لحساب القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}(a, b)$، نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتابعة) بتطبيق القاعدة: $a = b \times q + r$ حيث $r$ هو الباقي، وتتوقف العملية عند الحصول على باقي معدوم ($r = 0$)، فيكون آخر باقي غير معدوم هو $\text{PGCD}$.

نطبق خوارزمية إقليدس على العددين 333 و 74:

وبما أن آخر باقي غير معدوم هو 37، فإن:

العبارة المعطاة:

للتبسيط السريع والدقيق، نختزل أولاً الكسر $\frac{333}{74}$ بقسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما وهو 37، ثم نطبق أولوية العمليات (القسمة قبل الطرح)، وتحويل القسمة إلى ضرب في المقلوب.

أولاً: اختزال الكسر $\frac{333}{74}$:

ثانياً: التعويض في العبارة $E$ وإجراء الحساب:

تحويل القسمة إلى ضرب في المقلوب:

نختزل الكسر $\frac{45}{12}$ بقسمة البسط والمقام على 3:

نوحد المقامات لإجراء عملية الطرح:

إذن الشكل المبسط للعبارة $E$ هو:

لحل معادلة من الشكل $x^2 = b$:

ننقل الحد $\frac{5}{111}$ إلى الطرف الثاني:

نوحد المقامات بضرب بسط ومقام $\frac{5}{111}$ في العدد 3 لأن $111 \times 3 = 333$:

نختزل الكسر $\frac{74}{333}$ بقسمة البسط والمقام على 37:

بما أن $\frac{2}{9} > 0$، فإن للمعادلة حلين هما:

إذن حلا المعادلة هما: $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{3}$ و $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{3}$.

العبارة المعطاة:

نكتب ما تحت كل جذر على شكل حاصل ضرب عددين أحدهما 5 والآخر مربع تام:

$20 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5$، $80 = 16 \times 5 = 4^2 \times 5$، $45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5$.

نخرج $\sqrt{5}$ كعامل مشترك:

إذن: $F = -2\sqrt{5}$ (حيث $a = -2$).

العبارة المعطاة:

لجعل مقام نسبة عدداً ناطقاً، نضرب كل من البسط والمقام في الجذر الموجود في المقام وهو $\sqrt{5}$، مع الحذر واستعمال الأقواس للبسط.

ننشر البسط ونبسط المقام:

العبارة المعطاة:

نعوض قيمتي $F = -2\sqrt{5}$ و $K = \frac{6\sqrt{5} + 5}{15}$ في العبارة $M$:

نوحد المقامات بضرب بسط ومقام الكسر الأول في 3:

نجمع البسطين على نفس المقام:

بما أن $-6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 0$:

نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على 5:

بما أن $M = \frac{1}{3}$ وهو كسر لعددين صحيحين، فإن $M$ عدد ناطق.

بما أن المستقيمين $(BC)$ و $(DE)$ متوازيان والنقط $D, A, B$ و $E, A, C$ على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، نطبق خاصية طاليس المباشرة.

في المثلثين $ABC$ و $ADE$:

حسب خاصية طاليس:

بالتعويض بالأطوال المعلومة:

حساب الطول $AE$:

حساب الطول $DE$:

تعيين النقطتين:

للبرهان على توازي مستقيمين، نحسب نسبتي الضلعين المتقابلين ونقارن بينهما، ثم نطبق الخاصية العكسية لخاصية طاليس.

نقارن بين النسبتين $\frac{AK}{AB}$ و $\frac{AM}{AC}$:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $K, A, B$ والنقط $M, A, C$ على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فإنه حسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين $(BC)$ و $(KM)$ متوازيان:

أ) حساب المسافة بين كل شجيرتين متتاليتين $d$:

نحسب $\text{PGCD}(104, 68)$ باستخدام خوارزمية إقليدس:

إذن: $\text{PGCD}(104, 68) = 4$.

المسافة بين كل شجيرتين متتاليتين هي $4\text{ m}$.

ب) حساب محيط الحقل المستطيل $P$:

جـ) حساب عدد الشجيرات اللازمة $N$:

د) حساب ثمن الشجيرات الإجمالي:

ثمن الشجيرة الواحدة هو $400\text{ DA}$.

التعليل: ثمن الشجيرات اللازمة لإحاطة الحقل هو $34400\text{ DA}$ لأن إحاطة المستطيل تتطلب غرس 86 شجيرة بفاصل 4 أمتار بين كل شجيرتين.

الجزء المزروع مستطيل الشكل مساحته $S = 1200\text{ m}^2$ وعرضه $W$ يساوي ثلاثة أرباع طوله $L$ أي $W = \frac{3}{4} L$.

نضع معادلة لحساب البعدين $L$ و $W$، ثم نحسب محيط هذا الجزء المزروع لنضربه في سعر المتر الواحد من السياج.

أ) حساب بُعدي الجزء المزروع (الطول $L$ والعرض $W$):

صيغة المساحة:

نعوض $W = \frac{3}{4} L$:

لدينا المساحة $S = 1200\text{ m}^2$، إذن:

بما أن الطول عدد موجب:

الطول هو $40\text{ m}$.

نجد العرض $W$:

العرض هو $30\text{ m}$.

ب) حساب محيط الجزء المزروع $P'$:

جـ) حساب ثمن السياج اللازم:

ثمن المتر الواحد من السياج هو $250\text{ DA}$.

التعليل: ثمن السياج اللازم هو $35000\text{ DA}$ لأن إحاطة هذا الجزء يتطلب سياجاً بطول يماثل محيطه البالغ 140 متراً بسعر 250 دج للمتر.