📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 139 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

التمرين الأول: (2.5 نقطة)

1. إعطاء الكتابة العلمية للعدد AA

💡إضاءة وتنبيه:

الكتابة العلمية لعدد عشري تبسيطية وتكتب على الشكل a×10na \times 10^n حيث aa عدد عشري يحوي رقماً واحداً غير معدوم قبل الفاصلة (1≤∣a∣<101 \le |a| < 10) وnn عدد صحيح نسبي.

لدينا العبارة:

A=45,6×103×8×10416×(102)−4A = \frac{45,6 \times 10^3 \times 8 \times 10^4}{16 \times (10^2)^{-4}}

خطوات التبسيط:

نفصل الأعداد عن قوى العدد 10:
A=(45,6×816)×(103×104(102)−4)A = \left( \frac{45,6 \times 8}{16} \right) \times \left( \frac{10^3 \times 10^4}{(10^2)^{-4}} \right)
نحسب الجداءات في البسط والمقام:
45,6×8=364,845,6 \times 8 = 364,8
364,816=22,8\frac{364,8}{16} = 22,8
نطبق قواعد القوى على العدد 10:
103×104=103+4=10710^3 \times 10^4 = 10^{3+4} = 10^7
(102)−4=102×(−4)=10−8(10^2)^{-4} = 10^{2 \times (-4)} = 10^{-8}
10710−8=107−(−8)=107+8=1015\frac{10^7}{10^{-8}} = 10^{7 - (-8)} = 10^{7 + 8} = 10^{15}
إذن نتحصل على:
A=22,8×1015A = 22,8 \times 10^{15}
نكتب العدد 22,822,8 على الشكل العلمي: 22,8=2,28×10122,8 = 2,28 \times 10^1
✅الإجابة النموذجية:
A=2,28×101×1015=2,28×1016A = 2,28 \times 10^1 \times 10^{15} = 2,28 \times 10^{16}

2. كتابة العدد BB على شكل كسر غير قابل للاختزال

لدينا الكسر:

B=3752850B = \frac{375}{2850}

نبحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين 375375 و 28502850 باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

2850=375×7+2252850 = 375 \times 7 + 225
375=225×1+150375 = 225 \times 1 + 150
225=150×1+75225 = 150 \times 1 + 75
150=75×2+0150 = 75 \times 2 + 0

آخر باقي غير معدوم هو 7575، وبالتالي:

PGCD(2850,375)=75\text{PGCD}(2850, 375) = 75

نقسم كلا من البسط والمقام على 7575:

B=375÷752850÷75=538B = \frac{375 \div 75}{2850 \div 75} = \frac{5}{38}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر غير القابل للاختزال للعدد BB هو:

B=538B = \frac{5}{38}
📌

التمرين الثاني: (3 نقاط)

1. كتابة العبارة AA على الشكل a5a\sqrt{5}

لدينا:

A=3125−25−445A = 3\sqrt{125} - 2\sqrt{5} - 4\sqrt{45}

نحلل الأعداد تحت الراديكالي (الراديكال) بظهور الجداء المضروب في 55:

125=25×5=52×5125 = 25 \times 5 = 5^2 \times 5
45=9×5=32×545 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5

بالتعويض في العبارة:

A=325×5−25−49×5A = 3\sqrt{25 \times 5} - 2\sqrt{5} - 4\sqrt{9 \times 5}
A=3×55−25−4×35A = 3 \times 5\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 4 \times 3\sqrt{5}
A=155−25−125A = 15\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 12\sqrt{5}
A=(15−2−12)5A = (15 - 2 - 12)\sqrt{5}
✅الإجابة النموذجية:
A=15=5A = 1\sqrt{5} = \sqrt{5}

2. كتابة BB على شكل كسر مقامه عدد ناطق

لدينا:

B=25−15B = \frac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}

نضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي 5\sqrt{5}:

B=(25−1)×55×5B = \frac{(2\sqrt{5} - 1) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}
B=2(5)2−1×55B = \frac{2(\sqrt{5})^2 - 1 \times \sqrt{5}}{5}
B=2×5−55B = \frac{2 \times 5 - \sqrt{5}}{5}
✅الإجابة النموذجية:
B=10−55B = \frac{10 - \sqrt{5}}{5}

3. تبيان ما إذا كان العدد CC عدداً طبيعياً

لدينا العبارة:

C=A×B−2(5−1)C = A \times B - 2(\sqrt{5} - 1)

نعوض القيم المحسوبة سابقاً A=5A = \sqrt{5} و B=25−15B = \frac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}:

A×B=5×(25−15)=25−1A \times B = \sqrt{5} \times \left( \frac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}} \right) = 2\sqrt{5} - 1

نعوض الجداء في عبارة CC:

C=(25−1)−2(5−1)C = (2\sqrt{5} - 1) - 2(\sqrt{5} - 1)
C=25−1−25+2C = 2\sqrt{5} - 1 - 2\sqrt{5} + 2
C=(−1+2)+(25−25)C = (-1 + 2) + (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5})
C=1+0=1C = 1 + 0 = 1
✅الإجابة النموذجية:

بما أن C=1C = 1 والعدد 11 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية (1∈N1 \in \mathbb{N})، فإن العدد CC عدد طبيعي.

📌

التمرين الثالث: (3 نقاط)

1. إثبات أن المثلث EFGEFG قائم

💡إضاءة وتنبيه:

خاصية الدائرة المحيطة بمثلث قائم: إذا كان أحد أضلاع مثلث قطراً لدائرة محيطة برؤوسه الثلاثة، فإن هذا المثلث قائم ورأسه القائم هو الرأس المقابل لهذا الضلع.

من المعطيات والشكل المرفق:

النقاط EE، FF، و GG تنتمي جميعها إلى الدائرة.
الضلع [EF][EF] يمثل قطراً لهذه الدائرة.
✅الإجابة النموذجية:

حسب خاصية المثلث المحاط بدائرة، فإن المثلث EFGEFG قائم في الرأس GG.

2. حساب الطول FMFM

بما أن المثلث EFGEFG قائم في GG، فإن المستقيم (EG)(EG) عمودي على المستقيم (FG)(FG)، أي: (EG)⊥(FG)(EG) \perp (FG).

ومن الشكل الموضح، نلاحظ وجود رمز التعامد عند الرأس KK، مما يعني أن: (EG)⊥(KM)(EG) \perp (KM).

💡إضاءة وتنبيه:

إذا عمَد مستقيمان نفس المستقيم، فإنهما متوازيان.

بالتالي: (FG)∥(KM)(FG) \parallel (KM).

في المثلث EKMEKM:

النقطة FF تنتمي إلى القطعة المستقيمة [EM][EM].
النقطة GG تنتمي إلى القطعة المستقيمة [EK][EK].
المستقيمان (FG)(FG) و (KM)(KM) متوازيان.

بتطبيق خاصية طاليس (Thales' Theorem):

EFEM=EGEK=FGKM\frac{EF}{EM} = \frac{EG}{EK} = \frac{FG}{KM}

نعوض بالأطوال المعلومة (EF=10 cmEF = 10 \text{ cm}، FG=5 cmFG = 5 \text{ cm}، KM=7 cmKM = 7 \text{ cm}):

10EM=57\frac{10}{EM} = \frac{5}{7}

باستعمال حاصل الضرب المتصالب (الرابع التناسبي):

EM=10×75=705=14 cmEM = \frac{10 \times 7}{5} = \frac{70}{5} = 14 \text{ cm}

وبما أن النقطة FF تنتمي إلى القطعة [EM][EM]:

FM=EM−EF=14−10=4 cmFM = EM - EF = 14 - 10 = 4 \text{ cm}
✅الإجابة النموذجية:

الطول FMFM يساوي 4 cm4 \text{ cm}.

📌

التمرين الرابع: (3.5 نقطة)

1. حساب القيم المضبوطة لـ cos⁡X^\cos\hat{X} ثم tan⁡X^\tan\hat{X}

معطى: sin⁡X^=53\sin\hat{X} = \frac{\sqrt{5}}{3}

أ) حساب cos⁡X^\cos\hat{X}:

نستعمل العلاقة المثلثية الأساسية:

cos⁡2X^+sin⁡2X^=1\cos^2\hat{X} + \sin^2\hat{X} = 1
cos⁡2X^=1−sin⁡2X^\cos^2\hat{X} = 1 - \sin^2\hat{X}
cos⁡2X^=1−(53)2=1−59=9−59=49\cos^2\hat{X} = 1 - \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{9 - 5}{9} = \frac{4}{9}

بما أن X^\hat{X} قيس زاوية حادة فإن cos⁡X^>0\cos\hat{X} > 0:

cos⁡X^=49=23\cos\hat{X} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}
✅الإجابة النموذجية:

القيمة المضبوطة لـ cos⁡X^\cos\hat{X} هي 23\frac{2}{3}.

ب) حساب tan⁡X^\tan\hat{X}:

نستعمل العلاقة بين النسب المثلثية:

tan⁡X^=sin⁡X^cos⁡X^\tan\hat{X} = \frac{\sin\hat{X}}{\cos\hat{X}}
tan⁡X^=5323=53×32=52\tan\hat{X} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}
✅الإجابة النموذجية:

القيمة المضبوطة لـ tan⁡X^\tan\hat{X} هي 52\frac{\sqrt{5}}{2}.

2. إيجاد قيس الزاوية X^\hat{X} بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة

باستخدام الآلة الحاسبة العلمية (باستعمال الزر sin⁡−1\sin^{-1} أو 2ndF+sin⁡2ndF + \sin):

sin⁡X^=53≈0,7453559\sin\hat{X} = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0,7453559
X^=sin⁡−1(0,7453559)≈48,1897∘\hat{X} = \sin^{-1}(0,7453559) \approx 48,1897^\circ

ننظر إلى الجزء من عشرة وهو الرقم 11 (أقل من 5)، إذن ندور إلى الأدنى.

✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية X^\hat{X} بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة هو 48∘48^\circ.

📌

الوضعية الإدماجية: (8 نقاط)

الجزء الأول: حساب مساحة المثلث AEDAED

من الشكل المعطى:

المثلث AEDAED قائم في DD.
الوتر AE=100 mAE = 100 \text{ m}.
قيس الزاوية EAD^=30∘\widehat{EAD} = 30^\circ.

أ) حساب الطول ADAD:

cos⁡(EAD^)=الضلع المجاورالوتر=ADAE\cos(\widehat{EAD}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AD}{AE}
cos⁡(30∘)=AD100  ⟹  AD=100×cos⁡(30∘)=100×32≈86,6025 m\cos(30^\circ) = \frac{AD}{100} \implies AD = 100 \times \cos(30^\circ) = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86,6025 \text{ m}

ب) حساب الطول EDED:

sin⁡(EAD^)=الضلع المقابلالوتر=EDAE\sin(\widehat{EAD}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{ED}{AE}
sin⁡(30∘)=ED100  ⟹  ED=100×sin⁡(30∘)=100×0,5=50 m\sin(30^\circ) = \frac{ED}{100} \implies ED = 100 \times \sin(30^\circ) = 100 \times 0,5 = 50 \text{ m}

ج) حساب مساحة المثلث القائم AEDAED:

SAED=القاعدة×الارتفاع2=ED×AD2S_{AED} = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{ED \times AD}{2}
SAED=50×86,60252=2165,06 m2S_{AED} = \frac{50 \times 86,6025}{2} = 2165,06 \text{ m}^2

بالتدوير إلى الوحدة من المتر المربع:

✅الإجابة النموذجية:

مساحة المثلث AEDAED بالتدوير إلى الوحدة هي 2165 m22165 \text{ m}^2.

الجزء الثاني: مناقشة مدى كفاية المبلغ لتسييج القطعة وزراعة العشب

1. حساب طول السياج اللازم وتكلفته:

القطعة المراد إحاطتها بالسياج هي القطعة الكلية ABCEABCE.

الشكل ABCDABCD متوازي أضلاع، إذن: AB=DCAB = DC و BC=ADBC = AD.
لدينا الطول الكلي للقاعدة EC=900 mEC = 900 \text{ m}.
الطول ED=50 mED = 50 \text{ m}، بالتالي:
DC=EC−ED=900−50=850 mDC = EC - ED = 900 - 50 = 850 \text{ m}
وعليه: AB=850 mAB = 850 \text{ m}.
الطول BC=AD≈86,60 mBC = AD \approx 86,60 \text{ m}.
الطول AE=100 mAE = 100 \text{ m}.

محيط القطعة الكلية ABCEABCE:

P=AE+AB+BC+ECP = AE + AB + BC + EC
P=100+850+86,60+900=1936,60 mP = 100 + 850 + 86,60 + 900 = 1936,60 \text{ m}

بما أنه تم ترك مدخل عرضه 4 m4 \text{ m}، فإن طول السياج المستعمل هو:

L=P−4=1936,60−4=1932,60 mL = P - 4 = 1936,60 - 4 = 1932,60 \text{ m}

تكلفة السياج:

ثمن السياج=1932,60×600=1 159 560 DA\text{ثمن السياج} = 1932,60 \times 600 = 1\,159\,560 \text{ DA}

2. حساب تكلفة زراعة العشب في القطعة AEDAED:

مساحة القطعة AEDAED هي 2165 m22165 \text{ m}^2.
العلبة الواحدة تغطي 100 m2100 \text{ m}^2.
عدد العلبا اللازمة:
2165100=21,65\frac{2165}{100} = 21,65

بما أن بذور العشب تباع في علب كاملة، يلزم شراء 22 علبة.

تكلفة شراء بذور العشب:

ثمن بذور العشب=22×1400=30 800 DA\text{ثمن بذور العشب} = 22 \times 1400 = 30\,800 \text{ DA}

3. حساب التكلفة الإجمالية للمشروع:

التكلفة الإجمالية=ثمن السياج+ثمن بذور العشب+مصاريف النقل\text{التكلفة الإجمالية} = \text{ثمن السياج} + \text{ثمن بذور العشب} + \text{مصاريف النقل}
التكلفة الإجمالية=1 159 560+30 800+2500=1 192 860 DA\text{التكلفة الإجمالية} = 1\,159\,560 + 30\,800 + 2500 = 1\,192\,860 \text{ DA}

4. التعليل والمقارنة مع المبلغ المتوفر:

المبلغ الذي يمتلكه المهندس بحسب نص الامتحان هو: 277 000 DA277\,000 \text{ DA}.
بمقارنة التكلفة الإجمالية المحسوبة مع المبلغ المتوفر:
1 192 860 DA>277 000 DA1\,192\,860 \text{ DA} > 277\,000 \text{ DA}

(ملاحظة: حتى في حال كان المبلغ المدوّن مطبعياً يمثل 1 277 000 DA1\,277\,000 \text{ DA}، فإن المقارنة تكون: 1 192 860≤1 277 0001\,192\,860 \le 1\,277\,000).

✅الإجابة النموذجية:

بناءً على المعطيات الرقمية للوثيقة، المبلغ الذي يمتلكه المهندس (277 000 DA277\,000 \text{ DA}) لا يكفي لتسييج القطعة وزراعة العشب، لأن التكلفة الإجمالية للمشروع تبلغ 1 192 860 DA1\,192\,860 \text{ DA} وهي تتجاوز المبلغ الموفر بفارق قدره 915 860 DA915\,860 \text{ DA}.