Le document Paper #136 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am contient-il un corrigé ?

Oui, ce document est disponible avec son corrigé et barème officiel en téléchargement PDF gratuit sur DzMadrassa.

Comment télécharger ce sujet en PDF ?

Vous pouvez télécharger le document en format PDF imprimable directement via le bouton de téléchargement sur DzMadrassa.

Est-il possible de faire un quiz interactif ?

Oui, DzMadrassa propose des quiz interactifs pour tester vos connaissances avec correction immédiate.

Paper #136 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

PDFCorrigé IA2025Téléchargement gratuit

Téléchargez le document complet avec corrigé détaillé en format PDF imprimable gratuitement sur DzMadrassa.

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 136 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 9100 و 5824: $\text{PGCD}(9100, 5824)$

باستخدام خوارزمية القسمات المتتابعة (خوارزمية إقليدس):

9100 = 5824 \times 1 + 3276

5824 = 3276 \times 1 + 2548

3276 = 2548 \times 1 + 728

2548 = 728 \times 3 + 364

728 = 364 \times 2 + 0

💡إضاءة وتنبيه:

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم في خوارزمية إقليدس.

✅الإجابة النموذجية:

\text{PGCD}(9100, 5824) = 364

2. كتابة الكسر $\frac{5824}{9100}$ على شكل غير قابل للاختزال

بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $364$ :

\frac{5824}{9100} = \frac{5824 \div 364}{9100 \div 364} = \frac{16}{25}

✅الإجابة النموذجية:

\frac{5824}{9100} = \frac{16}{25}

3. تبيان أن $A$ عدد طبيعي

نعلم أن:

A = \frac{8}{15} + \sqrt{\frac{5824}{9100}} \div \frac{6}{11}

نعوض الكسر $\frac{5824}{9100}$ بالشكل غير القابل للاختزال $\frac{16}{25}$ :

\sqrt{\frac{5824}{9100}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}

نعوض هذه النتيجة في العبارة $A$ :

A = \frac{8}{15} + \left( \frac{4}{5} \div \frac{6}{11} \right)

نعلم أن القسمة هي الضرب في المقلوب:

A = \frac{8}{15} + \left( \frac{4}{5} \times \frac{11}{6} \right) = \frac{8}{15} + \frac{44}{30}

نوحد المقامات للكسرين (بضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2):

A = \frac{8 \times 2}{15 \times 2} + \frac{44}{30} = \frac{16}{30} + \frac{44}{30} = \frac{16 + 44}{30} = \frac{60}{30} = 2

✅الإجابة النموذجية:

بما أن $A = 2$ و $2 \in \mathbb{N}$ ، فإن $A$ عدد طبيعي.

4. حل المعادلة: $\frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{25x}$

باستخدام الجداء التصالبي (الجداء المتصالب):

x \times 25x = \sqrt{2} \times 8\sqrt{2}

25x^2 = 8 \times (\sqrt{2})^2

25x^2 = 8 \times 2

25x^2 = 16

x^2 = \frac{16}{25}

بما أن $\frac{16}{25} > 0$ ، فإن للمعادلة حَلَّيْنِ متعاكسَيْن هما:

x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}

✅الإجابة النموذجية:

حلول المعادلة هي: $x = \frac{4}{5}$ و $x = -\frac{4}{5}$ .

📌

التمرين الثاني

العبارات المعطاة:

A = \sqrt{125} - 4\sqrt{80} + 2\sqrt{245}

B = (2\sqrt{3} - 5) \times (\sqrt{3} + 2)

C = \frac{2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

1. كتابة $A$ على الشكل $a\sqrt{b}$ (حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان و $b$ أصغر ما يمكن)

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى حاصل ضرب عددين أحدهما مربع تام:

\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}

\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \implies 4\sqrt{80} = 4 \times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}

\sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = 7\sqrt{5} \implies 2\sqrt{245} = 2 \times 7\sqrt{5} = 14\sqrt{5}

نعوض في العبارة $A$ :

A = 5\sqrt{5} - 16\sqrt{5} + 14\sqrt{5} = (5 - 16 + 14)\sqrt{5} = 3\sqrt{5}

✅الإجابة النموذجية:

A = 3\sqrt{5}

2. نشر وتبسيط العبارة $B$

B = (2\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} + 2)

B = 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \times 2 - 5 \times \sqrt{3} - 5 \times 2

B = 2(3) + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - 10

B = 6 - \sqrt{3} - 10 = (6 - 10) - \sqrt{3} = -4 - \sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

B = -4 - \sqrt{3}

3. جعل مقام النسبة $C$ عدداً ناطقاً

بضرب بسط ومقام النسبة $C$ في $\sqrt{2}$ :

C = \frac{(2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}\sqrt{2} - 3(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2\sqrt{10} - 3(2)}{2} = \frac{2\sqrt{10} - 6}{2}

بقسمة البسط والمقام على 2:

C = \sqrt{10} - 3

✅الإجابة النموذجية:

C = \sqrt{10} - 3

4. إعطاء القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ بالنقصان للعدد $Z = A + B + C$

نعوض قيم $A$ و $B$ و $C$ :

Z = (3\sqrt{5}) + (-4 - \sqrt{3}) + (\sqrt{10} - 3)

Z = 3\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{10} - 7

باستخدام الحاسبة للقيم التقريبية:

3\sqrt{5} \approx 6.70820

\sqrt{3} \approx 1.73205

\sqrt{10} \approx 3.16227

Z \approx 6.70820 - 1.73205 + 3.16227 - 7 = 1.13842

💡إضاءة وتنبيه:

القيمة المقربة إلى

10^{-2}

بالنقصان تعني أخذ رقمين بعد الفاصلة مع إهمال باقي الأرقام دون زيادة.

✅الإجابة النموذجية:

القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ بالنقصان للعدد $Z$ هي:

Z \approx 1.13

📌

التمرين الثالث

المعطيات:

$(EF) // (BA)$ ، $OF = 16\text{ cm}$ ، $OE = 12\text{ cm}$ ، $BO = 24\text{ cm}$ ، $BD = 10\text{ cm}$ ، $BC = 8\text{ cm}$ ، $AB = 30\text{ cm}$ .

1. حساب الطولين $EF$ و $OA$

بما أن المستقيمين $(EF)$ و $(AB)$ متوازيان، والخطين المقاطعين $(EA)$ و $(FB)$ يتقاطعان في النقطة $O$ ، فحسب خاصية طاليس:

\frac{OE}{OB} = \frac{OF}{OA} = \frac{EF}{AB}

نعوض بالقيم المعلومة:

\frac{12}{24} = \frac{16}{OA} = \frac{EF}{30}

حساب $OA$ :

OA = \frac{16 \times 24}{12} = 32\text{ cm}

حساب $EF$ :

EF = \frac{12 \times 30}{24} = 15\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

OA = 32\text{ cm} \quad \text{و} \quad EF = 15\text{ cm}

2. إثبات أن المستقيمين $(DC)$ و $(AO)$ متوازيان واستنتاج الطول $DC$

إثبات التوازي:

النُّقط $B, D, A$ في استقامية وبنفس الترتيب مع النُّقط $B, C, O$ .

نحسب النسبتين $\frac{BD}{BA}$ و $\frac{BC}{BO}$ :

\frac{BD}{BA} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}

\frac{BC}{BO} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}

بما أن $\frac{BD}{BA} = \frac{BC}{BO}$ والنقاط مرتبة بنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن:

(DC) // (AO)

استنتاج الطول $DC$ :

بما أن $(DC) // (AO)$ ، نطبق خاصية طاليس على المثلث $BAO$ :

\frac{BD}{BA} = \frac{DC}{AO} \implies \frac{1}{3} = \frac{DC}{32}

DC = \frac{32}{3} \approx 10.67\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان $(DC)$ و $(AO)$ متوازيان، وطول القطعة $DC = \frac{32}{3}\text{ cm} \approx 10.67\text{ cm}$ .

3. نوع المثلث $BDC$ مع التعليل

أطوال أضلاع المثلث $BDC$ هي: $BC = 8\text{ cm}$ ، $BD = 10\text{ cm}$ ، $DC = \frac{32}{3}\text{ cm} \approx 10.67\text{ cm}$ .

نختبر إن كان قائمًا باستخدام الخاصية العكسية لفيثاغورس:

أطول ضلع هو $DC$ :

DC^2 = \left(\frac{32}{3}\right)^2 = \frac{1024}{9} \approx 113.78

BC^2 + BD^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164

بما أن $DC^2 \neq BC^2 + BD^2$ وأطوال أضلاعه مختلفة وغير متساوية، فإن المثلث ليس قائماً وليس متساوي الساقين.

✅الإجابة النموذجية:

المثلث $BDC$ هو مثلث كيفي؛ لأن أطوال أضلاعه لا تحقق العِلاقة العكسية لفيثاغورس، وغير متساوية.

📌

التمرين الرابع

في الشكل المقابل: المثلث $ABH$ قائم في $H$ ، حيث $AB = 9\text{ cm}$ و $\widehat{ABH} = 60^\circ$ .

1. حساب $HA$ و $HB$

في المثلث القائم $ABH$ :

حساب $HA$ :

\sin(\widehat{ABH}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{HA}{AB}

\sin(60^\circ) = \frac{HA}{9} \implies HA = 9 \times \sin(60^\circ) = 9 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 7.79\text{ cm}

حساب $HB$ :

\cos(\widehat{ABH}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{HB}{AB}

\cos(60^\circ) = \frac{HB}{9} \implies HB = 9 \times 0.5 = 4.5\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

HA = \frac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7.79\text{ cm} \quad \text{و} \quad HB = 4.5\text{ cm}

2. حساب $\sin(\widehat{ACB})$ واستنتاج قيس الزاويه $\widehat{ACB}$ بالتدوير إلى الدرجة

في المثلث $ACH$ القائم في $H$ ، لدينا $HC = 10.6\text{ cm}$ و $HA = 7.794\text{ cm}$ :

حساب $AC$ بتطبيق خاصية فيثاغورس:

AC^2 = HA^2 + HC^2 = (7.794)^2 + (10.6)^2 = 60.75 + 112.36 = 173.11

AC = \sqrt{173.11} \approx 13.157\text{ cm}

حساب $\sin(\widehat{ACB})$ :

\sin(\widehat{ACB}) = \frac{HA}{AC} = \frac{7.794}{13.157} \approx 0.59

استنتاج قيس الزاويه $\widehat{ACB}$ :

\tan(\widehat{ACB}) = \frac{HA}{HC} = \frac{7.794}{10.6} \approx 0.7353

\widehat{ACB} = \arctan(0.7353) \approx 36.33^\circ

✅الإجابة النموذجية:

\sin(\widehat{ACB}) \approx 0.59 \quad \text{وقيس الزاوية} \quad \widehat{ACB} \approx 36^\circ \quad \text{(بالتدوير إلى الدرجة)}

3. حساب الطول $HN$

المستقيم $(HN)$ يعامد $(AC)$ في النقطة $N$ .

من مساحة المثلث القائم $ACH$ :

\text{المساحة} = \frac{HC \times HA}{2} = \frac{AC \times HN}{2}

HC \times HA = AC \times HN \implies HN = \frac{HC \times HA}{AC}

HN = \frac{10.6 \times 7.794}{13.157} \approx 6.28\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

HN \approx 6.28\text{ cm}

4. حساب $\cos x$ و $\tan x$ دون حساب قيس الزاوية $x$ (علمًا أن $\sin x = 0.5$ )

حساب $\cos x$ :

نعلم أن العلاقة المثلثية الشهيرة هي: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

\cos^2 x + (0.5)^2 = 1 \implies \cos^2 x + 0.25 = 1

\cos^2 x = 1 - 0.25 = 0.75

بما أن $x$ قيس زاوية حادة فإن $\cos x > 0$ :

\cos x = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866

حساب $\tan x$ :

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577

✅الإجابة النموذجية:

\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \quad \text{و} \quad \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577

📌

الوضعية الإدماجية

الجزء الأول: مساعدة العم خالد في حساب عدد الأعمدة

أرضية المسجد مستطيلة الشكل $ABCD$ حيث الأبعاد: الطول $L = 80\text{ m}$ والعرض $W = 45\text{ m}$ .

1. حساب المسافة المتساوية والأكبر ما يمكن بين كل عمودين متتاليين ( $d$ ):

المسافة $d$ تمثل القاسم المشترك الأكبر للبعدين $80$ و $45$ :

$d = \text{PGCD}(80, 45)$

باستخدام خوارزمية إقليدس:

$80 = 45 \times 1 + 35$

$45 = 35 \times 1 + 10$

$35 = 10 \times 3 + 5$

$10 = 5 \times 2 + 0$

إذن: $\text{PGCD}(80, 45) = 5\text{ m}$ .

المسافة بين كل عمودين هي $5\text{ m}$ .

2. حساب محيط القطعة المستطيلة ( $P$ ):

$P = 2 \times (80 + 45) = 2 \times 125 = 250\text{ m}$

3. حساب عدد الأعمدة الكلي:

بما أن السياج يحيط بكامل الأرضية وتوجد أعمدة في الأركان الأربعة مع ترك مدخل في المسافة بين عمودين:

$\text{عدد الأعمدة} = \frac{\text{المحيط}}{\text{المسافة بين عمودين}} = \frac{250}{5} = 50 \text{ عموداً}$

✅الإجابة النموذجية:

عدد الأعمدة اللازمة لتسييج أرضية المسجد هو 50 عموداً.

الجزء الثاني: حساب طول الأنبوب والتكلفة الإجمالية للمشروع

1. حساب طول الأنبوب ( $E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow B$ )

من الشكل الهندسي للسند:

المثلث $EAB$ قائم في $A$ ببعدين: $EA = 60\text{ m}$ و $AB = 80\text{ m}$ .

حساب الوتر $EB$ بتطبيق خاصية فيثاغورس:

$EB^2 = EA^2 + AB^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$

$EB = \sqrt{10000} = 100\text{ m}$

النقطة $F$ تنتمي إلى الوتر $[EB]$ مع المعطى $EF = 85\text{ m}$ :

$FB = EB - EF = 100 - 85 = 15\text{ m}$

المستقيم $(FG)$ يعامد $(AB)$ و $(EA)$ يعامد $(AB)$ ، إذن $(FG) // (EA)$ .

نطبق خاصية طاليس على المثلث $EAB$ بحسب التوازي $(FG) // (EA)$ :

$\frac{BF}{BE} = \frac{FG}{EA} = \frac{BG}{BA} \implies \frac{15}{100} = \frac{FG}{60} = \frac{BG}{80}$

حساب $FG$ :

$FG = \frac{15 \times 60}{100} = 9\text{ m}$

حساب $BG$ :

$BG = \frac{15 \times 80}{100} = 12\text{ m}$

طول الأنبوب الإجمالي ( $L_{\text{pipe}}$ ):

$L_{\text{pipe}} = EF + FG + GB = 85 + 9 + 12 = 106\text{ m}$

✅الإجابة النموذجية:

طول أنبوب الماء الإجمالي هو 106 أمتار.

2. حساب تكلفة المشروع الإجمالية وكتابتها كتابة علمية

تكلفة الأعمدة:

$50 \times 750 = 37500 \text{ DA}$

تكلفة السياج (طول السياج يساوي المحيط $250\text{ m}$ ):

$250 \times 500 = 125000 \text{ DA}$

تكلفة الأنبوب:

$106 \times 250 = 26500 \text{ DA}$

مصاريف النقل:

$2000 \text{ DA}$

التكلفة الإجمالية للمشروع ( $C_{\text{total}}$ ):

$C_{\text{total}} = 37500 + 125000 + 26500 + 2000 = 191000 \text{ DA}$

الكتابة العلمية للتكلفة الإجمالية:

$191000 = 1.91 \times 10^5 \text{ DA}$

✅الإجابة النموذجية:

التكلفة الإجمالية للمشروع هي $191000 \text{ DA}$ ، وكتابتها العلمية هي $1.91 \times 10^5 \text{ DA}$ .

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets Examens du 1ᵉʳ trimestre Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

About this file

Paper #136 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Verified by Teachers

Middle education-4th Year Of Middle School-Mathematics

Paper #136 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Google Preferred SourcesNew Feature

Add « DzMadrassa » as your Preferred Source on Google

With 1 click, get DzMadrassa's verified exams, solutions, and quizzes prioritized in your Google Search and AI Overviews.

⭐ Add as Preferred Source

Paper #136 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 136 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 9100 و 5824: PGCD(9100,5824)\text{PGCD}(9100, 5824)PGCD(9100,5824)

2. كتابة الكسر 58249100\frac{5824}{9100}91005824​ على شكل غير قابل للاختزال

3. تبيان أن AAA عدد طبيعي

4. حل المعادلة: x2=8225x\frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{25x}2​x​=25x82​​

التمرين الثاني

1. كتابة AAA على الشكل aba\sqrt{b}ab​ (حيث aaa و bbb عددان صحيحان و bbb أصغر ما يمكن)

2. نشر وتبسيط العبارة BBB

3. جعل مقام النسبة CCC عدداً ناطقاً

4. إعطاء القيمة المقربة إلى 1100\frac{1}{100}1001​ بالنقصان للعدد Z=A+B+CZ = A + B + CZ=A+B+C

التمرين الثالث

1. حساب الطولين EFEFEF و OAOAOA

2. إثبات أن المستقيمين (DC)(DC)(DC) و (AO)(AO)(AO) متوازيان واستنتاج الطول DCDCDC

3. نوع المثلث BDCBDCBDC مع التعليل

التمرين الرابع

1. حساب HAHAHA و HBHBHB

2. حساب sin⁡(ACB^)\sin(\widehat{ACB})sin(ACB) واستنتاج قيس الزاويه ACB^\widehat{ACB}ACB بالتدوير إلى الدرجة

3. حساب الطول HNHNHN

4. حساب cos⁡x\cos xcosx و tan⁡x\tan xtanx دون حساب قيس الزاوية xxx (علمًا أن sin⁡x=0.5\sin x = 0.5sinx=0.5)

الوضعية الإدماجية

الجزء الأول: مساعدة العم خالد في حساب عدد الأعمدة

الجزء الثاني: حساب طول الأنبوب والتكلفة الإجمالية للمشروع

1. حساب طول الأنبوب (E→F→G→BE \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow BE→F→G→B)

2. حساب تكلفة المشروع الإجمالية وكتابتها كتابة علمية

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

About this file

Paper #136 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Add « DzMadrassa » as your Preferred Source on Google

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 9100 و 5824: $\text{PGCD}(9100, 5824)$

2. كتابة الكسر $\frac{5824}{9100}$ على شكل غير قابل للاختزال

3. تبيان أن $A$ عدد طبيعي

4. حل المعادلة: $\frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{25x}$

1. كتابة $A$ على الشكل $a\sqrt{b}$ (حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان و $b$ أصغر ما يمكن)

2. نشر وتبسيط العبارة $B$

3. جعل مقام النسبة $C$ عدداً ناطقاً

4. إعطاء القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ بالنقصان للعدد $Z = A + B + C$

1. حساب الطولين $EF$ و $OA$

2. إثبات أن المستقيمين $(DC)$ و $(AO)$ متوازيان واستنتاج الطول $DC$

3. نوع المثلث $BDC$ مع التعليل

1. حساب $HA$ و $HB$

2. حساب $\sin(\widehat{ACB})$ واستنتاج قيس الزاويه $\widehat{ACB}$ بالتدوير إلى الدرجة

3. حساب الطول $HN$

4. حساب $\cos x$ و $\tan x$ دون حساب قيس الزاوية $x$ (علمًا أن $\sin x = 0.5$ )

1. حساب طول الأنبوب ( $E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow B$ )