📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 107 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول (12 نقطة)

📌

التمرين الأول (04 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين الطبيعيين 1053 و 325:

💡إضاءة وتنبيه:
لنفس المعنى يمكن استخدام خوارزمية الفروق المتتالية أو خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس)، وتعتبر خوارزمية إقليدس هي الأسرع والأدق للوصول إلى النتيجة مباشرة.

نطبق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين 10531053 و 325325:

1053=325×3+781053 = 325 \times 3 + 78
325=78×4+13325 = 78 \times 4 + 13
78=13×6+078 = 13 \times 6 + 0

بما أن آخر باقي غير معدوم هو 1313:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(1053,325)=13\text{PGCD}(1053, 325) = 13

2) كتابة الكسر 1053325\frac{1053}{325} على شكل كسر غير قابل للاختزال:

لاختزال الكسر 1053325\frac{1053}{325}، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر PGCD(1053,325)=13\text{PGCD}(1053, 325) = 13:

1053325=1053÷13325÷13=8125\frac{1053}{325} = \frac{1053 \div 13}{325 \div 13} = \frac{81}{25}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر الغير قابل للاختزال هو:

1053325=8125\frac{1053}{325} = \frac{81}{25}

3) إيجاد قيم xx حيث x2=1053325x^2 = \frac{1053}{325}:

نعوض الكسر بالصيغة المختزلة:

x2=8125x^2 = \frac{81}{25}

بما أن 8125>0\frac{81}{25} > 0، فإن للبيان حلّين متعاكسين هما:

x=8125=8125=95x = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5}

أو

x=−8125=−8125=−95x = -\sqrt{\frac{81}{25}} = -\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = -\frac{9}{5}
✅الإجابة النموذجية:

قيم xx هي: x=95x = \frac{9}{5} أو x=−95x = -\frac{9}{5}.

📌

التمرين الثاني (04 نقاط)

1) كتابة العبارة AA على الشكل a3a\sqrt{3} (حيث aa عدد طبيعي):

لدينا العبارة:

A=348+75−23A = 3\sqrt{48} + \sqrt{75} - 2\sqrt{3}

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذر إلى جذاء عددين أحدهما 33:

48=16×3=42×348 = 16 \times 3 = 4^2 \times 3
75=25×3=52×375 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3

بالتعويض في العبارة AA:

A=316×3+25×3−23A = 3\sqrt{16 \times 3} + \sqrt{25 \times 3} - 2\sqrt{3}
A=3×43+53−23A = 3 \times 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}
A=123+53−23A = 12\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}

بنشر العامل المشترك 3\sqrt{3}:

A=(12+5−2)3A = (12 + 5 - 2)\sqrt{3}
A=153A = 15\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
A=153\mathbf{A = 15\sqrt{3}}

(حيث a=15a = 15 وهو عدد طبيعي).

2) حساب A×35A \times \frac{\sqrt{3}}{5} مبيناً مراحل الحساب:

نعوض قيمة AA التي تحصلنا عليها:

A×35=(153)×35A \times \frac{\sqrt{3}}{5} = \left(15\sqrt{3}\right) \times \frac{\sqrt{3}}{5}
=15×3×35= \frac{15 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{5}

نعلم أن 3×3=3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3:

=15×35=455=9= \frac{15 \times 3}{5} = \frac{45}{5} = 9
✅الإجابة النموذجية:
A×35=9A \times \frac{\sqrt{3}}{5} = 9
📌

التمرين الثالث (04 نقاط)

1) حساب الطول CMCM:

من معطيات الشكل، المثلث MNCMNC قائم في NN لأن (MN)⊥(AC)(MN) \perp (AC).

لدينا: NC=4 cmNC = 4\text{ cm} و MN=3 cmMN = 3\text{ cm}.

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم MNCMNC:

CM2=NC2+MN2CM^2 = NC^2 + MN^2
CM2=42+32=16+9=25CM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
CM=25=5 cmCM = \sqrt{25} = 5\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
CM=5 cmCM = 5\text{ cm}

2) حساب الطولين BCBC و ABAB:

💡إضاءة وتنبيه:
قبل تطبيق خاصية طالس، يجب إثبات توازي المستقيمين (MN)(MN) و (AB)(AB) أولاً اعتماداً على الخاصية: "إذا عامد مستقيمان نفس المستقيم فهما متوازيان".
إثبات توازي (MN)(MN) و (AB)(AB):

لدينا (MN)⊥(AC)(MN) \perp (AC) عند النقطة NN، و(AB)⊥(AC)(AB) \perp (AC) عند النقطة AA.

بما أن المستقيمين (MN)(MN) و (AB)(AB) عموديان على نفس المستقيم (AC)(AC)، فإنهما متوازيان، أي: (MN)//(AB)(MN) // (AB).

تطبيق خاصية طالس:

بما أن (MN)//(AB)(MN) // (AB) والنقط C,N,AC, N, A و C,M,BC, M, B على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فحسب خاصية طالس لدينا:

CNCA=CMCB=MNAB\frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB} = \frac{MN}{AB}
تعويض أطوال الاضلاع المعلومة (CN=4CN = 4، AC=10AC = 10، CM=5CM = 5، MN=3MN = 3):
410=5CB=3AB\frac{4}{10} = \frac{5}{CB} = \frac{3}{AB}
حساب الطول BCBC (أو CBCB):
CB=5×104=504=12.5 cmCB = \frac{5 \times 10}{4} = \frac{50}{4} = 12.5\text{ cm}
حساب الطول ABAB:
AB=3×104=304=7.5 cmAB = \frac{3 \times 10}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:
BC=12.5 cmBC = 12.5\text{ cm}
AB=7.5 cmAB = 7.5\text{ cm}
📌

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

1) إثبات أن المسافة بين المحطتين السفلية والعلوية هي 1100 m1100\text{ m}:

من الشكل المعطى:

المحطة السفلية تقع عند النقطة II.
المحطة العلوية تقع عند النقطة SS.
المثلث SILSIL قائم في LL لأن المستقيم (SL)(SL) عمودي على المستقيم (IK)(IK).
الأطوال المعطاة: IL=880 mIL = 880\text{ m}، LS=660 mLS = 660\text{ m}.

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم SILSIL:

IS2=IL2+LS2IS^2 = IL^2 + LS^2
IS2=(880)2+(660)2IS^2 = (880)^2 + (660)^2
IS2=774400+435600=1210000IS^2 = 774400 + 435600 = 1210000
IS=1210000=1100 mIS = \sqrt{1210000} = 1100\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

المسافة بين المحطة السفلية (II) والمحطة العلوية (SS) هي:

IS=1100 mIS = 1100\text{ m}

2) حساب مسار سمير لبلوغ القمة:

أ- حساب المسافة IJIJ:

💡إضاءة وتنبيه:
نثبت التوازي بين (SL)(SL) و (JK)(JK) أولاً لكي نتمكن من استخدام خاصية طالس.
إثبات التوازي (SL)//(JK)(SL) // (JK):

لدينا (SL)⊥(IK)(SL) \perp (IK) و (JK)⊥(IK)(JK) \perp (IK).

بما أن المستقيمين (SL)(SL) و (JK)(JK) عموديان على نفس المستقيم (IK)(IK)، فإن: (SL)//(JK)(SL) // (JK).

تطبيق خاصية طالس:

في المثلث IJKIJK، لدينا النقط I,S,JI, S, J على استقامة واحدة والنقط I,L,KI, L, K على استقامة واحدة، والمستقيمان (SL)(SL) و (JK)(JK) متوازيان.

حسب خاصية طالس:

ISIJ=ILIK=LSJK\frac{IS}{IJ} = \frac{IL}{IK} = \frac{LS}{JK}
تعويض الأطوال المعلومة (IS=1100IS = 1100، LS=660LS = 660، JK=750JK = 750):
1100IJ=660750\frac{1100}{IJ} = \frac{660}{750}
حساب الطول IJIJ:
IJ=1100×750660=825000660=1250 mIJ = \frac{1100 \times 750}{660} = \frac{825000}{660} = 1250\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

المسافة IJIJ تساوي:

IJ=1250 mIJ = 1250\text{ m}

ب- استنتاج المسافة التي قطعها سمير مشياً:

بعد وصول سمير إلى المحطة العلوية (SS)، واصل طريقه مشياً على الأقدام حتى القمة (JJ).

المسافة المقطوعة مشياً هي الطول SJSJ.

بما أن النقط I,S,JI, S, J على استقامة واحدة بهذا الترتيب، فإن:

SJ=IJ−ISSJ = IJ - IS
SJ=1250−1100=150 mSJ = 1250 - 1100 = 150\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

المسافة التي قطعها سمير مشياً لبلوغ القمة هي:

SJ=150 mSJ = 150\text{ m}