لكي يكون عدد الغرف في كل طابق متساوياً وأكبراً ما يمكن في كلا الفندقين، يجب أن يكون هذا العدد هو القاسم المشترك الأكبر (\text{PGCD}) لعددي الغرف الإجماليين $420420$ و $360360$.

نحسب $\text{PGCD}(420,360)\backslash text\{PGCD\}(420,\; 360)$ باستخدام خوارزمية أقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقي غير معدوم هو $6060$.

العدد الأقصى من الغرف التي يمكن أن يحتوي عليها كل طابق هو $6060$ غرفة.

نقسم كلا من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $6060$:

نعوض الكسر الاختزالي $\frac{420}{360}\backslash frac\{420\}\{360\}$ بـ $\frac{7}{6}\backslash frac\{7\}\{6\}$:

الكسر المختزل هو $\frac{7}{6}\backslash frac\{7\}\{6\}$، وقيمة العبارة $LL$ هي $77$.

لدينا العبارة:

نكتب الأعداد تحت الجذور على شكل جذاء عددين أحدهما $22$:

بالتعويض في العبارة $EE$:

كتابة $EE$ على الشكل $a\sqrt{2}a\backslash sqrt\{2\}$ هي $E=6\sqrt{2}E\; =\; 6\backslash sqrt\{2\}$.

لدينا:

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$:

النسبة بعد جعل مقامها عدداً ناطقاً هي $F=\frac{5\sqrt{2}}{2}F\; =\; \backslash frac\{5\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$.

نعوض قيمتي $EE$ و $FF$ المحسوبتين:

بما أن $\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2\backslash sqrt\{2\}\; \backslash times\; \backslash sqrt\{2\}\; =\; 2$:

تم التبيان بنجاح أن $E\times F=30E\; \backslash times\; F\; =\; 30$.

للتمكن من تطبيق خاصية طاليس المباشرة، نتحقق من التوازي واستقامة النقاط بنفس الترتيب.

في الشكل المرفق:

أولاً، نحسب الطول الإجمالي $ABAB$:

تطبيق خاصية طاليس:

بالتعويض بالقيم المعلومة:

بما أن $FF$ نقطة من قطعة المستقيم $[AC][AC]$، فإن:

نستخدم العلاقة الأساسية بين الجيب وجيب التمام لأي زاوية حادة: ${\cos }^2\widehat{A}+{\sin }^2\widehat{A}=1\backslash cos^2\; \backslash hat\{A\}\; +\; \backslash sin^2\; \backslash hat\{A\}\; =\; 1$.

لدينا $\cos \widehat{A}=0.8\backslash cos\; \backslash hat\{A\}\; =\; 0.8$:

بما أن الجيب قيمة موجبة:

قيمة $\sin \widehat{A}=0.6\backslash sin\; \backslash hat\{A\}\; =\; 0.6$.

نستخدم قانون ظل الزاوية الحادة:

بالتعويض:

قيمة $\tan \widehat{A}=0.75\backslash tan\; \backslash hat\{A\}\; =\; 0.75$.

المثلث $ABCABC$ قائم في $BB$ لأن القائم $[BC][BC]$ عمودي على سطح الأرض $(AB)(AB)$.

معطيات الجزء الأول:

في المثلث القائم $ABCABC$ في $BB$:

باستعمال الحاسبة: $\tan ({15}^{\circ })\approx 0.267949\backslash tan(15^\backslash circ)\; \backslash approx\; 0.267949$

بالتقريب إلى $0.010.01$ بالنقصان:

بعد اللاعب محرز عن المرمى هو $AB\approx 8.95\text{ m}AB\; \backslash approx\; 8.95\; \backslash text\{\; m\}$.

في المثلث القائم $ABCABC$ في $BB$:

باستعمال الحاسبة: $\sin ({15}^{\circ })\approx 0.258819\backslash sin(15^\backslash circ)\; \backslash approx\; 0.258819$

بالتقريب إلى $0.010.01$ بالنقصان:

المسافة التي قطعتها الكرة هي $AC\approx 9.27\text{ m}AC\; \backslash approx\; 9.27\; \backslash text\{\; m\}$.

المثلث $EBDEBD$ قائم في $BB$.

معطيات الجزء الثاني:

في المثلث القائم $EBDEBD$ في $BB$:

باستخدام اللمسة $2^{\text{nd}}F+\tan 2^\{\backslash text\{nd\}\}F\; +\; \backslash tan$ أو ${\tan }^{-1}\backslash tan^\{-1\}$ في الحاسبة:

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة:

قيس الزاوية $\widehat{EDB}\backslash widehat\{EDB\}$ بالتدوير إلى الوحدة هو ${15}^{\circ }15^\backslash circ$.

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $EBDEBD$ في $BB$:

بالتقريب إلى $0.010.01$ بالنقصان:

المسافة $DEDE$ التي قطعتها الكرة هي $DE\approx 6.35\text{ m}DE\; \backslash approx\; 6.35\; \backslash text\{\; m\}$.

يمكن إثبات التوازي باستعمال خاصية الزوايا المتماثلة المتساوية.

1. الزاوية $\widehat{BAC}\backslash widehat\{BAC\}$ التي يشكلها مسار كرة محرز مع الأرض تساوي ${15}^{\circ }15^\backslash circ$.

2. الزاوية $\widehat{EDB}\backslash widehat\{EDB\}$ التي يشكلها مسار كرة بلايلي مع الأرض تساوي ${15}^{\circ }15^\backslash circ$ (بعد التدوير إلى الوحدة).

3. الزاويتان $\widehat{BAC}\backslash widehat\{BAC\}$ و $\widehat{EDB}\backslash widehat\{EDB\}$ تقعان في نفس الجهة بالنسبة للقاطع $(AB)(AB)$ وفي نفس الوضعية بالنسبة للمستقيمين $(AC)(AC)$ و $(DE)(DE)$، فهما زاويتان متماثلتان.

بما أن الزاويتين المتماثلتين متساويتان ($\widehat{BAC}=\widehat{EDB}={15}^{\circ }\backslash widehat\{BAC\}\; =\; \backslash widehat\{EDB\}\; =\; 15^\backslash circ$)، فإن المستقيمين $(AC)(AC)$ و $(DE)(DE)$ متوازيان.

بما أن الزاويتين المتماثلتين $\widehat{BAC}\backslash widehat\{BAC\}$ و $\widehat{EDB}\backslash widehat\{EDB\}$ متساويتان وقيس كل منهما ${15}^{\circ }15^\backslash circ$، فإن مسار كرة محرز $(AC)(AC)$ يوازي مسار كرة بلايلي $(DE)(DE)$.