باستخدام خوارزمية القسمات المتتابعة (خوارزمية إقليدس):

بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $364364$:

نعلم أن:

نعوض الكسر $\frac{5824}{9100}\backslash frac\{5824\}\{9100\}$ بالشكل غير القابل للاختزال $\frac{16}{25}\backslash frac\{16\}\{25\}$:

نعوض هذه النتيجة في العبارة $AA$:

نعلم أن القسمة هي الضرب في المقلوب:

نوحد المقامات للكسرين (بضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2):

بما أن $A=2A\; =\; 2$ و $2\in \mathbb{N}2\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$، فإن $AA$ عدد طبيعي.

باستخدام الجداء التصالبي (الجداء المتصالب):

بما أن $\frac{16}{25}>0\backslash frac\{16\}\{25\}\; >\; 0$، فإن للمعادلة حَلَّيْنِ متعاكسَيْن هما:

حلول المعادلة هي: $x=\frac{4}{5}x\; =\; \backslash frac\{4\}\{5\}$ و $x=-\frac{4}{5}x\; =\; -\backslash frac\{4\}\{5\}$.

العبارات المعطاة:

نحلل الأعداد تحت الجذور إلى حاصل ضرب عددين أحدهما مربع تام:

نعوض في العبارة $AA$:

بضرب بسط ومقام النسبة $CC$ في $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$:

بقسمة البسط والمقام على 2:

نعوض قيم $AA$ و $BB$ و $CC$:

باستخدام الحاسبة للقيم التقريبية:

القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}\backslash frac\{1\}\{100\}$ بالنقصان للعدد $ZZ$ هي:

المعطيات:

$(EF)\mathrm{/}\mathrm{/}(BA)(EF)\; //\; (BA)$، $OF=16\text{ cm}OF\; =\; 16\backslash text\{\; cm\}$، $OE=12\text{ cm}OE\; =\; 12\backslash text\{\; cm\}$، $BO=24\text{ cm}BO\; =\; 24\backslash text\{\; cm\}$، $BD=10\text{ cm}BD\; =\; 10\backslash text\{\; cm\}$، $BC=8\text{ cm}BC\; =\; 8\backslash text\{\; cm\}$، $AB=30\text{ cm}AB\; =\; 30\backslash text\{\; cm\}$.

بما أن المستقيمين $(EF)(EF)$ و $(AB)(AB)$ متوازيان، والخطين المقاطعين $(EA)(EA)$ و $(FB)(FB)$ يتقاطعان في النقطة $OO$، فحسب خاصية طاليس:

نعوض بالقيم المعلومة:

النُّقط $B,D,AB,\; D,\; A$ في استقامية وبنفس الترتيب مع النُّقط $B,C,OB,\; C,\; O$.

نحسب النسبتين $\frac{BD}{BA}\backslash frac\{BD\}\{BA\}$ و $\frac{BC}{BO}\backslash frac\{BC\}\{BO\}$:

بما أن $\frac{BD}{BA}=\frac{BC}{BO}\backslash frac\{BD\}\{BA\}\; =\; \backslash frac\{BC\}\{BO\}$ والنقاط مرتبة بنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن:

بما أن $(DC)\mathrm{/}\mathrm{/}(AO)(DC)\; //\; (AO)$، نطبق خاصية طاليس على المثلث $BAOBAO$:

المستقيمان $(DC)(DC)$ و $(AO)(AO)$ متوازيان، وطول القطعة $DC=\frac{32}{3}\text{ cm}\approx 10.67\text{ cm}DC\; =\; \backslash frac\{32\}\{3\}\backslash text\{\; cm\}\; \backslash approx\; 10.67\backslash text\{\; cm\}$.

أطوال أضلاع المثلث $BDCBDC$ هي: $BC=8\text{ cm}BC\; =\; 8\backslash text\{\; cm\}$، $BD=10\text{ cm}BD\; =\; 10\backslash text\{\; cm\}$، $DC=\frac{32}{3}\text{ cm}\approx 10.67\text{ cm}DC\; =\; \backslash frac\{32\}\{3\}\backslash text\{\; cm\}\; \backslash approx\; 10.67\backslash text\{\; cm\}$.

نختبر إن كان قائمًا باستخدام الخاصية العكسية لفيثاغورس:

أطول ضلع هو $DCDC$:

بما أن $D{C}^2\mathrm{\ne }B{C}^2+B{D}^{2}DC^2\; \backslash neq\; BC^2\; +\; BD^2$ وأطوال أضلاعه مختلفة وغير متساوية، فإن المثلث ليس قائماً وليس متساوي الساقين.

المثلث $BDCBDC$ هو مثلث كيفي؛ لأن أطوال أضلاعه لا تحقق العِلاقة العكسية لفيثاغورس، وغير متساوية.

في الشكل المقابل: المثلث $ABHABH$ قائم في $HH$، حيث $AB=9\text{ cm}AB\; =\; 9\backslash text\{\; cm\}$ و $\widehat{ABH}={60}^{\circ }\backslash widehat\{ABH\}\; =\; 60^\backslash circ$.

في المثلث القائم $ABHABH$:

في المثلث $ACHACH$ القائم في $HH$، لدينا $HC=10.6\text{ cm}HC\; =\; 10.6\backslash text\{\; cm\}$ و $HA=7.794\text{ cm}HA\; =\; 7.794\backslash text\{\; cm\}$:

المستقيم $(HN)(HN)$ يعامد $(AC)(AC)$ في النقطة $NN$.

من مساحة المثلث القائم $ACHACH$:

نعلم أن العلاقة المثلثية الشهيرة هي: ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1\backslash cos^2\; x\; +\; \backslash sin^2\; x\; =\; 1$

بما أن $xx$ قيس زاوية حادة فإن $\cos x>0\backslash cos\; x\; >\; 0$:

أرضية المسجد مستطيلة الشكل $ABCDABCD$ حيث الأبعاد: الطول $L=80\text{ m}L\; =\; 80\backslash text\{\; m\}$ والعرض $W=45\text{ m}W\; =\; 45\backslash text\{\; m\}$.

1. حساب المسافة المتساوية والأكبر ما يمكن بين كل عمودين متتاليين ($dd$):

المسافة $dd$ تمثل القاسم المشترك الأكبر للبعدين $8080$ و $4545$:

باستخدام خوارزمية إقليدس:

إذن: $\text{PGCD}(80,45)=5\text{ m}\backslash text\{PGCD\}(80,\; 45)\; =\; 5\backslash text\{\; m\}$.

المسافة بين كل عمودين هي $5\text{ m}5\backslash text\{\; m\}$.

2. حساب محيط القطعة المستطيلة ($PP$):

3. حساب عدد الأعمدة الكلي:

بما أن السياج يحيط بكامل الأرضية وتوجد أعمدة في الأركان الأربعة مع ترك مدخل في المسافة بين عمودين:

عدد الأعمدة اللازمة لتسييج أرضية المسجد هو 50 عموداً.

من الشكل الهندسي للسند:

طول أنبوب الماء الإجمالي هو 106 أمتار.

التكلفة الإجمالية للمشروع هي $191000\text{ DA}191000\; \backslash text\{\; DA\}$، وكتابتها العلمية هي $1.91\times {10}^5\text{ DA}1.91\; \backslash times\; 10^5\; \backslash text\{\; DA\}$.