Sujet n° 118 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2024Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques pour la 4ème Année Moyenne (4AM) au format PDF imprimable avec correction sur DzMadrassa.

Niveau :السنة الرابعة متوسطMatière :MathématiquesTrimestre :1er TrimestreFormat :PDF imprimableCorrigé :Disponible par IA

Sujet n° 118

Solution IA2024

Source Préférée Google

Solution modèle approuvée

Vérifié et approuvé ✅

Solution pédagogique préparée selon le programme officiel avec barème de notation

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 118 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول (03 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 630 و 345 واستنتاج القواسم المشتركة لهما

💡إضاءة وتنبيه:

لنحسب القاسم المشترك الأكبر

\text{PGCD}(630, 345)

نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية).

باستخدام خوارزمية القسمات المتتالية:

630 = 345 \times 1 + 285

345 = 285 \times 1 + 60

285 = 60 \times 4 + 45

60 = 45 \times 1 + 15

45 = 15 \times 3 + 0

آخر باقي غير معدوم هو $15$ .

✅الإجابة النموذجية:

\text{PGCD}(630, 345) = 15

استنتاج القواسم المشتركة للعددين 630 و 345:

القواسم المشتركة للعددين هي نفسها قواسم قاسمها المشترك الأكبر (العدد $15$ ).

قواسم العدد $15$ هي: $1$ ، $3$ ، $5$ ، $15$ .

✅الإجابة النموذجية:

مجموعة القواسم المشتركة للعددين 630 و 345 هي: $\{1, 3, 5, 15\}$ .

2) كتابة الكسر $\frac{345}{630}$ على شكل غير قابل للاختزال

💡إضاءة وتنبيه:

لكتابة كسر على شكل غير قابل للاختزال، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمها المشترك الأكبر $\text{PGCD}$ .

$\frac{345}{630} = \frac{345 \div 15}{630 \div 15} = \frac{23}{42}$

✅الإجابة النموذجية:

الكسر الغير قابل للاختزال هو:

$\frac{345}{630} = \frac{23}{42}$

3) حساب العدد $T$

$T = \frac{345}{630} - \frac{23}{42}$

نعوض الكسر $\frac{345}{630}$ بالكسر المختزل الموافق له $\frac{23}{42}$ :

$T = \frac{23}{42} - \frac{23}{42} = 0$

✅الإجابة النموذجية:

$T = 0$

📌

التمرين الثاني (03 نقاط)

الشكل المقابل مرسوم بأطوال غير حقيقية حيث المعطيات:

$C B = 5.2$

$B A = 2.6$

$C D = 4.8$

$D E = 2.4$

$B D = 6$

النقاط $C, B, A$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب، والنقاط $C, D, E$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب.

1) تبيان أن $(BD) \parallel (AE)$

💡إضاءة وتنبيه:

لإثبات توازي المستقيمين نستعمل الخاصية العكسية لخاصية طاليس بعد مقارنة النسبتين.

نحسب الطول الكلي $C A$ :

$C A = C B + B A = 5.2 + 2.6 = 7.8$

نحسب الطول الكلي $C E$ :

$C E = C D + D E = 4.8 + 2.4 = 7.2$

نحسب النسبتين ونقارنهما:

1. النسبة الأولى:

$\frac{CB}{CA} = \frac{5.2}{7.8} = \frac{52}{78} = \frac{2}{3} \approx 0.667$

2. النسبة الثانية:

$\frac{CD}{CE} = \frac{4.8}{7.2} = \frac{48}{72} = \frac{2}{3} \approx 0.667$

نلاحظ أن:

$\frac{CB}{CA} = \frac{CD}{CE} = \frac{2}{3}$

وبما أن النقاط $C, B, A$ والنقاط $C, D, E$ في استقامية وبنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن:

✅الإجابة النموذجية:

$(BD) \parallel (AE)$

2) حساب الطول $A E$

بما أن المستقيمين $(B D)$ و $(A E)$ متوازيان، وتتحقق شروط الاستقامية، نطبق خاصية طاليس المباشرة:

$\frac{CB}{CA} = \frac{CD}{CE} = \frac{BD}{AE}$

بالتعويض بالقيم العددية:

$\frac{2}{3} = \frac{6}{AE}$

ومنه:

$AE = \frac{3 \times 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$

✅الإجابة النموذجية:

$A E = 9$

📌

التمرين الثالث (03 نقاط)

ليكن العددان الحقيقيان $A$ و $B$ حيث:

$A = 5\sqrt{28} - \sqrt{7} + \sqrt{36}$

$B = \sqrt{\frac{27}{7}} \times \sqrt{\frac{14}{9}}$

1) كتابة العدد $A$ على الشكل $a\sqrt{7} + b$

نبسط الجذور:

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{4} \times \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{36} = 6$

بالتعويض في العبارة $A$ :

$A = 5(2\sqrt{7}) - \sqrt{7} + 6$

$A = 10\sqrt{7} - 1\sqrt{7} + 6$

$A = (10 - 1)\sqrt{7} + 6$

$A = 9\sqrt{7} + 6$

✅الإجابة النموذجية:

$A = 9\sqrt{7} + 6 \quad (\text{حيث } a = 9 \text{ و } b = 6)$

2) كتابة العدد $B$ على شكل $\sqrt{c}$

باستخدام خواص الجذور التربيعية $\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{x \times y}$ :

$B = \sqrt{\frac{27}{7} \times \frac{14}{9}}$

نختزل الكسر داخل الجذر:

$\frac{27}{9} = 3 \quad \text{و} \quad \frac{14}{7} = 2$

$B = \sqrt{3 \times 2} = \sqrt{6}$

✅الإجابة النموذجية:

$B = \sqrt{6} \quad (\text{حيث } c = 6)$

3) جعل مقام النسبة $\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}}$ عدداً ناطقاً

💡إضاءة وتنبيه:

لنعلّق المقام نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر الأصلي الموجود في المقام وهو $\sqrt{6}$ .

$\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}} = \frac{(9\sqrt{7} + 6) \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}$

$= \frac{9\sqrt{7 \times 6} + 6\sqrt{6}}{6} = \frac{9\sqrt{42} + 6\sqrt{6}}{6}$

يمكن تبسيط النسبة بقسمة كل حدود البسط والمقام على 3:

$= \frac{3(3\sqrt{42} + 2\sqrt{6})}{6} = \frac{3\sqrt{42} + 2\sqrt{6}}{2}$

✅الإجابة النموذجية:

$\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{42} + 2\sqrt{6}}{2}$

📌

التمرين الرابع (03 نقاط)

المعطيات من الشكل:

$I F = 10$

$F G = 24$

$I G = 26$

الضلع الأطول هو $I G$ .

$H$ نقطة تنتمي إلى القطعة المستقيمة $[I G]$ بحيث $(FH) \perp (IG)$ .

1) إثبات أن المثلث $I F G$ قائم

💡إضاءة وتنبيه:

نطبق الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس بإثبات أن مربع أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

1. حساب مربع أطول ضلع:

$I G^{2} = 26^{2} = 676$

2. حساب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

$I F^{2} + F G^{2} = 10^{2} + 24^{2} = 100 + 576 = 676$

بما أن $I G^{2} = I F^{2} + F G^{2}$ ، فحسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن:

✅الإجابة النموذجية:

المثلث $I F G$ قائم في النقطة $F$ .

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{G}$ بالتدوير إلى الدرجة

في المثلث القائم $I F G$ في $F$ ، نعلم أن:

$\cos(\widehat{G}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{FG}{IG}$

$\cos(\widehat{G}) = \frac{24}{26} = \frac{12}{13} \approx 0.9230769$

باستخدام الحاسبة ( $\cos^{-1}$ ):

$\widehat{G} \approx 22.619^\circ$

بالتدوير إلى الوحدة (الدرجة):

✅الإجابة النموذجية:

$\widehat{G} \approx 23^\circ$

3) تبيان أن $FG^2 = HG \times IG$

💡إضاءة وتنبيه:

للتبيان، نكتب جيب تمام الزاوية $\widehat{G}$ بطريقتين مختلفين في مثلثين قائمين مختلفين يشاركان الزاوية $\widehat{G}$ .

الطريقة 1: في المثلث الكبير القائم $I F G$ في $F$ :

$\cos(\widehat{G}) = \frac{FG}{IG} \quad \text{--- (1)}$

الطريقة 2: في المثلث الصغير القائم $F H G$ في $H$ (لأن $FH \perp IG$ ):

$\cos(\widehat{G}) = \frac{HG}{FG} \quad \text{--- (2)}$

من المعادلتين (1) و (2) نجد أن:

$\frac{FG}{IG} = \frac{HG}{FG}$

باستعمال حاصل الضرب المتصالب (الطرفين في الوسطين):

$FG \times FG = HG \times IG \implies FG^2 = HG \times IG$

✅الإجابة النموذجية:

تم الإثبات أن:

$FG^2 = HG \times IG$

📌

الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

التفكير والتحليل العلمي للوضعية:

مسار الجري هو المضلع الخماسي $A B P S D$ ، بداية من النقطة $A$ والعودة إليها مروراً بـ $B, P, S, D$ .

محيط الدور الواحدة يُحسب بالعبارة:

$P_{\text{الدورة}} = AB + BP + PS + SD + DA$

1. حساب طول ضلع المربع $A B C D$ :

مساحة المربع $A B C D$ هي $S = 2304 \text{ m}^2$ .

طول ضلع المربع يساوي:

$AB = BC = CD = DA = \sqrt{2304} = 48 \text{ m}$

2. حساب الطول $S D$ :

من الشكل:

$H$ منتصف قطعة المربع $[D C]$ (وفق التشفير الموضح على ورقة الامتحان):

$DH = HC = \frac{DC}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ m}$

المثلث $D H S$ قائم في $H$ مع المعطى $HS = 18 \text{ m}$ .

بتطبيق خاصية فيثاغورس على المثلث القائم $D H S$ :

$D S^{2} = D H^{2} + H S^{2}$

$D S^{2} = 24^{2} + 18^{2} = 576 + 324 = 900$

$DS = \sqrt{900} = 30 \text{ m}$

3. حساب الطولين $B P$ و $C P$ :

المثلث $B C P$ قائم في $C$ (لأن $A B C D$ مربع بالتالي $BC \perp DC$ ، و $P$ تقع على امتداد الضائع $D C$ ).

قيس الزاوية $\widehat{BPC} = 30^\circ$ والضلع المقابل لها هو $BC = 48 \text{ m}$ .

حساب الوتر $B P$ :

$\sin(\widehat{BPC}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{BC}{BP}$

$\sin(30^\circ) = \frac{48}{BP} \implies 0.5 = \frac{48}{BP} \implies BP = \frac{48}{0.5} = 96 \text{ m}$

حساب المجاور $C P$ :

$\tan(\widehat{BPC}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{BC}{CP}$

$\tan(30^\circ) = \frac{48}{CP} \implies CP = \frac{48}{\tan(30^\circ)} = \frac{48}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 48\sqrt{3} \approx 83.138 \text{ m}$

4. حساب الطول $P S$ :

نعتبر المثلث القائم $S H P$ قائم في $H$ لأن $(SH) \perp (DP)$ .

طول الضلع القائم الأفقية $H P$ :

$HP = HC + CP = 24 + 48\sqrt{3} \approx 24 + 83.138 = 107.138 \text{ m}$

طول الضلع القائم الرأسية $SH = 18 \text{ m}$ .

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $S H P$ :

$P S^{2} = S H^{2} + H P^{2}$

$P S^{2} = 18^{2} + (107.138)^{2} = 324 + 11478.55 = 11802.55$

$PS = \sqrt{11802.55} \approx 108.64 \text{ m}$

5. حساب المسافة الإجمالية المحسوبة لدورة واحدة:

$P_{\text{الدورة}} = AB + BP + PS + SD + DA$

$P_{\text{الدورة}} = 48 + 96 + 108.64 + 30 + 48 = 330.64 \text{ m}$

6. حساب المسافة التي يقطعها التلاميذ في 5 دورات كاملة:

$D_{\text{الإجمالية}} = 5 \times P_{\text{الدورة}}$

$D_{\text{الإجمالية}} = 5 \times 330.64 = 1653.2 \text{ m}$

بالتدوير إلى الوحدة (العدد الصحيح الأقرب):

✅الإجابة النموذجية:

المسافة التي يقطعها التلاميذ في خمس (5) دورات كاملة بالتدوير إلى الوحدة هي:

$D \approx 1653 \text{ m}$

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4ème Année Moyenne Calculateur de moyenne 4ème Année Moyenne

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Solution de référence préparée selon les normes du Ministère de l'Éducation Nationale.

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

Afficher

Télécharger le sujet PDF107 Ko

Niveau4ème Année Moyenne (4AM)

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2024)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne (4AM)) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Entraînez-vous sur les Devoirs et Examens de Mathématiques

Accès direct aux devoirs et examens du 1er trimestre avec corrigés officiels en PDF

Devoirs T1

Devoirs Mathématiques 4ème Année Moyenne 1er Trimestre avec Corrigés

Devoirs surveillés avec barème officiel

Consulter

Examens T1

Examens Mathématiques 4ème Année Moyenne 1er Trimestre avec Solutions

Épreuves officielles conformes au programme ministériel

Consulter

Corrigé

Sujets de Mathématiques avec Corrigé Détaillé

Banque de sujets avec corrigés détaillés

Consulter

Sujet n° 118 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Solution modèle approuvée

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 118 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول (03 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 630 و 345 واستنتاج القواسم المشتركة لهما

2) كتابة الكسر 345630\frac{345}{630}630345​ على شكل غير قابل للاختزال

3) حساب العدد TTT

التمرين الثاني (03 نقاط)

1) تبيان أن (BD)∥(AE)(BD) \parallel (AE)(BD)∥(AE)

2) حساب الطول AEAEAE

التمرين الثالث (03 نقاط)

1) كتابة العدد AAA على الشكل a7+ba\sqrt{7} + ba7​+b

2) كتابة العدد BBB على شكل c\sqrt{c}c​

3) جعل مقام النسبة 97+66\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}}6​97​+6​ عدداً ناطقاً

التمرين الرابع (03 نقاط)

1) إثبات أن المثلث IFGIFGIFG قائم

2) حساب قيس الزاوية G^\widehat{G}G بالتدوير إلى الدرجة

3) تبيان أن FG2=HG×IGFG^2 = HG \times IGFG2=HG×IG

الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

التفكير والتحليل العلمي للوضعية:

🔗 Useful Links & Official Resources

Fiche pédagogique du document

Entraînez-vous sur les Devoirs et Examens de Mathématiques

Devoirs Mathématiques 4ème Année Moyenne 1er Trimestre avec Corrigés

Examens Mathématiques 4ème Année Moyenne 1er Trimestre avec Solutions

Sujets de Mathématiques avec Corrigé Détaillé

2) كتابة الكسر $\frac{345}{630}$ على شكل غير قابل للاختزال

3) حساب العدد $T$

1) تبيان أن $(BD) \parallel (AE)$

2) حساب الطول $A E$

1) كتابة العدد $A$ على الشكل $a\sqrt{7} + b$

2) كتابة العدد $B$ على شكل $\sqrt{c}$

3) جعل مقام النسبة $\frac{9\sqrt{7} + 6}{\sqrt{6}}$ عدداً ناطقاً

1) إثبات أن المثلث $I F G$ قائم

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{G}$ بالتدوير إلى الدرجة

3) تبيان أن $FG^2 = HG \times IG$