الكتابة العلمية لعدد عشري هي كتابته على الشكل $a\times {10}^{n}a\; \backslash times\; 10^n$ حيث $aa$ عدد عشري يملك رقماً واحداً غير معدوم قبل الفاصلة () و $nn$ عدد صحيح نسبي.

التبرير العلمي:

نكتب العدد $32.732.7$ على الشكل العلمي أولاً:

ثم نعوّض في العبارة الأصلية:

الاختيار الصحيح هو الجواب 3: $3.27\times {10}^{-3}3.27\; \backslash times\; 10^\{-3\}$.

لتبسيط جدر تربيعي على الشكل $\sqrt{a}\backslash sqrt\{a\}$، نكتب العدد $aa$ على شكل جذاء عددين أحدهما أصلح لأن يكون مربعاً تاماً بأكبر قيمة ممكنة.

التبرير العلمي:

فكّ العدد 200 إلى جذاء جُزء منه مربع تام:

الاختيار الصحيح هو الجواب 1: $10\sqrt{2}10\backslash sqrt\{2\}$.

المعادلة من الشكل $X^2=bX^2\; =\; b$ (حيث $b>0b\; >\; 0$) تقبل حلين هما $X=\sqrt{b}X\; =\; \backslash sqrt\{b\}$ أو $X=-\sqrt{b}X\; =\; -\backslash sqrt\{b\}$.

التبرير العلمي:

بما أن $25>025\; >\; 0$، فإن للمعادلة حلين:

1. الحل الأول:

2. الحل الثاني:

الاختيار الصحيح هو الجواب 2: $-1\text{ و }9-1\; \backslash text\{\; و\; \}\; 9$.

تنبيه هام جداً: الجذر التربيعي لا يتوزّع على الجمع! أي أن $\sqrt{a+b}\mathrm{\ne }\sqrt{a}+\sqrt{b}\backslash sqrt\{a\; +\; b\}\; \backslash neq\; \backslash sqrt\{a\}\; +\; \backslash sqrt\{b\}$. يجب حساب ما داخل الجذر أولاً.

التبرير العلمي:

نحسب أولاً مجموع ما تحت الجذر:

ثم نبسط الناتج:

الاختيار الصحيح هو الجواب 3: $2\sqrt{5}2\backslash sqrt\{5\}$.

جيب تمام أي زاوية حادة $\theta \backslash theta$ ينحصر دوماً وبشكل صارم بين 0 و 1، أي: . إذا كان العدد أكبر من 1 أو أقل من 0، فلا يمكن أن يكون جيب تمام زاوية حادة.

التبرير العلمي:

نبسط العدد المعطى:

نعلم أن $13>913\; >\; 9$، وبإدخال الجذر التربيعي للطرفين نجد:

وبقسمة الطرفين على 3 نجد:

بما أن قيمة العدد أكبر تماماً من 1، فإنه يستحيل أن تكون جيب تمام زاوية حادة.

الاختيار الصحيح هو الجواب 2: لا.

ليكن العددين:

نحلل الأعداد داخل الجذور بدلالة العدد 3:

نعوض في العبارة $AA$:

بأخذ $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$ كعامل مشترك:

العبارة $BB$ تُكتب على شكل متطابقة شهيرة من الشكل $(x-y)(x+y)=x^2-y^2(x\; -\; y)(x\; +\; y)\; =\; x^2\; -\; y^2$:

نحسب مربع كل حد:

إذن:

نعوض قيمتي $AA$ و $BB$:

لتنطيق المقام، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$:

المعطيات: $RSTRST$ مثلث قائم في $TT$، فيه: $ST=3.5\text{ cm}ST\; =\; 3.5\; \backslash text\{\; cm\}$ و $\sin (\widehat{SRT})=\frac{\sqrt{3}}{2}\backslash sin(\backslash widehat\{SRT\})\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$.

في أي مثلث قائم، تطبق العلاقة الأساسية للحساب المثلثي: ${\cos }^2(\alpha )+{\sin }^2(\alpha )=1\backslash cos^2(\backslash alpha)\; +\; \backslash sin^2(\backslash alpha)\; =\; 1$.

حساب $\cos (\widehat{SRT})\backslash cos(\backslash widehat\{SRT\})$:

بما أن جيب التمام عدد موجب دوماً للزوايا الحادة:

القيمة المضبوطة هي: $\cos (\widehat{SRT})=\frac{1}{2}\backslash cos(\backslash widehat\{SRT\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ (أو $0.50.5$).

استنتاج قيس الزاوية $\widehat{SRT}\backslash widehat\{SRT\}$:

باستعمال الحاسبة ($\text{Shift}+\cos (0.5)\backslash text\{Shift\}\; +\; \backslash cos(0.5)$) أو من الزوايا الشهيرة المعلومة:

الزاوية الحادة التي جيب تمامها يساوي $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ وجيبها يساوي $\frac{\sqrt{3}}{2}\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ هي:

في المثلث القائم $RSTRST$ في $TT$، النسبة المثلثية للجيب تعبر عن:

نعوض المعطيات:

باستعمال الرابع المتناسب:

لتنطيق المقام (كتابته بأبسط شكل جذري مضبوط):

القيمة المضبوطة للطول $RSRS$ هي:

المعطيات:

في المثلث $RNTRNT$ القائم في $RR$، نطبق خاصية فيثاغورس:

نعوض الأطوال المعلومة:

أخذ الجذر التربيعي الموجب:

لإثبات توازي مستقيمين باستعمال الخاصية العكسية لفيثاغورس/طالس، يجب التأكد من:

1. تساوي النسبتين المقارنتين.

2. ترتيب النقاط على المستقيمين المتطابقين.

أولاً، نحسب الطول $RBRB$:

النقاط $R,B,TR,\; B,\; T$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب:

ثانياً، نقارن النسبتين $\frac{RA}{RN}\backslash frac\{RA\}\{RN\}$ و $\frac{RB}{RT}\backslash frac\{RB\}\{RT\}$:

نلاحظ أن:

بما أن النسبتين متساويتان، والنقاط $R,A,NR,\; A,\; N$ و $R,B,TR,\; B,\; T$ استقامية وفي نفس الترتيب، فإنه وحسب الخاصية العكسية لخاصية طالس، فإن المستقيمين $(AB)(AB)$ و $(NT)(NT)$ متوازيان.

المستقيمان $(AB)(AB)$ و $(NT)(NT)$ متوازيان: $(AB)\parallel (NT)(AB)\; \backslash parallel\; (NT)$.