نطبق خوارزمية القسمات المتتالية (إقليدس) على العددين $1053$ و $325$:

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $13$:

لاختزال الكسر $\frac{1053}{325}$، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}(1053, 325) = 13$:

الكسر الغير قابل للاختزال هو:

نعوض الكسر بالصيغة المختزلة:

بما أن $\frac{81}{25} > 0$، فإن للبيان حلّين متعاكسين هما:

أو

قيم $x$ هي: $x = \frac{9}{5}$ أو $x = -\frac{9}{5}$.

لدينا العبارة:

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذر إلى جذاء عددين أحدهما $3$:

بالتعويض في العبارة $A$:

بنشر العامل المشترك $\sqrt{3}$:

(حيث $a = 15$ وهو عدد طبيعي).

نعوض قيمة $A$ التي تحصلنا عليها:

نعلم أن $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$:

من معطيات الشكل، المثلث $MNC$ قائم في $N$ لأن $(MN) \perp (AC)$.

لدينا: $NC = 4\text{ cm}$ و $MN = 3\text{ cm}$.

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $MNC$:

لدينا $(MN) \perp (AC)$ عند النقطة $N$، و$(AB) \perp (AC)$ عند النقطة $A$.

بما أن المستقيمين $(MN)$ و $(AB)$ عموديان على نفس المستقيم $(AC)$، فإنهما متوازيان، أي: $(MN) // (AB)$.

بما أن $(MN) // (AB)$ والنقط $C, N, A$ و $C, M, B$ على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فحسب خاصية طالس لدينا:

من الشكل المعطى:

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $SIL$:

المسافة بين المحطة السفلية ($I$) والمحطة العلوية ($S$) هي:

لدينا $(SL) \perp (IK)$ و $(JK) \perp (IK)$.

بما أن المستقيمين $(SL)$ و $(JK)$ عموديان على نفس المستقيم $(IK)$، فإن: $(SL) // (JK)$.

في المثلث $IJK$، لدينا النقط $I, S, J$ على استقامة واحدة والنقط $I, L, K$ على استقامة واحدة، والمستقيمان $(SL)$ و $(JK)$ متوازيان.

حسب خاصية طالس:

المسافة $IJ$ تساوي:

بعد وصول سمير إلى المحطة العلوية ($S$)، واصل طريقه مشياً على الأقدام حتى القمة ($J$).

المسافة المقطوعة مشياً هي الطول $SJ$.

بما أن النقط $I, S, J$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب، فإن:

المسافة التي قطعها سمير مشياً لبلوغ القمة هي: