

$CE = CD + DE = 4.8 + 2.4 = 7.2$

نحسب النسبتين ونقارنهما:

1. النسبة الأولى:

$\frac{CB}{CA} = \frac{5.2}{7.8} = \frac{52}{78} = \frac{2}{3} \approx 0.667$

2. النسبة الثانية:

$\frac{CD}{CE} = \frac{4.8}{7.2} = \frac{48}{72} = \frac{2}{3} \approx 0.667$

نلاحظ أن:

$\frac{CB}{CA} = \frac{CD}{CE} = \frac{2}{3}$

وبما أن النقاط $C, B, A$ والنقاط $C, D, E$ في استقامية وبنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن:

✅الإجابة النموذجية:

$(BD) \parallel (AE)$

2) حساب الطول $AE$

بما أن المستقيمين $(BD)$ و $(AE)$ متوازيان، وتتحقق شروط الاستقامية، نطبق خاصية طاليس المباشرة:

$\frac{CB}{CA} = \frac{CD}{CE} = \frac{BD}{AE}$

بالتعويض بالقيم العددية:

$\frac{2}{3} = \frac{6}{AE}$

ومنه:

$AE = \frac{3 \times 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$

✅الإجابة النموذجية:

$AE = 9$

📌

التمرين الثالث (03 نقاط)

ليكن العددان الحقيقيان $A$ و $B$ حيث:

$A = 5\sqrt{28} - \sqrt{7} + \sqrt{36}$

$B = \sqrt{\frac{27}{7}} \times \sqrt{\frac{14}{9}}$

1) كتابة العدد $A$ على الشكل $a\sqrt{7} + b$

نبسط الجذور:

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{4} \times \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{36} = 6$

بالتعويض في العبارة $A$ :

$A = 5(2\sqrt{7}) - \sqrt{7} + 6$

$A = 10\sqrt{7} - 1\sqrt{7} + 6$

$A = (10 - 1)\sqrt{7} + 6$

$A = 9\sqrt{7} + 6$

✅الإجابة النموذجية:

$A = 9\sqrt{7} + 6 \quad (\text{حيث } a = 9 \text{ و } b = 6)$

2) كتابة العدد $B$ على شكل $\sqrt{c}$

باستخدام خواص الجذور التربيعية $\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{x \times y}$ :

$B = \sqrt{\frac{27}{7} \times \frac{14}{9}}$

نختزل الكسر داخل الجذر:

$\frac{27}{9} = 3 \quad \text{و} \quad \frac{14}{7} = 2$

$B = \sqrt{3 \times 2} = \sqrt{6}$

✅الإجابة النموذجية:

$B = \sqrt{6} \quad (\text{حيث } c = 6)$

3) جعل مقام النسبة $\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}}$ عدداً ناطقاً

💡إضاءة وتنبيه:

لنعلّق المقام نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر الأصلي الموجود في المقام وهو $\sqrt{6}$ .

$\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}} = \frac{(9\sqrt{7} + 6) \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}$

$= \frac{9\sqrt{7 \times 6} + 6\sqrt{6}}{6} = \frac{9\sqrt{42} + 6\sqrt{6}}{6}$

يمكن تبسيط النسبة بقسمة كل حدود البسط والمقام على 3:

$= \frac{3(3\sqrt{42} + 2\sqrt{6})}{6} = \frac{3\sqrt{42} + 2\sqrt{6}}{2}$

✅الإجابة النموذجية:

$\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{42} + 2\sqrt{6}}{2}$

📌

التمرين الرابع (03 نقاط)

المعطيات من الشكل:

$IF = 10$

$FG = 24$

$IG = 26$

الضلع الأطول هو $IG$ .

$H$ نقطة تنتمي إلى القطعة المستقيمة $[IG]$ بحيث $(FH) \perp (IG)$ .

1) إثبات أن المثلث $IFG$ قائم

💡إضاءة وتنبيه:

نطبق الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس بإثبات أن مربع أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

1. حساب مربع أطول ضلع:

$IG^2 = 26^2 = 676$

2. حساب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

$IF^2 + FG^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$

بما أن $IG^2 = IF^2 + FG^2$ ، فحسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن:

✅الإجابة النموذجية:

المثلث $IFG$ قائم في النقطة $F$ .

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{G}$ بالتدوير إلى الدرجة

في المثلث القائم $IFG$ في $F$ ، نعلم أن:

$\cos(\widehat{G}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{FG}{IG}$

$\cos(\widehat{G}) = \frac{24}{26} = \frac{12}{13} \approx 0.9230769$

باستخدام الحاسبة ( $\cos^{-1}$ ):

$\widehat{G} \approx 22.619^\circ$

بالتدوير إلى الوحدة (الدرجة):

✅الإجابة النموذجية:

$\widehat{G} \approx 23^\circ$

3) تبيان أن $FG^2 = HG \times IG$

💡إضاءة وتنبيه:

للتبيان، نكتب جيب تمام الزاوية $\widehat{G}$ بطريقتين مختلفين في مثلثين قائمين مختلفين يشاركان الزاوية $\widehat{G}$ .

الطريقة 1: في المثلث الكبير القائم $IFG$ في $F$ :

$\cos(\widehat{G}) = \frac{FG}{IG} \quad \text{--- (1)}$

الطريقة 2: في المثلث الصغير القائم $FHG$ في $H$ (لأن $FH \perp IG$ ):

$\cos(\widehat{G}) = \frac{HG}{FG} \quad \text{--- (2)}$

من المعادلتين (1) و (2) نجد أن:

$\frac{FG}{IG} = \frac{HG}{FG}$

باستعمال حاصل الضرب المتصالب (الطرفين في الوسطين):

$FG \times FG = HG \times IG \implies FG^2 = HG \times IG$

✅الإجابة النموذجية:

تم الإثبات أن:

$FG^2 = HG \times IG$

📌

الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

التفكير والتحليل العلمي للوضعية:

مسار الجري هو المضلع الخماسي $ABPSD$ ، بداية من النقطة $A$ والعودة إليها مروراً بـ $B, P, S, D$ .

محيط الدور الواحدة يُحسب بالعبارة:

$P_{\text{الدورة}} = AB + BP + PS + SD + DA$

1. حساب طول ضلع المربع $ABCD$ :

مساحة المربع $ABCD$ هي $S = 2304 \text{ m}^2$ .

طول ضلع المربع يساوي:

$AB = BC = CD = DA = \sqrt{2304} = 48 \text{ m}$

2. حساب الطول $SD$ :

من الشكل:

$H$ منتصف قطعة المربع $[DC]$ (وفق التشفير الموضح على ورقة الامتحان):

$DH = HC = \frac{DC}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ m}$

المثلث $DHS$ قائم في $H$ مع المعطى $HS = 18 \text{ m}$ .

بتطبيق خاصية فيثاغورس على المثلث القائم $DHS$ :

$DS^2 = DH^2 + HS^2$

$DS^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$

$DS = \sqrt{900} = 30 \text{ m}$

3. حساب الطولين $BP$ و $CP$ :

المثلث $BCP$ قائم في $C$ (لأن $ABCD$ مربع بالتالي $BC \perp DC$ ، و $P$ تقع على امتداد الضائع $DC$ ).

قيس الزاوية $\widehat{BPC} = 30^\circ$ والضلع المقابل لها هو $BC = 48 \text{ m}$ .

حساب الوتر $BP$ :

$\sin(\widehat{BPC}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{BP}$

$\sin(30^\circ) = \frac{48}{BP} \implies 0.5 = \frac{48}{BP} \implies BP = \frac{48}{0.5} = 96 \text{ m}$

حساب المجاور $CP$ :

$\tan(\widehat{BPC}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{BC}{CP}$

$\tan(30^\circ) = \frac{48}{CP} \implies CP = \frac{48}{\tan(30^\circ)} = \frac{48}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 48\sqrt{3} \approx 83.138 \text{ m}$

4. حساب الطول $PS$ :

نعتبر المثلث القائم $SHP$ قائم في $H$ لأن $(SH) \perp (DP)$ .

طول الضلع القائم الأفقية $HP$ :

$HP = HC + CP = 24 + 48\sqrt{3} \approx 24 + 83.138 = 107.138 \text{ m}$

طول الضلع القائم الرأسية $SH = 18 \text{ m}$ .

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $SHP$ :

$PS^2 = SH^2 + HP^2$

$PS^2 = 18^2 + (107.138)^2 = 324 + 11478.55 = 11802.55$

$PS = \sqrt{11802.55} \approx 108.64 \text{ m}$

5. حساب المسافة الإجمالية المحسوبة لدورة واحدة:

$P_{\text{الدورة}} = AB + BP + PS + SD + DA$

$P_{\text{الدورة}} = 48 + 96 + 108.64 + 30 + 48 = 330.64 \text{ m}$

6. حساب المسافة التي يقطعها التلاميذ في 5 دورات كاملة:

$D_{\text{الإجمالية}} = 5 \times P_{\text{الدورة}}$

$D_{\text{الإجمالية}} = 5 \times 330.64 = 1653.2 \text{ m}$

بالتدوير إلى الوحدة (العدد الصحيح الأقرب):

✅الإجابة النموذجية:

المسافة التي يقطعها التلاميذ في خمس (5) دورات كاملة بالتدوير إلى الوحدة هي:

$D \approx 1653 \text{ m}$

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

About this file

Paper #118 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Verified by Teachers

Middle education-4th Year Of Middle School-Mathematics

Paper #118 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Google Preferred SourcesNew Feature

Add « DzMadrassa » as your Preferred Source on Google

With 1 click, get DzMadrassa's verified exams, solutions, and quizzes prioritized in your Google Search and AI Overviews.

⭐ Add as Preferred Source

Paper #118 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 118 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول (03 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 630 و 345 واستنتاج القواسم المشتركة لهما

2) كتابة الكسر 345630\frac{345}{630}630345​ على شكل غير قابل للاختزال

3) حساب العدد TTT

التمرين الثاني (03 نقاط)

1) تبيان أن (BD)∥(AE)(BD) \parallel (AE)(BD)∥(AE)

2) حساب الطول AEAEAE

التمرين الثالث (03 نقاط)

1) كتابة العدد AAA على الشكل a7+ba\sqrt{7} + ba7​+b

2) كتابة العدد BBB على شكل c\sqrt{c}c​

3) جعل مقام النسبة 97+66\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}}6​97​+6​ عدداً ناطقاً

التمرين الرابع (03 نقاط)

1) إثبات أن المثلث IFGIFGIFG قائم

2) حساب قيس الزاوية G^\widehat{G}G بالتدوير إلى الدرجة

3) تبيان أن FG2=HG×IGFG^2 = HG \times IGFG2=HG×IG

الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

التفكير والتحليل العلمي للوضعية:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

About this file

Paper #118 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Add « DzMadrassa » as your Preferred Source on Google

2) كتابة الكسر $\frac{345}{630}$ على شكل غير قابل للاختزال

3) حساب العدد $T$

1) تبيان أن $(BD) \parallel (AE)$

2) حساب الطول $AE$

1) كتابة العدد $A$ على الشكل $a\sqrt{7} + b$

2) كتابة العدد $B$ على شكل $\sqrt{c}$

3) جعل مقام النسبة $\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}}$ عدداً ناطقاً

1) إثبات أن المثلث $IFG$ قائم

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{G}$ بالتدوير إلى الدرجة

3) تبيان أن $FG^2 = HG \times IG$