نعتمد على خوارزمية الفروق المتتالية أو خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية)، وتعتبر خوارزمية إقليدس الأسرع والأدق:

آخر باقي غير معدوم هو $71$.

لقسمة كسر واختزاله إلى أقصى حد، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}(568, 355) = 71$:

الكسر الغير قابل للاختزال هو: $\frac{5}{8}$.

العبارة المعطاة:

نعوض الكسر $\frac{355}{568}$ بقيمته المختزلة $\frac{5}{8}$ للتسهيل، ثم نراعي أولوية العمليات (أولوية الضرب داخل الأقواس ثم الجمع ثم القسمة):

نختزل الكسر $\frac{14}{8}$ بقسمة الطرفين على $2$ فنحصل على $\frac{7}{4}$:

دائماً استفد من نتائج الأسئلة السابقة؛ فاستبدال الكسر الكبير بالكسر المختزل يجنبك الحسابات الأعداد الكبيرة ويقلل نسبة الخطأ.

العبارة:

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذور إلى حاصل ضرب عدد مربع تام في $6$:

بالتعويض في العبارة:

بنشر الجذر $\sqrt{6}$ كعامل مشترك:

العبارة:

نلاحظ أن $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$. نعوضها في النسبة:

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{3}$:

باستخدام الجداء التصالبي (الطرفين في الوسطين):

بما أن $6 > 0$، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

معادلة من الشكل $x^2 = b$ حيث $b > 0$ تقبل دائماً حلين هما $\sqrt{b}$ و $-\sqrt{b}$. لا تنسَ الحل السالب!

حلول المعادلة هي: $x = \sqrt{6}$ و $x = -\sqrt{6}$.

من معطيات الشكل والشروط:

بما أن المستقيمين $(OB)$ و $(MN)$ متوازيان والنقط $A, B, M$ و $A, O, N$ استقامية وبنفس الترتيب، فحسب خاصية طاليس في المثلث $AMN$:

نعوض الأطوال المعلومة:

وبما أن النقطة $O$ تنتمي إلى القطعة $[AN]$، فإن:

المستقيمان $(AN)$ و $(BL)$ يتقاطعان في النقطة $O$.

لنحسب ونقارن النسبتين $\frac{OA}{ON}$ و $\frac{OB}{OL}$:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $O, A, N$ والنقط $O, B, L$ استقامية وبنفس الترتيب، فإنه حسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين $(AB)$ و $(LN)$ متوازيان.

المستقيمان $(AB)$ و $(LN)$ متوازيان بناءً على الخواص المبرهنة بالخاصية العكسية لطاليس.

في المثلث $AHB$ القائم في $H$ (لأن $[HB]$ الارتفاع المتعلق بـ $[AC]$):

نعوض القيم المعلومة ($\sin(\widehat{HAB}) = \frac{4}{5}$ و $AB = 3.5\text{ cm}$):

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $AHB$:

بما أن النقطة $H$ تنتمي إلى القطعة $[AC]$ ذات الطول $AC = 6\text{ cm}$:

في المثلث $BHC$ القائم في $H$:

نعلم أن $\widehat{ABC} = \widehat{ABH} + \widehat{HBC}$.

1. حساب قيس الزاوية $\widehat{HBC}$:

2. حساب قيس الزاوية $\widehat{ABH}$:

في المثلث القائم $AHB$:

3. جمع القيسين لحساب $\widehat{ABC}$:

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة: $91^\circ$.

قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ بالتدوير إلى الوحدة هو: $91^\circ$.

الأرض مستطيلة الشكل بعداها: الطول $L = 315 \text{ m}$ والعرض $W = 195 \text{ m}$.

المسافة المتساوية والأكبر ما يمكن بين كل عمودين متتابعين تمثل القاسم المشترك الأكبر للبعدين: $d = \text{PGCD}(315, 195)$.

إذن: المسافة الفاصلة بين كل عمودين هي $d = 15 \text{ m}$.

عدد الأعمدة اللازمة لإحاطة القطعة هو: 68 عموداً.

طول أنبوب السقي الممتد من $M$ إلى $N$ ثم من $N$ إلى $E$ هو مجموع الطولين: $L_{\text{أنبوب}} = MN + NE$.

في المثلث $AMN$ القائم في $A$ (لأن الزاوية $\widehat{A}$ قائمة):

نعلم أن $AM = 78\text{ m}$ وقيس الزاوية $\widehat{ANM} = 55^\circ$.

المستقيمان $(MN)$ و $(BE)$ متوازيان، والنقط $A, M, B$ و $A, N, E$ استقامية.

حسب خاصية طاليس في المثلث $ABE$:

نعلم أن $AB = 195 \text{ m}$ و $AM = 78 \text{ m}$:

وبالتالي:

بالتدوير إلى الوحدة: $197 \text{ m}$.

نعسب تكلفة كل عنصر على حدة ثم نجمع التكاليف:

1. تكلفة الأعمدة المعدنية:

2. تكلفة السياج (طول السياج يساوي محيط الأرض $1020 \text{ m}$):

3. تكلفة أنبوب السقي ($197 \text{ m}$):

4. التكلفة الكلية: