📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 119 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 1035 و 322 أي PGCD(1035,322)\text{PGCD}(1035, 322):

نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

1035=322×3+691035 = 322 \times 3 + 69
322=69×4+46322 = 69 \times 4 + 46
69=46×1+2369 = 46 \times 1 + 23
46=23×2+046 = 23 \times 2 + 0

آخر باقي غير معدوم هو 2323.

💡إضاءة وتنبيه:
القاسم المشترك الأكبر لعددين هو آخر باقي غير معدوم في سلسلة القسمات الإقليدية المتتالية.
✅الإجابة النموذجية:
PGCD(1035,322)=23\text{PGCD}(1035, 322) = 23

2) كتابة الكسر 3221035\frac{322}{1035} على شكل كسر غير قابل للاختزال:

لاختزال الكسر إلى أقصى حد ممكن، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCD(1035,322)=23\text{PGCD}(1035, 322) = 23:

3221035=322÷231035÷23=1445\frac{322}{1035} = \frac{322 \div 23}{1035 \div 23} = \frac{14}{45}
✅الإجابة النموذجية:

الشكل الغير قابل للاختزال للكسر هو:

3221035=1445\frac{322}{1035} = \frac{14}{45}
📌

التمرين الثاني

كتابة الأعداد AA، BB، و CC على أبسط شكل ممكن:

1) تبسيط العدد AA:

A=180+125−2125A = \sqrt{180} + 12\sqrt{5} - 2\sqrt{125}

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذر إلى حاصل ضرب عددين أحدهما مربع كامل:

180=36×5=36×5=65\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}
125=25×5=25×5=55\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}

بالتعويض في عبارة AA:

A=65+125−2(55)A = 6\sqrt{5} + 12\sqrt{5} - 2(5\sqrt{5})
A=65+125−105A = 6\sqrt{5} + 12\sqrt{5} - 10\sqrt{5}
A=(6+12−10)5A = (6 + 12 - 10)\sqrt{5}
A=85A = 8\sqrt{5}
✅الإجابة النموذجية:
A=85A = 8\sqrt{5}

2) تبسيط العدد BB:

B=(6−5)(6+5)B = (\sqrt{6} - 5)(\sqrt{6} + 5)

نلاحظ أن العبارة من الشكل (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2 (الجداء الشهير الثالث):

B=(6)2−(5)2B = (\sqrt{6})^2 - (5)^2
B=6−25B = 6 - 25
B=−19B = -19
✅الإجابة النموذجية:
B=−19B = -19

3) تبسيط العدد CC:

C=39−648÷1512C = \frac{3}{9} - \frac{6}{48} \div \frac{15}{12}

أولاً: أولوية العمليات للحساب في القسمة، حيث تحول القسمة إلى ضرب في المقلوك:

648÷1512=648×1215\frac{6}{48} \div \frac{15}{12} = \frac{6}{48} \times \frac{12}{15}

تبسيط الكسور قبل إجراء الضرب:

39=13\frac{3}{9} = \frac{1}{3}
648=18\frac{6}{48} = \frac{1}{8}
1215=45\frac{12}{15} = \frac{4}{5}

نعوض في العبارة:

C=13−(18×45)C = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{8} \times \frac{4}{5}\right)
C=13−1×48×5=13−440=13−110C = \frac{1}{3} - \frac{1 \times 4}{8 \times 5} = \frac{1}{3} - \frac{4}{40} = \frac{1}{3} - \frac{1}{10}

نوحد المقامات (المقام المشترك هو 3030):

C=1×103×10−1×310×3=1030−330=10−330=730C = \frac{1 \times 10}{3 \times 10} - \frac{1 \times 3}{10 \times 3} = \frac{10}{30} - \frac{3}{30} = \frac{10 - 3}{30} = \frac{7}{30}
✅الإجابة النموذجية:
C=730C = \frac{7}{30}
📌

التمرين الثالث

حساب الطولين ACAC و MNMN:

في الشكل لدينا:

المستتقيمان (MB)(MB) و (NC)(NC) متقاطعان في النقطة AA.
المستتقيمان (MN)(MN) و (BC)(BC) متوازيان: (MN)//(BC)(MN) // (BC).
المعطيات العددية: AB=5 cmAB = 5\text{ cm}، AN=2 cmAN = 2\text{ cm}، BC=7 cmBC = 7\text{ cm}، والطول AM=2 cmAM = 2\text{ cm}.
💡إضاءة وتنبيه:
لتطبيق خاصية طاليس بشكل صحيح، يجب التأكد من شرط استقامية النقاط وتوازي المستقيمين المقابلين.

بما أن النقاط M,A,BM, A, B على استقامة واحدة والنقاط N,A,CN, A, C على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، و (MN)//(BC)(MN) // (BC)، فحسب خاصية طاليس نكتب النسبة التالية:

AMAB=ANAC=MNBC\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

بالتعويض بالقيم المعلومة:

25=2AC=MN7\frac{2}{5} = \frac{2}{AC} = \frac{MN}{7}

1) حساب الطول ACAC:

من المساواة 25=2AC\frac{2}{5} = \frac{2}{AC}:

AC=5×22=5 cmAC = \frac{5 \times 2}{2} = 5\text{ cm}

2) حساب الطول MNMN:

من المساواة 25=MN7\frac{2}{5} = \frac{MN}{7}:

MN=2×75=145=2.8 cmMN = \frac{2 \times 7}{5} = \frac{14}{5} = 2.8\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
AC=5 cmAC = 5\text{ cm}
MN=2.8 cmMN = 2.8\text{ cm}
📌

التمرين الرابع

علمت أن sin⁡A^=32\sin \hat{A} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

1) حساب cos⁡A^\cos \hat{A}:

نستخدم العلاقة المثلثية الأساسية:

cos⁡2A^+sin⁡2A^=1\cos^2 \hat{A} + \sin^2 \hat{A} = 1

نعوض قيمة sin⁡A^\sin \hat{A}:

cos⁡2A^+(32)2=1\cos^2 \hat{A} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1
cos⁡2A^+34=1\cos^2 \hat{A} + \frac{3}{4} = 1
cos⁡2A^=1−34=44−34=14\cos^2 \hat{A} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

بما أن A^\hat{A} زاوية حادة، فإن جيب تمامها عدد موجب:

cos⁡A^=14=12\cos \hat{A} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}
✅الإجابة النموذجية:
cos⁡A^=12\cos \hat{A} = \frac{1}{2}

2) حساب tan⁡A^\tan \hat{A}:

نستخدم العلاقة:

tan⁡A^=sin⁡A^cos⁡A^\tan \hat{A} = \frac{\sin \hat{A}}{\cos \hat{A}}

بالتعويض:

tan⁡A^=3212=32×21=3\tan \hat{A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1} = \sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
tan⁡A^=3\tan \hat{A} = \sqrt{3}
📌

المسألة (الوضعية الإدماجية)

الجزء الأول

قطعة أرض مستطيلة الشكل مساحتها 2400 m22400\text{ m}^2، وعرضها يساوي ثلثي طولها.

حساب عرض وطول هذه القطعة:

نفرض أن طول القطعة هو LL وعرضها هو WW.

من معطيات النص:

العرض يساوي ثلثي الطول: W=23LW = \frac{2}{3} L
مساحة المستطيل: S=L×W=2400 m2S = L \times W = 2400\text{ m}^2

نعوض عبارة WW في قانون المساحة:

L×(23L)=2400L \times \left(\frac{2}{3} L\right) = 2400
23L2=2400\frac{2}{3} L^2 = 2400

نحل المعادلة بالنسبة لـ L2L^2:

L2=2400×32=72002=3600L^2 = \frac{2400 \times 3}{2} = \frac{7200}{2} = 3600

بما أن الطول قيم موجبة دائماً:

L=3600=60 mL = \sqrt{3600} = 60\text{ m}

نحسب العرض WW:

W=23×60=40 mW = \frac{2}{3} \times 60 = 40\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:
طول قطعة الأرض: L=60 mL = 60\text{ m}
عرض قطعة الأرض: W=40 mW = 40\text{ m}

الجزء الثاني

المعطيات: AB=60 mAB = 60\text{ m}، BC=40 mBC = 40\text{ m}، و AM=xAM = x.

1) التعبير عن المساحتين S1S_1 و S2S_2 بدلالة xx:

القطعة مستطيلة ABCDABCD مقسمة بمستقيم موازٍ للضلع ADAD يمر من MM على القطعة [AB][AB] ويهبط عمودياً إلى نقطة EE على القطعة [DC][DC].

الجزء S1S_1 (المخصص للسيارات) هو المستطيل AMEDAMED أبعاده هما AM=xAM = x و AD=40 mAD = 40\text{ m}.
الجزء S2S_2 (المخصص للشاحنات) هو المستطيل MBCEMBCE أبعاده هما MB=60−xMB = 60 - x و BC=40 mBC = 40\text{ m}.

حساب S1S_1 بدلالة xx:

S1=AM×AD=x×40=40xS_1 = AM \times AD = x \times 40 = 40x

حساب S2S_2 بدلالة xx:

S2=MB×BC=(60−x)×40=2400−40xS_2 = MB \times BC = (60 - x) \times 40 = 2400 - 40x
✅الإجابة النموذجية:
S1=40xS_1 = 40x
S2=2400−40xS_2 = 2400 - 40x

2) حساب القدرة الاستيعابية وتحديد قيمة xx:

أ) إيجاد قيمة xx حتى يتسع الجزء S1S_1 لـ 80 سيارة:

المساحة المخصصة للسيارة الواحدة هي 18 m218\text{ m}^2.
المساحة الكلية اللازمة لركن 80 سيارة هي:
Sسيارات=80×18=1440 m2S_{\text{سيارات}} = 80 \times 18 = 1440\text{ m}^2

نضع المساحة S1S_1 تساوي 1440 m21440\text{ m}^2:

40x=144040x = 1440
x=144040=36 mx = \frac{1440}{40} = 36\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

القيمة المطلوبة للمسافة xx حتى يتسع المكان لـ 80 سيارة هي:

x=36 mx = 36\text{ m}

ب) استنتاج أكبر عدد للشاحنات التي يمكن توقفها في الجزء S2S_2:

عندما تكون x=36 mx = 36\text{ m}، نحسب المساحة المتبقية للجزء S2S_2:

S2=2400−40(36)=2400−1440=960 m2S_2 = 2400 - 40(36) = 2400 - 1440 = 960\text{ m}^2
المساحة المخصصة للشاحنة الواحدة هي 30 m230\text{ m}^2.
لحساب عدد الشاحنات، نقسم المساحة S2S_2 على المساحة المخصصة لكل شاحنة:
N=96030=32N = \frac{960}{30} = 32
✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد للشاحنات التي يمكن توقفها في الجزء S2S_2 هو:

32 شاحنة