Sujet n° 135 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

PDFCorrigé IA2025Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet (Examen trimestriel) en Mathématiques pour la 4ème Année Moyenne (4AM) au format PDF imprimable avec correction sur DzMadrassa.

Niveau :السنة الرابعة متوسطMatière :MathématiquesTrimestre :1er TrimestreFormat :PDF imprimableCorrigé :Disponible par IA

Sujet n° 135

Solution IA2025

Source Préférée Google

Solution modèle approuvée

Vérifié et approuvé ✅

Solution pédagogique préparée selon le programme officiel avec barème de notation

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 135 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

الجزء الأول: (12 نقطة)

📌

التمرين الأول: (02.5 نقطة)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 568 و 355:

نعتمد على خوارزمية الفروق المتتالية أو خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية)، وتعتبر خوارزمية إقليدس الأسرع والأدق:

568 = 355 \times 1 + 213

355 = 213 \times 1 + 142

213 = 142 \times 1 + 71

142 = 71 \times 2 + 0

آخر باقي غير معدوم هو $71$ .

✅الإجابة النموذجية:

\text{PGCD}(568, 355) = 71

2) كتابة الكسر $\frac{355}{568}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

لقسمة كسر واختزاله إلى أقصى حد، نقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}(568, 355) = 71$ :

\frac{355}{568} = \frac{355 \div 71}{568 \div 71} = \frac{5}{8}

✅الإجابة النموذجية:

الكسر الغير قابل للاختزال هو: $\frac{5}{8}$ .

3) حساب العدد $A$ وكتابته على أبسط شكل ممكن:

العبارة المعطاة:

A = \left( \frac{355}{568} + \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} \right) \div 2

نعوض الكسر $\frac{355}{568}$ بقيمته المختزلة $\frac{5}{8}$ للتسهيل، ثم نراعي أولوية العمليات (أولوية الضرب داخل الأقواس ثم الجمع ثم القسمة):

A = \left( \frac{5}{8} + \frac{3 \times 3}{4 \times 2} \right) \div 2

A = \left( \frac{5}{8} + \frac{9}{8} \right) \div 2

A = \left( \frac{5 + 9}{8} \right) \div 2 = \frac{14}{8} \div 2

نختزل الكسر $\frac{14}{8}$ بقسمة الطرفين على $2$ فنحصل على $\frac{7}{4}$ :

A = \frac{7}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{7 \times 1}{4 \times 2} = \frac{7}{8}

💡إضاءة وتنبيه:

دائماً استفد من نتائج الأسئلة السابقة؛ فاستبدال الكسر الكبير بالكسر المختزل يجنبك الحسابات الأعداد الكبيرة ويقلل نسبة الخطأ.

✅الإجابة النموذجية:

A = \frac{7}{8}

📌

التمرين الثاني: (03 نقاط)

1) كتابة العدد $M$ على الشكل $a\sqrt{6}$ :

العبارة:

M = 4\sqrt{294} - 3\sqrt{150} - 15\sqrt{6}

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذور إلى حاصل ضرب عدد مربع تام في $6$ :

294 = 49 \times 6 = 7^2 \times 6

150 = 25 \times 6 = 5^2 \times 6

بالتعويض في العبارة:

M = 4\sqrt{49 \times 6} - 3\sqrt{25 \times 6} - 15\sqrt{6}

M = 4 \times 7\sqrt{6} - 3 \times 5\sqrt{6} - 15\sqrt{6}

M = 28\sqrt{6} - 15\sqrt{6} - 15\sqrt{6}

بنشر الجذر $\sqrt{6}$ كعامل مشترك:

M = (28 - 15 - 15)\sqrt{6} = -2\sqrt{6}

✅الإجابة النموذجية:

M = -2\sqrt{6} \quad \text{حيث } a = -2

2) كتابة النسبة $N$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

العبارة:

N = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{12}}{\sqrt{3}}

نلاحظ أن $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ . نعوضها في النسبة:

N = \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

لجعل المقام عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في $\sqrt{3}$ :

N = \frac{(2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}

N = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{3}

N = \frac{2\sqrt{6} + 2 \times 3}{3} = \frac{6 + 2\sqrt{6}}{3}

✅الإجابة النموذجية:

N = \frac{6 + 2\sqrt{6}}{3}

3) حل المعادلة: $\frac{x}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{x}$

باستخدام الجداء التصالبي (الطرفين في الوسطين):

x \times x = \sqrt{12} \times \sqrt{3}

x^2 = \sqrt{12 \times 3}

x^2 = \sqrt{36} = 6

بما أن $6 > 0$ ، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

x = \sqrt{6} \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{6}

💡إضاءة وتنبيه:

معادلة من الشكل $x^{2} = b$ حيث $b > 0$ تقبل دائماً حلين هما $\sqrt{b}$ و $-\sqrt{b}$ . لا تنسَ الحل السالب!

✅الإجابة النموذجية:

حلول المعادلة هي: $x = \sqrt{6}$ و $x = -\sqrt{6}$ .

📌

التمرين الثالث: (03 نقاط)

1) حساب الطولين $O B$ و $O N$ :

من معطيات الشكل والشروط:

النقط

A, B, M

في استقامية، حيث

AB = 9\text{ cm}

AM = 24\text{ cm}

النقط

A, O, N

في استقامية، حيث

AO = 6\text{ cm}

المستقيمان

(O B)

(M N)

متوازيان.

بما أن المستقيمين $(O B)$ و $(M N)$ متوازيان والنقط $A, B, M$ و $A, O, N$ استقامية وبنفس الترتيب، فحسب خاصية طاليس في المثلث $A M N$ :

\frac{AB}{AM} = \frac{AO}{AN} = \frac{OB}{MN}

نعوض الأطوال المعلومة:

\frac{9}{24} = \frac{6}{AN} = \frac{OB}{18}

حساب الطول $O B$ :

OB = \frac{9 \times 18}{24} = \frac{162}{24} = 6.75 \text{ cm}

حساب الطول $A N$ ثم استنتاج $O N$ :

AN = \frac{6 \times 24}{9} = \frac{144}{9} = 16 \text{ cm}

وبما أن النقطة $O$ تنتمي إلى القطعة $[A N]$ ، فإن:

ON = AN - AO = 16 - 6 = 10 \text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

OB = 6.75 \text{ cm} \quad \text{و} \quad ON = 10 \text{ cm}

2) تبيان أن المستقيمين $(A B)$ و $(L N)$ متوازيان:

المستقيمان $(A N)$ و $(B L)$ يتقاطعان في النقطة $O$ .

لنحسب ونقارن النسبتين $\frac{OA}{ON}$ و $\frac{OB}{OL}$ :

النسبة الأولى:

\frac{OA}{ON} = \frac{6}{10} = 0.6

النسبة الثانية:

\frac{OB}{OL} = \frac{6.75}{11.25} = 0.6

نلاحظ أن:

\frac{OA}{ON} = \frac{OB}{OL} = 0.6

وبما أن النقط $O, A, N$ والنقط $O, B, L$ استقامية وبنفس الترتيب، فإنه حسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين $(A B)$ و $(L N)$ متوازيان.

✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان $(A B)$ و $(L N)$ متوازيان بناءً على الخواص المبرهنة بالخاصية العكسية لطاليس.

📌

التمرين الرابع: (03.5 نقطة)

1) حساب الطول $B H$ ، الطول $A H$ ، واستنتاج الطول $C H$ :

حساب الطول $B H$ :

في المثلث $A H B$ القائم في $H$ (لأن $[H B]$ الارتفاع المتعلق بـ $[A C]$ ):

\sin(\widehat{HAB}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{BH}{AB}

نعوض القيم المعلومة ( $\sin(\widehat{HAB}) = \frac{4}{5}$ و $AB = 3.5\text{ cm}$ ):

\frac{4}{5} = \frac{BH}{3.5} \implies BH = \frac{3.5 \times 4}{5} = \frac{14}{5} = 2.8 \text{ cm}

حساب الطول $A H$ :

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $A H B$ :

A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}

(3.5)^{2} = A H^{2} + (2.8)^{2}

12.25 = AH^2 + 7.84 \implies AH^2 = 12.25 - 7.84 = 4.41

AH = \sqrt{4.41} = 2.1 \text{ cm}

استنتاج الطول $C H$ :

بما أن النقطة $H$ تنتمي إلى القطعة $[A C]$ ذات الطول $AC = 6\text{ cm}$ :

CH = AC - AH = 6 - 2.1 = 3.9 \text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

BH = 2.8 \text{ cm}, \quad AH = 2.1 \text{ cm}, \quad CH = 3.9 \text{ cm}

2) حساب $\tan(\widehat{HBC})$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ :

حساب $\tan(\widehat{HBC})$ :

في المثلث $B H C$ القائم في $H$ :

\tan(\widehat{HBC}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{CH}{BH} = \frac{3.9}{2.8} = \frac{39}{28} \approx 1.3929

استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ :

نعلم أن $\widehat{ABC} = \widehat{ABH} + \widehat{HBC}$ .

1. حساب قيس الزاوية $\widehat{HBC}$ :

\widehat{HBC} = \tan^{-1}\left(\frac{3.9}{2.8}\right) \approx 54.31^\circ

2. حساب قيس الزاوية $\widehat{ABH}$ :

في المثلث القائم $A H B$ :

\tan(\widehat{ABH}) = \frac{AH}{BH} = \frac{2.1}{2.8} = 0.75

\widehat{ABH} = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^\circ

3. جمع القيسين لحساب $\widehat{ABC}$ :

\widehat{ABC} = 36.87^\circ + 54.31^\circ = 91.18^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة: $91^\circ$ .

✅الإجابة النموذجية:

\tan(\widehat{HBC}) = \frac{39}{28} \approx 1.39

قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ بالتدوير إلى الوحدة هو: $91^\circ$ .

📌

الجزء الثاني: (08 نقاط)

📌

الوضعية الإدماجية:

الجزء الأول (I): حساب عدد الأعمدة اللازمة لإحاطة قطعة الأرض $A B C D$

الأرض مستطيلة الشكل بعداها: الطول $L = 315 \text{ m}$ والعرض $W = 195 \text{ m}$ .

المسافة المتساوية والأكبر ما يمكن بين كل عمودين متتابعين تمثل القاسم المشترك الأكبر للبعدين: $d = \text{PGCD}(315, 195)$ .

1. حساب $d = \text{PGCD}(315, 195)$ باستخدام خوارزمية إقليدس:

315 = 195 \times 1 + 120

195 = 120 \times 1 + 75

120 = 75 \times 1 + 45

75 = 45 \times 1 + 30

45 = 30 \times 1 + 15

30 = 15 \times 2 + 0

إذن: المسافة الفاصلة بين كل عمودين هي $d = 15 \text{ m}$ .

2. حساب محيط قطعة الأرض $P$ :

P = 2 \times (L + W) = 2 \times (315 + 195) = 2 \times 510 = 1020 \text{ m}

3. حساب عدد الأعمدة:

\text{عدد الأعمدة} = \frac{\text{المحيط}}{\text{المسافة بين كل عمودين}} = \frac{1020}{15} = 68 \text{ عموداً}

✅الإجابة النموذجية:

عدد الأعمدة اللازمة لإحاطة القطعة هو: 68 عموداً.

الجزء الثاني (II): حساب طول أنبوب السقي والتكلفة الكلية

1. حساب طول أنبوب السقي:

طول أنبوب السقي الممتد من $M$ إلى $N$ ثم من $N$ إلى $E$ هو مجموع الطولين: $L_{\text{أنبوب}} = MN + NE$ .

حساب الطول $M N$ و الطول $A N$ :

في المثلث $A M N$ القائم في $A$ (لأن الزاوية $\widehat{A}$ قائمة):

نعلم أن $AM = 78\text{ m}$ وقيس الزاوية $\widehat{ANM} = 55^\circ$ .

حساب

M N

\tan(\widehat{ANM}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{AM}{MN}

\tan(55^\circ) = \frac{78}{MN} \implies MN = \frac{78}{\tan(55^\circ)} \approx \frac{78}{1.4281} \approx 54.62 \text{ m}

حساب

A N

\sin(\widehat{ANM}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{AM}{AN}

\sin(55^\circ) = \frac{78}{AN} \implies AN = \frac{78}{\sin(55^\circ)} \approx \frac{78}{0.8192} \approx 95.22 \text{ m}

حساب الطول $N E$ :

المستقيمان $(M N)$ و $(B E)$ متوازيان، والنقط $A, M, B$ و $A, N, E$ استقامية.

حسب خاصية طاليس في المثلث $A B E$ :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AE}

نعلم أن $AB = 195 \text{ m}$ و $AM = 78 \text{ m}$ :

\frac{78}{195} = \frac{95.22}{AE} \implies AE = \frac{195 \times 95.22}{78} = 238.05 \text{ m}

وبالتالي:

NE = AE - AN = 238.05 - 95.22 = 142.83 \text{ m}

حساب الطول الكلي لأنبوب السقي:

L_{\text{أنبوب}} = MN + NE = 54.62 + 142.83 = 197.45 \text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة: $197 \text{ m}$ .

2. حساب التكلفة الكلية للتسييج وتجهيز شبكة السقي:

نعسب تكلفة كل عنصر على حدة ثم نجمع التكاليف:

1. تكلفة الأعمدة المعدنية:

$\text{التكلفة}_1 = 68 \times 5000 = 340000 \text{ DA}$

2. تكلفة السياج (طول السياج يساوي محيط الأرض $1020 \text{ m}$ ):

$\text{التكلفة}_2 = 1020 \times 1000 = 1020000 \text{ DA}$

3. تكلفة أنبوب السقي ( $197 \text{ m}$ ):

$\text{التكلفة}_3 = 197 \times 500 = 98500 \text{ DA}$

4. التكلفة الكلية:

$\text{التكلفة الكلية} = 340000 + 1020000 + 98500 = 1458500 \text{ DA}$

✅الإجابة النموذجية:

طول أنبوب السقي هو: $197 \text{ m}$ (بالتدوير إلى الوحدة).

التكلفة الكلية للتسييج وتجهيز شبكة السقي هي: $1458500 \text{ DA}$ (مليون وأربعمائة وثمانية وخمسون ألفاً وخمسعمائة دينار جزائري).

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4ème Année Moyenne Calculateur de moyenne 4ème Année Moyenne

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Solution de référence préparée selon les normes du Ministère de l'Éducation Nationale.

Fiche pédagogique du document

Informations détaillées conformes au programme officiel algérien

Afficher

Télécharger le sujet PDF90 Ko

Niveau4ème Année Moyenne (4AM)

MatièreMathématiques

Type de documentExamen trimestriel

Période1er Trimestre (2025)

CorrigéSujet original prêt pour entraînement

Format & ValidationConforme au programme officiel - PDF haute qualité

Téléchargez ce Examen trimestriel en Mathématiques (4ème Année Moyenne (4AM)) pour préparer efficacement vos révisions sur DzMadrassa.

💡 Conseil pédagogique : Il est recommandé de s'entraîner en temps réel sans consulter les solutions avant d'avoir complété les exercices.

Entraînez-vous sur les Devoirs et Examens de Mathématiques

Accès direct aux devoirs et examens du 1er trimestre avec corrigés officiels en PDF

Devoirs T1

Devoirs Mathématiques 4ème Année Moyenne 1er Trimestre avec Corrigés

Devoirs surveillés avec barème officiel

Consulter

Examens T1

Examens Mathématiques 4ème Année Moyenne 1er Trimestre avec Solutions

Épreuves officielles conformes au programme ministériel

Consulter

Corrigé

Sujets de Mathématiques avec Corrigé Détaillé

Banque de sujets avec corrigés détaillés

Consulter

Sujet n° 135 - Examen Trimestre 1 - Mathématiques - 4am

Solution modèle approuvée

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 135 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الجزء الأول: (12 نقطة)

التمرين الأول: (02.5 نقطة)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 568 و 355:

2) كتابة الكسر 355568\frac{355}{568}568355​ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

3) حساب العدد AAA وكتابته على أبسط شكل ممكن:

التمرين الثاني: (03 نقاط)

1) كتابة العدد MMM على الشكل a6a\sqrt{6}a6​:

2) كتابة النسبة NNN على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

3) حل المعادلة: x12=3x\frac{x}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{x}12​x​=x3​​

التمرين الثالث: (03 نقاط)

1) حساب الطولين OBOBOB و ONONON:

2) تبيان أن المستقيمين (AB)(AB)(AB) و (LN)(LN)(LN) متوازيان:

التمرين الرابع: (03.5 نقطة)

1) حساب الطول BHBHBH، الطول AHAHAH، واستنتاج الطول CHCHCH:

2) حساب tan⁡(HBC^)\tan(\widehat{HBC})tan(HBC) ثم استنتاج قيس الزاوية ABC^\widehat{ABC}ABC:

الجزء الثاني: (08 نقاط)

الوضعية الإدماجية:

الجزء الأول (I): حساب عدد الأعمدة اللازمة لإحاطة قطعة الأرض ABCDABCDABCD

1. حساب d=PGCD(315,195)d = \text{PGCD}(315, 195)d=PGCD(315,195) باستخدام خوارزمية إقليدس:

2. حساب محيط قطعة الأرض PPP:

3. حساب عدد الأعمدة:

الجزء الثاني (II): حساب طول أنبوب السقي والتكلفة الكلية

1. حساب طول أنبوب السقي:

2. حساب التكلفة الكلية للتسييج وتجهيز شبكة السقي:

🔗 Useful Links & Official Resources

Fiche pédagogique du document

Entraînez-vous sur les Devoirs et Examens de Mathématiques

Devoirs Mathématiques 4ème Année Moyenne 1er Trimestre avec Corrigés

Examens Mathématiques 4ème Année Moyenne 1er Trimestre avec Solutions

Sujets de Mathématiques avec Corrigé Détaillé

2) كتابة الكسر $\frac{355}{568}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

3) حساب العدد $A$ وكتابته على أبسط شكل ممكن:

1) كتابة العدد $M$ على الشكل $a\sqrt{6}$ :

2) كتابة النسبة $N$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

3) حل المعادلة: $\frac{x}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{x}$

1) حساب الطولين $O B$ و $O N$ :

2) تبيان أن المستقيمين $(A B)$ و $(L N)$ متوازيان:

1) حساب الطول $B H$ ، الطول $A H$ ، واستنتاج الطول $C H$ :

2) حساب $\tan(\widehat{HBC})$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ :

الجزء الأول (I): حساب عدد الأعمدة اللازمة لإحاطة قطعة الأرض $A B C D$

1. حساب $d = \text{PGCD}(315, 195)$ باستخدام خوارزمية إقليدس:

2. حساب محيط قطعة الأرض $P$ :