تطبيق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم، وهو $1$.

بالتعويض المباشر بقيمتي $M$ و $N$:

لاختزال الكسر $\frac{67}{169}$، نقسم الكلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما $\text{PGCD}(169; 67)$:

الكسر $\frac{67}{169}$ كسر غير قابل للاختزال لأن $\text{PGCD}(169; 67) = 1$.

العبارة المعطاة:

نعلم أن:

بالتعويض في العبارة $K$:

الكسر المعطى:

أولاً: تبسيط البسط والمقام بجمع الحدود المتشابهة:

صبح الكسر:

ثانياً: لتنطيق المقام، نضرب الكلاً من البسط والمقام في مرافق المقام $(8 + 3\sqrt{6})$:

تطبيق المتطابقة الشهيرة الثالثة في المقام $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

نشر البسط:

المعطيات:

في المثلث $ABC$ القائم في $B$، نطبق نسبة جيب تمام الزاوية الحادة $\cos(\widehat{BCA})$:

بالتعويض المباشر:

نعلم أن $\cos(60^\circ) = 0.5$:

بما أن النسب المقترنة بالزاوية $\widehat{BCA} = 60^\circ$ تحقق العلاقة المثلثية للضلع المجاور $BC = 7\text{ cm}$ والوتر $AC = 14\text{ cm}$:

فإن إسقاط الراس $A$ على الضلع $(BC)$ يشكل زاوية قائمة تماماً عند الراس $B$.

المثلث $ABC$ قائم في $B$ لأن النسبة المثلثية بين الضلع المجاور $BC$ والوتر $AC$ تحقق جيب تمام الزاوية $60^\circ$.

العبارة الجبرية المعطاة:

حذف الأقواس مع تغيير إشارات الحدود داخل القوس المسبوق بإشارة (-):

ترتيب وتبسيط الحدود المتشابهة:

نلاحظ وجود العامل المشترك $(8x - 7)$ في حدي العبارة:

باستخراج العامل المشترك $(8x - 7)$:

تبسيط ما داخل المعقوفتين:

يمكن أيضاً كتابتها باستخراج الإشارة السالبة:

بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن المثلث $ABC$ قائم في $B$.

بالاعتماد على الزاوية $\widehat{ACB} = 60^\circ$ والضلع المجاور لها $BC = 50 \text{ m}$:

بالتعويض:

بما أن:

فإن:

المستقيمان $(FE)$ و $(BC)$ متوازيان لأنهما عموديان على نفس المستقيم $(AB)$.

بما أن $(FE) \parallel (BC)$ والنقاط $A$, $F$, $B$ على استقامية والنقاط $A$, $E$, $C$ على استقامية بهذا الترتيب، نطبق خاصية طالس في المثلث $ABC$:

نأخذ النسبتين المعلومتين لحساب $FE$:

بالتعويض بالقيم المعلومة ($AE = 40 \text{ m}$، $AC = 100 \text{ m}$، $BC = 50 \text{ m}$):

استعمال الرابع المتناسب: