Le document Paper #120 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am contient-il un corrigé ?

Oui, ce document est disponible avec son corrigé et barème officiel en téléchargement PDF gratuit sur DzMadrassa.

Comment télécharger ce sujet en PDF ?

Vous pouvez télécharger le document en format PDF imprimable directement via le bouton de téléchargement sur DzMadrassa.

Est-il possible de faire un quiz interactif ?

Oui, DzMadrassa propose des quiz interactifs pour tester vos connaissances avec correction immédiate.

Paper #120 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

PDFCorrigé IA2024Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet avec corrigé détaillé en format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 120 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: (3 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 1078 و 322:

💡إضاءة وتنبيه:

لحساب القاسم المشترك الأكبر

\text{PGCD}(1078, 322)

، نطبق خوارزمية القسمات المتتالية (خوارزمية إقليدس) حيث نقسم المقسوم على القاسم حتى نحصل على باقي معدوم، ويكون آخر باقي غير معدوم هو

\text{PGCD}

1078 = 322 \times 3 + 112

322 = 112 \times 2 + 98

112 = 98 \times 1 + 14

98 = 14 \times 7 + 0

✅الإجابة النموذجية:

آخر باقي غير معدوم في سلسلة القسمات الإقليدية هو $14$ .

إذن: $\text{PGCD}(1078, 322) = 14$ .

2) كتابة الكسر $\frac{1078}{322}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

💡إضاءة وتنبيه:

اختزال الكسر يتم بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر

\text{PGCD}

\frac{1078}{322} = \frac{1078 \div 14}{322 \div 14} = \frac{77}{23}

✅الإجابة النموذجية:

الكسر الغير قابل للاختزال هو: $\frac{77}{23}$ .

3) تبيان أن $P$ عدد طبيعي:

لدينا عبارة العدد $P$ :

P = \frac{1078}{322} - 4 \times \frac{2}{23}

نعوض الكسر $\frac{1078}{322}$ بالكسر المختزل $\frac{77}{23}$ :

P = \frac{77}{23} - \frac{4 \times 2}{23}

P = \frac{77}{23} - \frac{8}{23}

P = \frac{77 - 8}{23} = \frac{69}{23}

P = 3

✅الإجابة النموذجية:

بما أن $3 \in \mathbb{N}$ ، فإن العدد $P = 3$ هو عدد طبيعي.

📌

التمرين الثاني: (3 نقاط)

1) كتابة العدد $A$ على شكل $a\sqrt{7}$ حيث $a$ عدد طبيعي:

لدينا العبارة:

A = 3\sqrt{28} - \sqrt{63} + 2\sqrt{175}

نحلل الأعداد تحت الجذر إلى جذاء عددين أحدهما 7:

A = 3\sqrt{4 \times 7} - \sqrt{9 \times 7} + 2\sqrt{25 \times 7}

A = 3 \times \sqrt{4} \times \sqrt{7} - \sqrt{9} \times \sqrt{7} + 2 \times \sqrt{25} \times \sqrt{7}

A = 3 \times 2\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 2 \times 5\sqrt{7}

A = 6\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 10\sqrt{7}

A = (6 - 3 + 10)\sqrt{7}

A = 13\sqrt{7}

✅الإجابة النموذجية:

كتابة $A$ على الشكل المطلوب هي: $A = 13\sqrt{7}$ (حيث $a = 13$ ).

2) جعل مقام النسبة $B$ عدداً ناطقاً:

لدينا النسبة:

B = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}

نضرب كل من البسط والمقام في الجذر الأصم في المقام وهو $\sqrt{2}$ :

B = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}

B = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{2} - \sqrt{5} \times \sqrt{2}}{2}

B = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{10}}{2}

✅الإجابة النموذجية:

النسبة بمقام ناطق هي: $B = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{10}}{2}$ .

3) حل المعادلة ذات المجهول $x$ :

المعادلة المعطاة:

3(x^2 - 1) = 2x^2 + 1

ننشر الطرف الأيسر:

3x^2 - 3 = 2x^2 + 1

ننقل المجاهيل إلى طرف والمعاليم إلى طرف:

3x^2 - 2x^2 = 1 + 3

x^2 = 4

بما أن $4 > 0$ ، فإن للمعادلة حلين هما:

x = \sqrt{4} = 2 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{4} = -2

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان متعاكسان هما: $x = 2$ و $x = -2$ .

📌

التمرين الثالث: (3.5 نقاط)

1) إنشاء الشكل بدقة والبرهان أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ :

💡إضاءة وتنبيه للإنشاء:

نرسم قطعة المستقيم

[AB]

بطول

4\text{ cm}

، ثم باستعمال المدور نفتح فتحة

3\text{ cm}

من

A

وفتحة

5\text{ cm}

من

B

لتحديد النقطة

C

البرهان أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ :

نستخدم الخاصية العكسية لفيثاغورس:

أطول ضلع هو

BC = 5\text{ cm}

BC^2 = 5^2 = 25

مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25

نلاحظ أن:

BC^2 = AB^2 + AC^2 = 25

✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن المثلث $ABC$ قائم في النقطة $A$ .

2) حساب الطول $MN$ :

في المثلث $CMN$ ، لدينا:

A \in [CM]

حيث

CM = 6\text{ cm}

AC = 3\text{ cm}

B \in [CN]

المستقيمان

(AB)

(MN)

متوازيان:

(AB) // (MN)

تطبيق خاصية طاليس:

\frac{CA}{CM} = \frac{CB}{CN} = \frac{AB}{MN}

نعوض الأطوال المعلومة:

\frac{3}{6} = \frac{5}{CN} = \frac{4}{MN}

من النسبتين الأولى والأخيرة نجد:

MN = \frac{6 \times 4}{3} = \frac{24}{3} = 8\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

الطول $MN$ يساوي $8\text{ cm}$ .

3) تبيان أن $(MB) // (AE)$ :

لدينا النقط $C, E, B$ في استقامية وبنفس الترتيب مع النقط $C, A, M$ .

نحسب ونقارن النسبتين:

النسبية الأولى:

\frac{CE}{CB} = \frac{2.5}{5} = 0.5

النسبية الثانية:

\frac{CA}{CM} = \frac{3}{6} = 0.5

✅الإجابة النموذجية:

نلاحظ أن النسبتين متساويتان: $\frac{CE}{CB} = \frac{CA}{CM} = 0.5$ ، والنقط $C, E, B$ والنقط $C, A, M$ استقامية وبنفس الترتيب.

حسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين $(MB)$ و $(AE)$ متوازيان، أي: $(AE) // (MB)$ .

📌

التمرين الرابع: (2.5 نقطة)

1) حساب الطول $GF$ :

في المثلث $GEF$ القائم في $E$ (لأن الرمز على الشكل يشير إلى زاوية قائمة عند $E$ ):

نعلم أن المجاور للزاوية $\widehat{EFG}$ هو $EF = 4\text{ cm}$ ، وقيس الزاوية $\widehat{EFG} = 60^\circ$ ، والوتر هو $GF$ .

باستخدام جيب تمام الزاوية الحادة ( $\cos$ ):

\cos(\widehat{EFG}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{EF}{GF}

\cos(60^\circ) = \frac{4}{GF}

نعلم أن $\cos(60^\circ) = 0.5$ :

0.5 = \frac{4}{GF} \implies GF = \frac{4}{0.5} = 8\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

الطول $GF$ يساوي $8\text{ cm}$ .

2) حساب القيمة المضبوطة لـ $\cos x$ و $\tan x$ دون حساب قيس الزاوية $x$ :

معطى: $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

حساب $\cos x$ :

باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية:

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x

\cos^2 x = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9}

\cos^2 x = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}

بما أن $x$ قيس زاوية حادة فإن $\cos x > 0$ :

\cos x = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}

✅الإجابة النموذجية:

القيمة المضبوطة لـ $\cos x$ هي: $\cos x = \frac{2}{3}$ .

حساب $\tan x$ :

باستخدام العلاقة المثلثية:

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

\tan x = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}

✅الإجابة النموذجية:

القيمة المضبوطة لـ $\tan x$ هي: $\tan x = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

📌

الوضعية الإدماجية: (8 نقاط)

1) حساب طول ضلع مزرعة خالد:

مزرعة أحمد (مستطيلة الشكل):

الطول

L = 150\text{ m}

العرض

W = 96\text{ m}

المساحة

S_1

S_1 = L \times W = 150 \times 96 = 14400\text{ m}^2

مزرعة خالد (مربعة الشكل):

للمزرعتين نفس المساحة، إذن مساحة مزرعة خالد هي

S_2 = 14400\text{ m}^2

بفرض أن طول ضلع مزرعة خالد هو

a

، فإن:

a^2 = 14400 \implies a = \sqrt{14400} = 120\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

طول ضلع مزرعة خالد هو $120\text{ m}$ .

2) هل للمزرعتين نفس المحيط؟

محيط مزرعة خالد (المربعة) $P_1$ :

P_1 = 4 \times a = 4 \times 120 = 480\text{ m}

محيط مزرعة أحمد (المستطيلة) $P_2$ :

P_2 = 2 \times (L + W) = 2 \times (150 + 96) = 2 \times 246 = 492\text{ m}

المقارنة:

P_1 = 480\text{ m} \quad \text{و} \quad P_2 = 492\text{ m} \implies P_1 \neq P_2

✅الإجابة النموذجية:

لا، ليس للمزرعتين نفس المحيط، لأن محيط مزرعة خالد هو $480\text{ m}$ بينما محيط مزرعة أحمد هو $492\text{ m}$ .

3) حساب كلفة التسييج الإجمالية لمزرعة أحمد:

أراد أحمد إحاطة مزرعت المستطيلة بسياج مع وضع أعمدة على مسافات متساوية وأكبر ما يمكن.

الخطوة أ: حساب المسافة بين كل عمودين متتاليين ( $d$ ):

المسافة المتساوية والأكبر ما يمكن بين الأوردة تمثل القاسم المشترك الأكبر للطول والعرض:

d = \text{PGCD}(150, 96)

نحسب $\text{PGCD}(150, 96)$ باستخدام خوارزمية إقليدس:

150 = 96 \times 1 + 54

96 = 54 \times 1 + 42

54 = 42 \times 1 + 12

42 = 12 \times 3 + 6

12 = 6 \times 2 + 0

إذن: $\text{PGCD}(150, 96) = 6$ .

المسافة بين كل عمودين متتاليين هي $6\text{ m}$ .

الخطوة ب: حساب عدد الأعمدة اللازمة ( $N$ ):

عدد الأعمدة يساوي محيط المزرعة قسمة المسافة بين كل عمودين:

N = \frac{P_2}{d} = \frac{492}{6} = 82\text{ عموداً}

الخطوة جـ: حساب الثمن الإجمالي للأعمدة:

ثمن العمود الواحد هو $1000\text{ DA}$ :

\text{ثمن الأعمدة} = 82 \times 1000 = 82000\text{ DA}

الخطوة د: حساب كلفة التسييج الإجمالية:

الكلفة الإجمالية تتكون من: ثمن الأعمدة + الثمن الإجمالي للسياج + المصاريف الأخرى.

\text{الكلفة الإجمالية} = 82000 + 75000 + 35000

\text{الكلفة الإجمالية} = 192000\text{ DA}

✅الإجابة النموذجية:

كلفة التسييج الإجمالية هي $192000\text{ DA}$ (مائة واثنان وتسعون ألف دينار جزائري).

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

About this file

Sujet n° 120 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Verified by Teachers

Enseignement moyen-4ème Année Moyenne-Mathématiques

Sujet n° 120 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Google Preferred SourcesNouveauté

Ajoutez « DzMadrassa » comme source préférée sur Google

En un clic, accédez en priorité aux sujets, corrigés et cours de DzMadrassa dans les résultats de recherche Google et AI Overviews.

⭐ Ajouter en source préférée

Paper #120 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 120 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: (3 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 1078 و 322:

2) كتابة الكسر 1078322\frac{1078}{322}3221078​ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

3) تبيان أن PPP عدد طبيعي:

التمرين الثاني: (3 نقاط)

1) كتابة العدد AAA على شكل a7a\sqrt{7}a7​ حيث aaa عدد طبيعي:

2) جعل مقام النسبة BBB عدداً ناطقاً:

3) حل المعادلة ذات المجهول xxx:

التمرين الثالث: (3.5 نقاط)

1) إنشاء الشكل بدقة والبرهان أن المثلث ABCABCABC قائم في AAA:

البرهان أن المثلث ABCABCABC قائم في AAA:

2) حساب الطول MNMNMN:

3) تبيان أن (MB)//(AE)(MB) // (AE)(MB)//(AE):

التمرين الرابع: (2.5 نقطة)

1) حساب الطول GFGFGF:

2) حساب القيمة المضبوطة لـ cos⁡x\cos xcosx و tan⁡x\tan xtanx دون حساب قيس الزاوية xxx:

حساب cos⁡x\cos xcosx:

حساب tan⁡x\tan xtanx:

الوضعية الإدماجية: (8 نقاط)

1) حساب طول ضلع مزرعة خالد:

2) هل للمزرعتين نفس المحيط؟

3) حساب كلفة التسييج الإجمالية لمزرعة أحمد:

الخطوة أ: حساب المسافة بين كل عمودين متتاليين (ddd):

الخطوة ب: حساب عدد الأعمدة اللازمة (NNN):

الخطوة جـ: حساب الثمن الإجمالي للأعمدة:

الخطوة د: حساب كلفة التسييج الإجمالية:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

About this file

Sujet n° 120 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Ajoutez « DzMadrassa » comme source préférée sur Google

2) كتابة الكسر $\frac{1078}{322}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

3) تبيان أن $P$ عدد طبيعي:

1) كتابة العدد $A$ على شكل $a\sqrt{7}$ حيث $a$ عدد طبيعي:

2) جعل مقام النسبة $B$ عدداً ناطقاً:

3) حل المعادلة ذات المجهول $x$ :

1) إنشاء الشكل بدقة والبرهان أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ :

البرهان أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ :

2) حساب الطول $MN$ :

3) تبيان أن $(MB) // (AE)$ :

1) حساب الطول $GF$ :

2) حساب القيمة المضبوطة لـ $\cos x$ و $\tan x$ دون حساب قيس الزاوية $x$ :

حساب $\cos x$ :

حساب $\tan x$ :

الخطوة أ: حساب المسافة بين كل عمودين متتاليين ( $d$ ):

الخطوة ب: حساب عدد الأعمدة اللازمة ( $N$ ):