تطبيق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم، وهو $11$.

بالتعويض المباشر بقيمتي $MM$ و $NN$:

لاختزال الكسر $\frac{67}{169}\backslash frac\{67\}\{169\}$، نقسم الكلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما $\text{PGCD}(169;67)\backslash text\{PGCD\}(169;\; 67)$:

الكسر $\frac{67}{169}\backslash frac\{67\}\{169\}$ كسر غير قابل للاختزال لأن $\text{PGCD}(169;67)=1\backslash text\{PGCD\}(169;\; 67)\; =\; 1$.

العبارة المعطاة:

نعلم أن:

بالتعويض في العبارة $KK$:

الكسر المعطى:

أولاً: تبسيط البسط والمقام بجمع الحدود المتشابهة:

صبح الكسر:

ثانياً: لتنطيق المقام، نضرب الكلاً من البسط والمقام في مرافق المقام $(8+3\sqrt{6})(8\; +\; 3\backslash sqrt\{6\})$:

تطبيق المتطابقة الشهيرة الثالثة في المقام $(a-b)(a+b)=a^2-b^2(a-b)(a+b)\; =\; a^2\; -\; b^2$:

نشر البسط:

المعطيات:

في المثلث $ABCABC$ القائم في $BB$، نطبق نسبة جيب تمام الزاوية الحادة $\cos (\widehat{BCA})\backslash cos(\backslash widehat\{BCA\})$:

بالتعويض المباشر:

نعلم أن $\cos ({60}^{\circ })=0.5\backslash cos(60^\backslash circ)\; =\; 0.5$:

بما أن النسب المقترنة بالزاوية $\widehat{BCA}={60}^{\circ }\backslash widehat\{BCA\}\; =\; 60^\backslash circ$ تحقق العلاقة المثلثية للضلع المجاور $BC=7\text{ cm}BC\; =\; 7\backslash text\{\; cm\}$ والوتر $AC=14\text{ cm}AC\; =\; 14\backslash text\{\; cm\}$:

فإن إسقاط الراس $AA$ على الضلع $(BC)(BC)$ يشكل زاوية قائمة تماماً عند الراس $BB$.

المثلث $ABCABC$ قائم في $BB$ لأن النسبة المثلثية بين الضلع المجاور $BCBC$ والوتر $ACAC$ تحقق جيب تمام الزاوية ${60}^{\circ }60^\backslash circ$.

العبارة الجبرية المعطاة:

حذف الأقواس مع تغيير إشارات الحدود داخل القوس المسبوق بإشارة (-):

ترتيب وتبسيط الحدود المتشابهة:

نلاحظ وجود العامل المشترك $(8x-7)(8x\; -\; 7)$ في حدي العبارة:

باستخراج العامل المشترك $(8x-7)(8x\; -\; 7)$:

تبسيط ما داخل المعقوفتين:

يمكن أيضاً كتابتها باستخراج الإشارة السالبة:

بما أن $ABCDABCD$ مستطيل، فإن المثلث $ABCABC$ قائم في $BB$.

بالاعتماد على الزاوية $\widehat{ACB}={60}^{\circ }\backslash widehat\{ACB\}\; =\; 60^\backslash circ$ والضلع المجاور لها $BC=50\text{ m}BC\; =\; 50\; \backslash text\{\; m\}$:

بالتعويض:

بما أن:

فإن:

المستقيمان $(FE)(FE)$ و $(BC)(BC)$ متوازيان لأنهما عموديان على نفس المستقيم $(AB)(AB)$.

بما أن $(FE)\parallel (BC)(FE)\; \backslash parallel\; (BC)$ والنقاط $AA$, $FF$, $BB$ على استقامية والنقاط $AA$, $EE$, $CC$ على استقامية بهذا الترتيب، نطبق خاصية طالس في المثلث $ABCABC$:

نأخذ النسبتين المعلومتين لحساب $FEFE$:

بالتعويض بالقيم المعلومة ($AE=40\text{ m}AE\; =\; 40\; \backslash text\{\; m\}$، $AC=100\text{ m}AC\; =\; 100\; \backslash text\{\; m\}$، $BC=50\text{ m}BC\; =\; 50\; \backslash text\{\; m\}$):

استعمال الرابع المتناسب: