نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتابعة) لحساب $\text{PGCD}(5096,936)\backslash text\{PGCD\}(5096,\; 936)$:

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $104104$، فإن:

بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $104104$:

نصلح المعادلة على الشكل $x^2=bx^2\; =\; b$:

وباختزال الكسر نجد:

بما أن $\frac{9}{49}>0\backslash frac\{9\}\{49\}\; >\; 0$، فإن للمعادلة حلين هما:

أو

حلول المعادلة هي: $x_1=\frac{3}{7}x\_1\; =\; \backslash frac\{3\}\{7\}$ و $x_2=-\frac{3}{7}x\_2\; =\; -\backslash frac\{3\}\{7\}$.

لدينا:

نكتب الأعداد تحت الجذر على الشكل $a^2\times 5a^2\; \backslash times\; 5$:

بالتعويض في العبارة $AA$:

تم التحقق بنجاح أن $A=\sqrt{5}A\; =\; \backslash sqrt\{5\}$.

لدينا:

نضرب كل من البسط والمقام في $\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}$:

أولاً: تبسيط العبارة $A+5BA\; +\; 5B$:

نختزل العدد $55$ في البسط والمقام:

ثانياً: الحساب العددي:

نعلم أن $\sqrt{5}\approx \mathrm{2.236067...}\backslash sqrt\{5\}\; \backslash approx\; 2.236067...$

القيمة المقربة بالنقصان إلى ${10}^{-2}10^\{-2\}$ (رقمان بعد الفاصلة) للعدد $A+5BA\; +\; 5B$ هي: $9.479.47$.

تكون النقط $A,O,CA,\; O,\; C$ في استقامية والنقط $B,O,DB,\; O,\; D$ في استقامية وبنفس الترتيب.

حسب عكس خاصية طاليس، يتوازى المستقيمان $(AB)(AB)$ و $(CD)(CD)$ إذا تحقق الشرط:

بالتعويض بالأطوال المعطاة ($OA=4\text{ cm}OA\; =\; 4\backslash text\{\; cm\}$، $OB=3\text{ cm}OB\; =\; 3\backslash text\{\; cm\}$، $OC=6\text{ cm}OC\; =\; 6\backslash text\{\; cm\}$):

باستعمال حاصل الضرب المتصالب:

القيمة التي يأخذها الطول $ODOD$ ليكون $(AB)\parallel (CD)(AB)\; \backslash parallel\; (CD)$ هي $4.5\text{ cm}4.5\backslash text\{\; cm\}$.

المثلث $OABOAB$ قائم في $OO$ لأن المستقيمين $(AC)(AC)$ و $(BD)(BD)$ متعامدان في $OO$.

نطبق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $OABOAB$:

حساب المحيط $P_{1}P\_1$:

بما أن $(AB)\parallel (CD)(AB)\; \backslash parallel\; (CD)$، فإن المثلث $OCDOCD$ هو تكبير للمثلث $OABOAB$ بنسبة تكبير $kk$:

محيط المثلث المكبر $P_{2}P\_2$ يساوي محيط المثلث الأصلي $P_{1}P\_1$ مضروباً في نسبة التكبير $kk$:

بما أن المثلث $ABCABC$ متقايس الأضلاع، فإن جميع زواياه متقايسة وقياس كل منها يساوي ${60}^{\circ }60^\backslash circ$.

وبما أن النقطة $OO$ تنتمي إلى الضلع $[BC][BC]$، فإن الزاوية $\widehat{ABO}\backslash widehat\{ABO\}$ هي نفسها الزاوية $\widehat{ABC}\backslash widehat\{ABC\}$.

في المثلث المتقايس الأضلاع $ABCABC$، المتوسط المتعلق بالضلع $[BC][BC]$ هو أيضاً ارتفاع، وبالتالي فإن المثلث $AOBAOB$ قائم في $OO$.

بما أن $OO$ منتصف $[BC][BC]$، فإن:

بتطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $AOBAOB$:

القيمة المضبوطة للطول $AOAO$ هي $2\sqrt{3}\text{ cm}2\backslash sqrt\{3\}\backslash text\{\; cm\}$.

في المثلث القائم $AOBAOB$ بالنسبة للزاوية $\widehat{ABO}={60}^{\circ }\backslash widehat\{ABO\}\; =\; 60^\backslash circ$:

المثلث $ABCABC$ قائم في $BB$ أبعاده هي: $AB=90\text{ m}AB\; =\; 90\backslash text\{\; m\}$ و $BC=110\text{ m}BC\; =\; 110\backslash text\{\; m\}$.

نعلم أن $(MN)\perp (AB)(MN)\; \backslash perp\; (AB)$ و $(BC)\perp (AB)(BC)\; \backslash perp\; (AB)$، وبالتالي فإن المستقيمين $(MN)(MN)$ و $(BC)(BC)$ متوازيان: $(MN)\parallel (BC)(MN)\; \backslash parallel\; (BC)$.

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث $ABCABC$:

بما أن $AN=\frac{1}{3}ABAN\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; AB$، فإن $\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3}\backslash frac\{AN\}\{AB\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$، ومنه:

في المثلث $AMBAMB$، الضلع $[AB][AB]$ يعبر عن القاعدة والارتفاع المتعلق به هو $MNMN$:

مساحة القطعة $AMBAMB$ هي $1650{\text{ m}}^{2}1650\backslash text\{\; m\}^2$.

نلاحظ أن:

نعم، كان إبراهيم محقاً بهذا التعين لأن مساحة القطعة $BMCBMC$ ($3300{\text{ m}}^{2}3300\backslash text\{\; m\}^2$) تساوي تماماً ضعف مساحة القطعة $AMBAMB$ ($1650{\text{ m}}^{2}1650\backslash text\{\; m\}^2$).

تنتج القطعة 3 شجيرات تفاح في كل $2{\text{ m}}^{2}2\backslash text\{\; m\}^2$:

تنتج القطعة شجيرة برتقال واحدة في كل $1{\text{ m}}^{2}1\backslash text\{\; m\}^2$:

أكبر عدد ممكن من الصناديق يمثل القاسم المشترك الأكبر لعددي الشجيرات $\text{PGCD}(3300,2475)\backslash text\{PGCD\}(3300,\; 2475)$:

باستخدام خوارزمية إقليدس:

إذن:

أكبر عدد من الصناديق التي يمكن إعدادها هو $825825$ صندوقاً.

عدد الشجيرات التي وضعها إبراهيم في كل صندوق هو $77$ شجيرات (3 شجيرات تفاح و 4 شجيرات برتقال).