باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقي غير معدوم هو $1313$.

نقسم الكلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر $1313$:

نعلم أن القسمة على كسر هي ضرب في قلوبه، ونستعين بالكسر المختزل السابق لحساب الجذر التربيعي بسهولة.

العبارة المعطاة:

نقوم بتبسيط ما تحت الجذور بالقسمة على $1313$:

بالتعويض في العبارة $KK$:

لدينا العددين: $P=2\sqrt{5}P\; =\; 2\backslash sqrt\{5\}$ و $V=4-3\sqrt{5}V\; =\; 4\; -\; 3\backslash sqrt\{5\}$.

باستخدام خاصية التوزيع:

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}$:

المعطيات:

$AB=9\text{ cm}AB\; =\; 9\backslash text\{\; cm\}$، $AC=7.5\text{ cm}AC\; =\; 7.5\backslash text\{\; cm\}$، $BC=6\text{ cm}BC\; =\; 6\backslash text\{\; cm\}$.

$E\in [AB]E\; \backslash in\; [AB]$ حيث $AE=3\text{ cm}AE\; =\; 3\backslash text\{\; cm\}$.

$F\in [BC]F\; \backslash in\; [BC]$ حيث $BF=4\text{ cm}BF\; =\; 4\backslash text\{\; cm\}$.

لإثبات التوازي نطبق العكسية لنظرية طاليس على المثلث $ABCABC$.

أولاً، نحسب طول القطعة $[BE][BE]$:

ثانياً، نحسب النسبتين المقارنتين:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $B,E,AB,\; E,\; A$ والنقط $B,F,CB,\; F,\; C$ تقع على استقامة واحدة وبنفس الترتيب:

حسب العكسية لنظرية طاليس، فإن المستقيَمين متوازيان:

بما أن $(EF)\mathrm{/}\mathrm{/}(AC)(EF)\; //\; (AC)$، فحسب خاصية طاليس:

بالتعويض بالقيم المعلومة:

المعطيات:

$LM=4.8\text{ cm}LM\; =\; 4.8\backslash text\{\; cm\}$، $LN=1.4\text{ cm}LN\; =\; 1.4\backslash text\{\; cm\}$، $MN=5\text{ cm}MN\; =\; 5\backslash text\{\; cm\}$.

لإثبات أن المثلث قائم عندما تعطينا المعطيات أطوال الأضلاع الثلاثة، نستخدم النظرية العكسية لفيثاغورس.

نلاحظ أن:

حسب العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $LMNLMN$ قائم في $LL$.

في المثلث القائم $LMNLMN$ في $LL$:

بالتعويض عدديًا:

المعطيات: $R\in [LM]R\; \backslash in\; [LM]$ حيث $MR=2.5\text{ cm}MR\; =\; 2.5\backslash text\{\; cm\}$، و$SS$ المسقط العمودي للنقطة $RR$ على $(MN)(MN)$.

بما أن $SS$ هو المسقط العمودي لـ $RR$ على $(MN)(MN)$، فإن المثلث $RSMRSM$ قائم في $SS$.

الزاوية $\widehat{RMS}\backslash widehat\{RMS\}$ هي نفسها الزاوية $\widehat{LMN}\backslash widehat\{LMN\}$.

في المثلث القائم $RSMRSM$ في $SS$:

وبما أن $\sin (\widehat{RMS})=\sin (\widehat{LMN})=0.28\backslash sin(\backslash widehat\{RMS\})\; =\; \backslash sin(\backslash widehat\{LMN\})\; =\; 0.28$:

الهدف: تحديد المسلك الأقصر لإيهاب للوصول من المنزل ($AA$) إلى المتوسطة ($CC$) من بين الخيارين المتاحين ومساعدته على معرفة كيف يتوصل إلى ذلك.

وبما أن $AB=BCAB\; =\; BC$:

إذن: $AB\approx 98.99\text{ m}AB\; \backslash approx\; 98.99\backslash text\{\; m\}$ و $BC\approx 98.99\text{ m}BC\; \backslash approx\; 98.99\backslash text\{\; m\}$.

1. حساب الطول $ADAD$:

2. حساب الطول $DCDC$:

(ملاحظة: يمكن أيضاً حساب $DCDC$ باستخدام خاصية فيثاغورس: $DC=\sqrt{{140}^2-{70}^2}=\sqrt{14700}\approx 121.24\text{ m}DC\; =\; \backslash sqrt\{140^2\; -\; 70^2\}\; =\; \backslash sqrt\{14700\}\; \backslash approx\; 121.24\backslash text\{\; m\}$)

بما أن:

المسلك الأقصر لإيهاب للوصول إلى المتوسطة هو المسلك المرور بالمدرسة الابتدائية (المسار $A\to D\to CA\; \backslash rightarrow\; D\; \backslash rightarrow\; C$) بمسافة إجمالية قدرها $191.24\text{ m}191.24\backslash text\{\; m\}$ تقريبًا.