Paper #65 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

PDFAI solution2020Free download

Preview or download this Mathematics Term Exam as a PDF on DzMadrassa.

Sujet n° 65

Solution IA2020

Download

Preferred on Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 65 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: (03 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 6942 و 3432: $\text{PGCD}(6942; 3432)$

💡إضاءة وتنبيه:

لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين كبيرين، نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية)، ويكون

\text{PGCD}

هو آخر باقٍ غير معدوم.

✅الإجابة النموذجية:

بتطبيق خوارزمية إقليدس:

6942 = 3432 \times 2 + 78

3432 = 78 \times 44 + 0

بما أن الباقي الأخير غير المعدوم هو $78$ ، فإن:

\text{PGCD}(6942; 3432) = 78

2. كتابة الكسر $\frac{6942}{3432}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

✅الإجابة النموذجية:

نقسم كلا من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر $78$ :

\frac{6942}{3432} = \frac{6942 \div 78}{3432 \div 78} = \frac{89}{44}

إذن الكسر غير القابل للاختزال هو $\frac{89}{44}$ .

3. حساب العدد $M$ :

✅الإجابة النموذجية:

لدينا العبارة:

M = \frac{6942}{3432} - \frac{9}{11} \times \frac{5}{4}

نعوض الكسر $\frac{6942}{3432}$ بكسره المختزل $\frac{89}{44}$ :

M = \frac{89}{44} - \left( \frac{9 \times 5}{11 \times 4} \right)

M = \frac{89}{44} - \frac{45}{44}

M = \frac{89 - 45}{44}

M = \frac{44}{44} = 1

إذن: $M = 1$ .

📌

التمرين الثاني: (2.5 نقطة)

1. كتابة العدد $M$ على الشكل $a\sqrt{13}$ حيث $a$ عدد طبيعي:

💡إضاءة وتنبيه:

نكتب الأعداد تحت الجذر على شكل جذاء عددين أحدهما مربع تام والآخر هو

13

✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

M = \sqrt{832} + 2\sqrt{637} - 7\sqrt{117}

نحلل الأعداد تحت الجذور بالقسمة على $13$ :

832 = 64 \times 13 = 8^2 \times 13

637 = 49 \times 13 = 7^2 \times 13

117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13

نعوض في العبارة:

M = \sqrt{64 \times 13} + 2\sqrt{49 \times 13} - 7\sqrt{9 \times 13}

M = 8\sqrt{13} + 2 \times 7\sqrt{13} - 7 \times 3\sqrt{13}

M = 8\sqrt{13} + 14\sqrt{13} - 21\sqrt{13}

M = (8 + 14 - 21)\sqrt{13}

M = 1\sqrt{13} = \sqrt{13}

إذن: $M = \sqrt{13}$ (حيث $a = 1$ ).

2. جعل مقام النسبة $N$ عدداً ناطقاً:

✅الإجابة النموذجية:

لدينا:

N = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{\sqrt{7}}

نضرب كل من البسط والمقام في الجذر التربيعي $\sqrt{7}$ :

N = \frac{(4 - 2\sqrt{7}) \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}

N = \frac{4\sqrt{7} - 2(\sqrt{7})^2}{7}

N = \frac{4\sqrt{7} - 2 \times 7}{7}

N = \frac{4\sqrt{7} - 14}{7}

📌

التمرين الثالث: (04 نقاط)

لتكن العبارة: $M = (2x + 3)^2 - (x + 2)(2x + 3)$

1. تبيين أن: $M = 2x^2 + 5x + 3$

✅الإجابة النموذجية:

نعوم بنشر وتبسيط العبارة $M$ :

نشر المتطابقة الشهيرة الأولى:

(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9

نشر الجداء الثاني:

(x + 2)(2x + 3) = 2x^2 + 3x + 4x + 6 = 2x^2 + 7x + 6

نعوض في العبارة $M$ :

M = (4x^2 + 12x + 9) - (2x^2 + 7x + 6)

M = 4x^2 + 12x + 9 - 2x^2 - 7x - 6

M = (4x^2 - 2x^2) + (12x - 7x) + (9 - 6)

M = 2x^2 + 5x + 3

وهو المطلوب إثباته.

2. تحليل العبارة $M$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

✅الإجابة النموذجية:

نلاحظ وجود العامل المشترك $(2x + 3)$ :

M = (2x + 3)^2 - (x + 2)(2x + 3)

M = (2x + 3) \left[ (2x + 3) - (x + 2) \right]

M = (2x + 3) (2x + 3 - x - 2)

M = (2x + 3)(x + 1)

3. حساب قيمة $M$ من أجل $x = 2\sqrt{3}$ :

✅الإجابة النموذجية:

نعوض $x = 2\sqrt{3}$ في العبارة المنشورة $M = 2x^2 + 5x + 3$ :

M = 2(2\sqrt{3})^2 + 5(2\sqrt{3}) + 3

حيث: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$

M = 2(12) + 10\sqrt{3} + 3

M = 24 + 10\sqrt{3} + 3

M = 27 + 10\sqrt{3}

📌

التمرين الرابع: (2.5 نقطة)

1. تبيين أن: $B = \cos^2 x + \sin^2 y$

✅الإجابة النموذجية:

أولاً: حساب القيمة العددية لـ $B$ :

$B = \frac{1.5 \times 10^{-3} \times 0.26 \times 10^{17}}{390 \times 10^{11}}$

نحسب البسط أولاً:

$\text{البسط} = (1.5 \times 0.26) \times (10^{-3} \times 10^{17}) = 0.39 \times 10^{14}$

نحسب المقام:

$390 \times 10^{11} = 0.39 \times 10^3 \times 10^{11} = 0.39 \times 10^{14}$

إذن:

$B = \frac{0.39 \times 10^{14}}{0.39 \times 10^{14}} = 1$

ثانياً: حساب قيمة العبارة $\cos^2 x + \sin^2 y$ :

لدينا:

$\cos x = \frac{\sqrt{7}}{3} \implies \cos^2 x = \left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2 = \frac{7}{9}$

$\sin y = \frac{\sqrt{2}}{3} \implies \sin^2 y = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}$

نجمع المقدارين:

$\cos^2 x + \sin^2 y = \frac{7}{9} + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} = 1$

بما أن كلا الطرفين يفرزان النتيجة نفسها $1$ ، فإن:

$B = \cos^2 x + \sin^2 y$

2. الاستنتاج بالنسبة لقيسي الزاويتين $x$ و $y$ :

💡إضاءة وتنبيه:

نعلم من العلاقات المثلثية الأساسية في المثلث القائم أنه لأي زاوية حادة $x$ : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ .

✅الإجابة النموذجية:

بما أن:

$\cos^2 x + \sin^2 y = 1$

وبما أن العلاقات المثلثية تعطي دائماً:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

بالمقارنة بين المعادلتين، نجد أن:

$\sin^2 y = \sin^2 x$

وبما أن الزاويتين حادتان، فإن جيبهما عدد موجب، إذن:

$\sin y = \sin x$

ومنه نستنتج أن الزاويتين متساويتان في القيس:

$x = y$

📌

الوضعية الإدماجية: (08 نقاط)

المشهد الأول: أجواء عادة

تحديد الارتفاع الذي تحلق منه الطائرة انطلاقاً من النقطة C:

💡إضاءة وتنبيه:

لتحديد الارتفاع الكلي للطائرة عند النقطة C (القطعة المستقيمة العمودية $CE$ )، نعتمد على خاصية طاليس في المثلث القائم $ACE$ .

✅الإجابة النموذجية:

من معطيات الشكل والشروط الهندسيّة:

المستقيمان $(BD)$ و $(CE)$ عموديان على نفس المستقيم الأفقي $(AE)$ ، فهما مستقيمان متوازيان: $(BD) // (CE)$ .

النقط $A, B, C$ على استقامة واحدة، والنقط $A, D, E$ على استقامة واحدة.

حساب المسافة المائلة الكلية $AC$ :

$AC = AB + BC = 350 + 7200 = 7550 \text{ m}$

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث $ACE$ :

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE}$

نعوض القيم المعلومة:

$\frac{350}{7550} = \frac{140}{CE}$

$CE = \frac{7550 \times 140}{350}$

$CE = \frac{1057000}{350} = 3020 \text{ m}$

(تنبيه: لو اعتُبرت المسافة المعطاة في الشكل للمسار المائل الكلي هي $AC = 7200 \text{ m}$ ، فإن الارتفاع يكون: $CE = \frac{7200 \times 140}{350} = 2880 \text{ m}$ ).

إذن الارتفاع الذي تحلق منه الطائرة هو $3020 \text{ m}$ .

المشهد الثاني: العزلة

تبيين أن القائد كان محقاً في اختياره للزاوية $26^\circ$ :

💡إضاءة وتنبيه:

نحسب الزاوية الأدنى للصعود لتفادي قمة الجبل، ثم نقارنها مع الزاوية التي اختارها الطيار ( $26^\circ$ ).

✅الإجابة النموذجية:

1. حساب الفرق في الارتفاع العمودي المطلوب تجاوزه ( $RS$ ):

ارتفاع قمة الجبل: $3900 \text{ m}$

الارتفاع الحالية للطائرة قبل الصعود: $3100 \text{ m}$

$RS = 3900 - 3100 = 800 \text{ m}$

2. حساب قيس الزاوية الأدنى للصعود $\widehat{RTS}$ :

في المثلث $TSR$ القائم في $S$ ، لدينا:

$\tan(\widehat{RTS}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{RS}{TS}$

حيث المسافة الأفقية $TS = 1900 \text{ m}$ :

$\tan(\widehat{RTS}) = \frac{800}{1900} \approx 0.42105$

باستخدام الحاسبة ( $\tan^{-1}$ ):

$\widehat{RTS} \approx 22.83^\circ$

بالتدوير إلى الوحدة نجد الزاوية الدنيا هي $23^\circ$ .

3. المقارنة والاستنتاج:

بما أن الزاوية التي اختارها القائد ( $26^\circ$ ) أكبر من الزاوية الأدنى المطلوبة لتفادي الاصطدام بالقمة ( $22.83^\circ$ ):

$26^\circ > 22.83^\circ$

فإن الطائرة ستعبر بامان فوق قمة الجبل دون اصطدام.

وبالتالي: كان القائد محقاً تماماً في اختياره لهذه الزاوية.

المشهد الثالث: فرصة النجاة

تحديد المسافة بين البارجة والطائرة عند ملامستها مياه البحر ( $MS$ ):

✅الإجابة النموذجية:

نفرض النقطة $H$ هي المسقط العمودي لموقع الطائرة عند بداية الهبوط على سطح البحر، حيث الارتفاع العمودي $KH = 2600 \text{ m}$ .

1. حساب المسافة الأفقية $HM$ (نقطة ملامسة مياه البحر الأولى):

في المثلث $KHM$ القائم في $H$ :

$\tan(33^\circ) = \frac{KH}{HM} \implies HM = \frac{KH}{\tan(33^\circ)}$

$HM = \frac{2600}{\tan(33^\circ)} \approx \frac{2600}{0.6494} \approx 4003.65 \text{ m}$

2. حساب المسافة الأفقية الكلية $HS$ (موقع البارجة البحرية):

في المثلث $KHS$ القائم في $H$ :

$\tan(23^\circ) = \frac{KH}{HS} \implies HS = \frac{KH}{\tan(23^\circ)}$

$HS = \frac{2600}{\tan(23^\circ)} \approx \frac{2600}{0.4245} \approx 6125.22 \text{ m}$

3. حساب المسافة بين البارجة والطائرة $MS$ :

$MS = HS - HM$

$MS = 6125.22 - 4003.65 = 2121.57 \text{ m}$

تدوير النتيجة إلى الوحدة:

$MS \approx 2122 \text{ m}$

إذن المسافة بين البارجة والطائرة عند ملامستها مياه البحر هي $2122 \text{ m}$ تقريباً.

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets 1st term exams Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Document pedagogical details

Detailed curriculum specs matching Algerian education ministry

ShowHide

Download PDF document384 KB

Level4th Year Of Middle School

SubjectMathematics

Document typeTerm Exam

Period1st Term (2020)

SolutionExam paper ready for practice

ValidationOfficial curriculum compliant - High quality PDF

Download this Term Exam in Mathematics (4th Year Of Middle School) for effective revision on DzMadrassa.

💡 Study tip: Try solving the questions within the allotted time before consulting the answer key.

Paper #65 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 65 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: (03 نقاط)

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 6942 و 3432: PGCD(6942;3432)\text{PGCD}(6942; 3432)PGCD(6942;3432)

2. كتابة الكسر 69423432\frac{6942}{3432}34326942​ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

3. حساب العدد MMM:

التمرين الثاني: (2.5 نقطة)

1. كتابة العدد MMM على الشكل a13a\sqrt{13}a13​ حيث aaa عدد طبيعي:

2. جعل مقام النسبة NNN عدداً ناطقاً:

التمرين الثالث: (04 نقاط)

1. تبيين أن: M=2x2+5x+3M = 2x^2 + 5x + 3M=2x2+5x+3

2. تحليل العبارة MMM إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

3. حساب قيمة MMM من أجل x=23x = 2\sqrt{3}x=23​:

التمرين الرابع: (2.5 نقطة)

1. تبيين أن: B=cos⁡2x+sin⁡2yB = \cos^2 x + \sin^2 yB=cos2x+sin2y

2. الاستنتاج بالنسبة لقيسي الزاويتين xxx و yyy:

الوضعية الإدماجية: (08 نقاط)

المشهد الأول: أجواء عادة

تحديد الارتفاع الذي تحلق منه الطائرة انطلاقاً من النقطة C:

المشهد الثاني: العزلة

تبيين أن القائد كان محقاً في اختياره للزاوية 26∘26^\circ26∘:

المشهد الثالث: فرصة النجاة

تحديد المسافة بين البارجة والطائرة عند ملامستها مياه البحر (MSMSMS):

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Document pedagogical details

1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 6942 و 3432: $\text{PGCD}(6942; 3432)$

2. كتابة الكسر $\frac{6942}{3432}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

3. حساب العدد $M$ :

1. كتابة العدد $M$ على الشكل $a\sqrt{13}$ حيث $a$ عدد طبيعي:

2. جعل مقام النسبة $N$ عدداً ناطقاً:

1. تبيين أن: $M = 2x^2 + 5x + 3$

2. تحليل العبارة $M$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

3. حساب قيمة $M$ من أجل $x = 2\sqrt{3}$ :

1. تبيين أن: $B = \cos^2 x + \sin^2 y$

2. الاستنتاج بالنسبة لقيسي الزاويتين $x$ و $y$ :

تبيين أن القائد كان محقاً في اختياره للزاوية $26^\circ$ :

تحديد المسافة بين البارجة والطائرة عند ملامستها مياه البحر ( $MS$ ):