📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 97 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول (12 نقطة)

📌

التمرين الأول (2.5 نقطة)

1. حساب واختزال العدد AA:

العبارة المعطاة:

A=85−25×114A = \frac{8}{5} - \frac{2}{5} \times \frac{11}{4}
💡إضاءة وتنبيه:
أولوية الحساب دائماً للضرب قبل الطرح، وفي ضرب الكسرين نضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

حساب عملية الضرب أولاً:

25×114=2×115×4=2220=1110\frac{2}{5} \times \frac{11}{4} = \frac{2 \times 11}{5 \times 4} = \frac{22}{20} = \frac{11}{10}

إجراء عملية الطرح بتوحيد المقامات:

A=85−1110=8×25×2−1110=1610−1110=16−1110=510A = \frac{8}{5} - \frac{11}{10} = \frac{8 \times 2}{5 \times 2} - \frac{11}{10} = \frac{16}{10} - \frac{11}{10} = \frac{16 - 11}{10} = \frac{5}{10}

اختزال الكسر بفرضه على القاسم المشترك الأكبر (5):

A=5÷510÷5=12A = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}
✅الإجابة النموذجية:
A=12=0.5A = \frac{1}{2} = 0.5

2. إعطاء الكتابة العلمية للعدد CC:

العبارة المعطاة:

C=3×102×1.2×10−30.2×10−7C = \frac{3 \times 10^2 \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.2 \times 10^{-7}}

تبسيط البسط أولاً بتجميع الأعداد وقوى العدد 10:

C=(3×1.2)×(102×10−3)0.2×10−7=3.6×102+(−3)0.2×10−7=3.6×10−10.2×10−7C = \frac{(3 \times 1.2) \times (10^2 \times 10^{-3})}{0.2 \times 10^{-7}} = \frac{3.6 \times 10^{2 + (-3)}}{0.2 \times 10^{-7}} = \frac{3.6 \times 10^{-1}}{0.2 \times 10^{-7}}

فصل الأعداد عن قوى 10:

C=(3.60.2)×(10−110−7)=18×10−1−(−7)=18×106C = \left( \frac{3.6}{0.2} \right) \times \left( \frac{10^{-1}}{10^{-7}} \right) = 18 \times 10^{-1 - (-7)} = 18 \times 10^6

كتابة العدد 18 على شكل رقم واحد قبل الفاصلة غير معدوم:

18=1.8×10118 = 1.8 \times 10^1
C=1.8×101×106=1.8×107C = 1.8 \times 10^1 \times 10^6 = 1.8 \times 10^7
✅الإجابة النموذجية:

الكتابة العلمية للعدد CC هي:

C=1.8×107C = 1.8 \times 10^7

3. حل المعادلة الاتية: 3x2−16=113x^2 - 16 = 11

عزل الحد المجهول 3x23x^2:

3x2=11+163x^2 = 11 + 16
3x2=273x^2 = 27
x2=273=9x^2 = \frac{27}{3} = 9

بما أن 9>09 > 0، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

x=9=3أوx=−9=−3x = \sqrt{9} = 3 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{9} = -3
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: x=3x = 3 و x=−3x = -3.

📌

التمرين الثاني (2.5 نقطة)

1. حساب PGCD(306,216)\text{PGCD}(306, 216):

باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

306=216×1+90306 = 216 \times 1 + 90
216=90×2+36216 = 90 \times 2 + 36
90=36×2+1890 = 36 \times 2 + 18
36=18×2+036 = 18 \times 2 + 0

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم، وهو 18.

✅الإجابة النموذجية:
PGCD(306,216)=18\text{PGCD}(306, 216) = 18

2. كتابة الكسر 306216\frac{306}{216} على شكل كسر غير قابل للاختزال:

بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما (18):

306216=306÷18216÷18=1712\frac{306}{216} = \frac{306 \div 18}{216 \div 18} = \frac{17}{12}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر غير القابل للاختزال هو:

306216=1712\frac{306}{216} = \frac{17}{12}

3. حل المسألة الفرعية للأقلام والعلب:

أكبر عدد ممكن من العلب التي يمكن الحصول عليها:

هو القاسم المشترك الأكبر لعددي الأقلام الزرقاء والحمراء PGCD(306,216)\text{PGCD}(306, 216).

✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد ممكن من العلب هو 18 علبة.

عدد الأقلام من كل لون في كل علبة:
عدد الأقلام الزرقاء في كل علبة:
306÷18=17 قلماً أزرقاً306 \div 18 = 17 \text{ قلماً أزرقاً}
عدد الأقلام الحمراء في كل علبة:
216÷18=12 قلماً أحمراً216 \div 18 = 12 \text{ قلماً أحمراً}
📌

التمرين الثالث (3.5 نقطة)

العددين المعطيين:

E=33+300−27E = 3\sqrt{3} + \sqrt{300} - \sqrt{27}
F=3(3−1)+27+1F = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{27} + 1

1. كتابة EE على الشكل a3a\sqrt{3}:

تبسيط الجذور الصماء:

300=100×3=103\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}
27=9×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}

التعويض في العبارة EE:

E=33+103−33E = 3\sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 3\sqrt{3}
E=(3+10−3)3=103E = (3 + 10 - 3)\sqrt{3} = 10\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
E=103(a=10)E = 10\sqrt{3} \quad (a = 10)

2. تبيان أن F=4+23F = 4 + 2\sqrt{3}:

نشر وتبسيط العبارة FF:

F=3×3−3×1+9×3+1F = \sqrt{3} \times \sqrt{3} - \sqrt{3} \times 1 + \sqrt{9 \times 3} + 1
F=3−3+33+1F = 3 - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 1
F=(3+1)+(−1+3)3=4+23F = (3 + 1) + (-1 + 3)\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}
✅الإجابة النموذجية:
وهو المطلوب اثباته، F=4+23F = 4 + 2\sqrt{3}.

3. حساب المجموع M=E+3FM = E + 3F وإعطاء القيمة المقربة للنقصان إلى 10−210^{-2}:

تعويض قيمتي EE و FF:

M=103+3(4+23)M = 10\sqrt{3} + 3(4 + 2\sqrt{3})
M=103+12+63M = 10\sqrt{3} + 12 + 6\sqrt{3}
M=12+(10+6)3=12+163M = 12 + (10 + 6)\sqrt{3} = 12 + 16\sqrt{3}

الحساب العددي التقريبي:

نعلم أن 3≈1.73205\sqrt{3} \approx 1.73205

M=12+16×1.73205=12+27.7128=39.7128M = 12 + 16 \times 1.73205 = 12 + 27.7128 = 39.7128
💡إضاءة وتنبيه:
القيمة المقربة بالنقصان إلى 10−210^{-2} تعني أخذ رقمين بعد الفاصلة مباشرة دون زيادة (قطع العُشر والثاني).
✅الإجابة النموذجية:
القيمة المضبوطة: M=12+163M = 12 + 16\sqrt{3}
القيمة المقربة بالنقصان إلى 10−210^{-2} هي: 39.71

4. جعل مقام النسبة 4+2323\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} عدداً ناطقاً:

ضرب كل من البسط والمقام في الجذر 3\sqrt{3}:

(4+23)×323×3=43+2×32×3=43+66\frac{(4 + 2\sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3} + 2 \times 3}{2 \times 3} = \frac{4\sqrt{3} + 6}{6}

بقسمة أطراف البسط والمقام على 2 للاختزال:

2(23+3)6=23+33\frac{2(2\sqrt{3} + 3)}{6} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{3}
✅الإجابة النموذجية:
23+33\frac{2\sqrt{3} + 3}{3}
📌

التمرين الرابع (3.5 نقطة)

الأطوال المعطاة:

OA=2 cm,OD=3 cm,AD=13 cmOA = 2\text{ cm}, \quad OD = 3\text{ cm}, \quad AD = \sqrt{13}\text{ cm}
OB=6 cm,OC=4 cmOB = 6\text{ cm}, \quad OC = 4\text{ cm}

1. إثبات أن المثلث OADOAD قائم في OO:

في المثلث OADOAD:

أطول ضلع هو ADAD:
AD2=(13)2=13AD^2 = (\sqrt{13})^2 = 13
مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
OA2+OD2=22+32=4+9=13OA^2 + OD^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13

نلاحظ أن: AD2=OA2+OD2AD^2 = OA^2 + OD^2.

✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث OADOAD قائم في النقطة OO.

2. البرهان على أن (AD)∥(BC)(AD) \parallel (BC):

في الشكل لدينا النقاط A,O,CA, O, C في استقامية وبهذا الترتيب، والنقاط D,O,BD, O, B في استقامية وبهذا الترتيب.

نحسب النسبتين:

OAOC=24=0.5\frac{OA}{OC} = \frac{2}{4} = 0.5
ODOB=36=0.5\frac{OD}{OB} = \frac{3}{6} = 0.5

نلاحظ أن:

OAOC=ODOB\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}
✅الإجابة النموذجية:

بما أن النسبتين متساويتان، والنقاط A,O,CA, O, C و D,O,BD, O, B في استقامية وبنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لنظرية ثالس، فإن المستقيين متوازيان:

(AD)∥(BC)(AD) \parallel (BC)

3. حساب قيس الزاوية OCB^\widehat{OCB} بالتدوير إلى الوحدة:

بما أن المثلث OADOAD قائم في OO، والمستقيمان (AD)(AD) و (BC)(BC) متوازيان، فإن المثلث OBCOBC قائم أيضاً في النقطة OO (لأن الزاويتين AOD^\widehat{AOD} و BOC^\widehat{BOC} متقابلتان بالرأس).

في المثلث القائم OBCOBC في OO:

الضلع المقابل للزاوية OCB^\widehat{OCB} هو OB=6 cmOB = 6\text{ cm}، والضلع المجاور لها هو OC=4 cmOC = 4\text{ cm}.

tan⁡(OCB^)=المقابلالمجاور=OBOC=64=1.5\tan(\widehat{OCB}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{OB}{OC} = \frac{6}{4} = 1.5

باستخدام الحاسبة (tan⁡−1(1.5)\tan^{-1}(1.5)):

OCB^≈56.3099∘\widehat{OCB} \approx 56.3099^\circ
✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية OCB^\widehat{OCB} بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة هو: 56∘56^\circ.

📌

الجزء الثاني (08 نقاط)

📌

الوضعية الإدماجية

تحديد أي الرجلين (ياسر أم أكرم) على صواب:

لمعرفة الصائب، يجب حساب الطول الإجمالي للمسلك المكون من السلك الكهربائي:

L=AC+CD+DE+EM+MS+SK+KBL = AC + CD + DE + EM + MS + SK + KB

ثم مقارنة الطول الإجمالي بالمسافة التي يوفرها السلك وهي 13 m13\text{ m}.

الخطوة 1: حساب أطوال القطع في الجانب الأيمن (ACAC، CDCD، DEDE)

من معطيات الشكل والشفرات الهندسية:

قطع السقف المائلة تملك نفس العلامات التشفيرية (`//`)، وبالتالي:
AD=ED=1.42 mAD = ED = 1.42\text{ m}
المثلث ACDACD قائم في CC (الجدار شاقولي والأرضية أفقية) وفيه الزاوية CAD^=45∘\widehat{CAD} = 45^\circ.

1. حساب الطول ACAC:

cos⁡(CAD^)=ACAD  ⟹  cos⁡(45∘)=AC1.42\cos(\widehat{CAD}) = \frac{AC}{AD} \implies \cos(45^\circ) = \frac{AC}{1.42}
AC=1.42×cos⁡(45∘)=1.42×0.7071≈1.00 mAC = 1.42 \times \cos(45^\circ) = 1.42 \times 0.7071 \approx 1.00\text{ m}

2. حساب الطول CDCD:

sin⁡(CAD^)=CDAD  ⟹  sin⁡(45∘)=CD1.42\sin(\widehat{CAD}) = \frac{CD}{AD} \implies \sin(45^\circ) = \frac{CD}{1.42}
CD=1.42×sin⁡(45∘)=1.42×0.7071≈1.00 mCD = 1.42 \times \sin(45^\circ) = 1.42 \times 0.7071 \approx 1.00\text{ m}

3. الطول DEDE: معطى في النص مباشرة:

DE=1.42 mDE = 1.42\text{ m}

الخطوة 2: حساب الطول الأفقي للمبنى EMEM

لدينا الطول الأفقي للقمة العليا بين السقفين هو HF=2 mHF = 2\text{ m}.
انحدار السقف يميل بـ 45∘45^\circ على الأفق.
القطعة المائلة EFEF طولها 1.42 m1.42\text{ m} (تحمل نفس التشفير `//`).
التوسع الأفقي لكل جانب عند الانتقال من المستوى HFHF إلى المستوى EMEM هو:
Δx=EF×cos⁡(45∘)=1.42×0.7071≈1.00 m\Delta x = EF \times \cos(45^\circ) = 1.42 \times 0.7071 \approx 1.00\text{ m}
وبما أن الشكل متناظر من الجانبين:
EM=HF+2×(Δx)=2.00+2(1.00)=4.00 mEM = HF + 2 \times (\Delta x) = 2.00 + 2(1.00) = 4.00\text{ m}

الخطوة 3: حساب أطوال القطع في الجانب الأيسر (MSMS، SKSK، KBKB)

1. حساب الطول المائل MSMS:

المسافة الأفقية بين الخطين الشاقوليين MTMT و SKSK هي KT=0.75 mKT = 0.75\text{ m}.
بفرضه امتداداً لسقف مائل بزاوية 45∘45^\circ:
cos⁡(45∘)=KTMS  ⟹  MS=KTcos⁡(45∘)=0.750.7071≈1.06 m\cos(45^\circ) = \frac{KT}{MS} \implies MS = \frac{KT}{\cos(45^\circ)} = \frac{0.75}{0.7071} \approx 1.06\text{ m}

2. حساب الطول الشاقولي SKSK:

لدينا الارتفاع الشاقولي الجداري MT=2 mMT = 2\text{ m}.
الانخفاض الشاقولي من النقطة MM إلى النقطة SS هو:
Δy=KT×tan⁡(45∘)=0.75×1=0.75 m\Delta y = KT \times \tan(45^\circ) = 0.75 \times 1 = 0.75\text{ m}
الارتفاع المتبقي SKSK:
SK=MT−Δy=2.00−0.75=1.25 mSK = MT - \Delta y = 2.00 - 0.75 = 1.25\text{ m}

3. الطول KBKB: معطى مباشرة في نص الوضعية:

KB=1.25 mKB = 1.25\text{ m}

الخطوة 4: حساب الطول الإجمالي للسلك المار عبر المسلك

مجموع الأطوال الجزئية المكونة للمسار كاملًا:

L=AC+CD+DE+EM+MS+SK+KBL = AC + CD + DE + EM + MS + SK + KB
L=1.00+1.00+1.42+4.00+1.06+1.25+1.25L = 1.00 + 1.00 + 1.42 + 4.00 + 1.06 + 1.25 + 1.25
L=11.98 mL = 11.98\text{ m}

الخطوة 5: النتيجة والترجيح

بما أن طول المسلك الإجمالي هو 11.98 m11.98\text{ m}، وطول السلك المتوفر لدى ياسر هو 13 m13\text{ m}:

11.98 m<13 m11.98\text{ m} < 13\text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

طول السلك الكهربائي (13 m13\text{ m}) كافٍ تماماً لإنجاز التوصيل الموضح بالخط السميك.

وبالتالي، فإن ياسر هو الصائب في كلامه ورأيه هو الصحيح.