Paper #67 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

PDFAI solution2020Free download

Preview or download this Mathematics Term Exam as a PDF on DzMadrassa.

Sujet n° 67

Solution IA2020

Download

Preferred on Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 67 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول:

Given:

A = (x + 3\sqrt{4})(x - 3\sqrt{4})

B = (1\sqrt{5} + 3)^2 = (\sqrt{5} + 3)^2

1- نشر وتبسيط العبارتين $A$ و $B$ :

💡إضاءة وتنبيه:

نعلم أن

\sqrt{4} = 2

، إذن:

3\sqrt{4} = 3 \times 2 = 6

العبارة

A

هي جذاء شهير من الشكل

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

العبارة

B

هي مربع مجموع من الشكل

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

تبسيط العبارة $A$ :

A = (x + 6)(x - 6)

A = x^2 - 6^2

✅الإجابة النموذجية:

A = x^2 - 36

نشر وتبسيط العبارة $B$ :

B = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(3) + 3^2

B = 5 + 6\sqrt{5} + 9

✅الإجابة النموذجية:

B = 14 + 6\sqrt{5}

2- حساب العبارات $A+B$ ، $A-B$ ، و $A \times B$ :

حساب $A+B$ :

A + B = (x^2 - 36) + (14 + 6\sqrt{5})

A + B = x^2 - 36 + 14 + 6\sqrt{5}

✅الإجابة النموذجية:

A + B = x^2 - 22 + 6\sqrt{5}

حساب $A-B$ :

A - B = (x^2 - 36) - (14 + 6\sqrt{5})

A - B = x^2 - 36 - 14 - 6\sqrt{5}

✅الإجابة النموذجية:

A - B = x^2 - 50 - 6\sqrt{5}

حساب $A \times B$ :

A \times B = (x^2 - 36)(14 + 6\sqrt{5})

A \times B = 14x^2 + 6\sqrt{5}x^2 - 36 \times 14 - 36 \times 6\sqrt{5}

✅الإجابة النموذجية:

A \times B = 14x^2 + 6\sqrt{5}x^2 - 504 - 216\sqrt{5}

3- كتابة الكسر $\frac{A}{B}$ على شكل كسر مقامه عدد ناطق:

💡إضاءة وتنبيه:

لتنطيق مقام كسر يحتوي على حدين أحدهما جذر، نضرب الكسر بسطاً ومقاماً في المرافق

(14 - 6\sqrt{5})

\frac{A}{B} = \frac{x^2 - 36}{14 + 6\sqrt{5}}

\frac{A}{B} = \frac{(x^2 - 36)(14 - 6\sqrt{5})}{(14 + 6\sqrt{5})(14 - 6\sqrt{5})}

\frac{A}{B} = \frac{(x^2 - 36)(14 - 6\sqrt{5})}{14^2 - (6\sqrt{5})^2}

14^2 - (6\sqrt{5})^2 = 196 - (36 \times 5) = 196 - 180 = 16

✅الإجابة النموذجية:

\frac{A}{B} = \frac{(x^2 - 36)(14 - 6\sqrt{5})}{16}

4- حساب العبارتين من أجل $x = 3$ :

بالنسبة للعبارة $A$ :

A = (3)^2 - 36 = 9 - 36

✅الإجابة النموذجية:

A = -27

بالنسبة للعبارة $B$ :

العبارة $B$ مستقلة عن المتغير $x$ ، وبالتالي تبقى قيمتها ثابته:

✅الإجابة النموذجية:

B = 14 + 6\sqrt{5}

📌

التمرين الثاني:

1- حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين $5002$ و $604$ :

نستعمل خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

5002 = 604 \times 8 + 170

604 = 170 \times 3 + 94

170 = 94 \times 1 + 76

94 = 76 \times 1 + 18

76 = 18 \times 4 + 4

18 = 4 \times 4 + 2

4 = 2 \times 2 + 0

آخر باقي غير معدوم هو $2$ .

✅الإجابة النموذجية:

\text{PGCD}(5002, 604) = 2

2- كتابة الكسر $\frac{5002}{604}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

نقسم كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر $\text{PGCD}(5002, 604) = 2$ :

\frac{5002}{604} = \frac{5002 \div 2}{604 \div 2}

✅الإجابة النموذجية:

\frac{5002}{604} = \frac{2501}{302}

3- حل المعادلة $x^2 - 14 = 35$ :

x^2 = 35 + 14

x^2 = 49

بما أن $49 > 0$ ، فإن للمعادلة حلين متعاكسين هما:

x = \sqrt{49} = 7 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{49} = -7

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: $x = 7$ و $x = -7$ .

📌

التمرين الثالث:

1- تبيان أن المثلث $MNO$ قائم:

في المثلث $MNO$ لدينا أطوال الاضلاع التالية: $MO = 3$ ، $MN = 4$ ، $ON = 5$ .

نطبق العكسية لنظرية فيثاغورس:

نحدد أطول ضلع وهو

ON = 5

ON^2 = 5^2 = 25

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

MO^2 + MN^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

نلاحظ أن:

ON^2 = MO^2 + MN^2 = 25

✅الإجابة النموذجية:

حسب العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $MNO$ قائم في الراس $M$ .

2- حساب الطول $LM$ بالمدور إلى الوحدة:

المثلث $LMO$ قائم في $M$ ، ولدينا الزاوية $\widehat{MLO} = 37.5^\circ$ والضلع المقابل لها $MO = 3$ .

نستخدم نسبة الظل ( $\tan$ ):

\tan(\widehat{MLO}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{MO}{LM}

\tan(37.5^\circ) = \frac{3}{LM}

LM = \frac{3}{\tan(37.5^\circ)}

باستخدام الآلة الحاسبة:

\tan(37.5^\circ) \approx 0.7673

LM = \frac{3}{0.7673} \approx 3.91\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

بالتدوير إلى الوحدة:

LM \approx 4\text{ cm}

3- هل الرباعي $LMNO$ متوازي اضلاع؟

💡إضاءة وتنبيه:

يكون الرباعي متوازي اضلاع إذا كان فيه كل ضلعين متقابلين متساويين ومتوازيين.

في هذا الشكل:

الزاوية

\widehat{LMO} = 90^\circ

والزاوية

\widehat{NMO} = 90^\circ

، مما يعني أن النقاط

L

M

، و

N

تقع على استقامة واحدة (لأن

\widehat{LMN} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ

بالتالي النقاط تشكل مثلثاً كبيراً

LNO

وليست رؤوس رباعي محدب.

إضافة إلى ذلك، الأضلاع المتقابلة المفترضة غير متساويةالطول (

LM \approx 3.91

ON = 5

✅الإجابة النموذجية:

الرباعي $LMNO$ ليس متوازي اضلاع.

📌

التمرين الرابع:

إنشاء قطعة مستقيمة $AB$ وتقسيمها إلى 3 قطع متساوية:

💡إضاءة وتنبيه:

تعتمد هذه الإنشاءات الهندسية على استعمال المدرس والمسطرة غير المدرجة بتطبيق خاصية طاليس.

خطوات الإنشاء الهندسية:

1. نرسم القطعة المستقيمة المطلوبة $[AB]$ .

2. نرسم نصف مستقيم ينطلق من النقطة $A$ ويصنع زاوية حادة مع $[AB]$ (ليكن $[Ax)$ ).

3. باستخدام المدور بفتحة ثابتة مناسبة، نحدد على نصف المستقيم $[Ax)$ ثلاث نقاط متعاقبة $A_1$ ، $A_2$ ، و $A_3$ بحيث:

AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3

4. نصل النقطة الأخيرة $A_3$ بالنقطة $B$ لتشكيل القطعة المستقيمة $[A_3B]$ .

5. باستعمال الكوس والمسطرة، نرسم المستقيمات الموازية لـ $(A_3B)$ والتي تمر بالنقطتين $A_1$ و $A_2$ .

6. تقطع هذه المستقيمات المتوازية القطعة المستقيمة $[AB]$ في النقطتين $P_1$ و $P_2$ على التوالي.

✅الإجابة النموذجية:

تكون القطعة $[AB]$ قد قُسِّمت إلى 3 قطع متساوية تماماً بحيث:

AP_1 = P_1P_2 = P_2B = \frac{1}{3}AB

📌

الوضعية الإدماجية:

1- حساب الطول $ED$ بالمدور إلى الوحدة:

من الشكل، الشق السفلي للمزرعة هو المستطيل $EFDC$ حيث:

عرض المستطيل

EF = CD = 400\text{ m}

طول المستطيل

FD = EC = 620\text{ m}

المثلث

EFD

قائم في

F

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $EFD$ :

ED^2 = EF^2 + FD^2

ED^2 = 400^2 + 620^2

ED^2 = 160000 + 384400 = 544400

ED = \sqrt{544400} \approx 737.83\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

بالتدوير إلى الوحدة:

ED \approx 738\text{ m}

2- تبيان أن $(ED) \parallel (AB)$ :

من معطيات الشكل الهندسي:

المستقيم

(AB)

عمودي على المستقيم

(AF)

عند النقطة

A

(أي

(AB) \perp (AF)

المستقيم

(ED)

عمودي على المستقيم

(AF)

عند النقطة

E

(أي

(ED) \perp (AF)

💡إضاءة وتنبيه:

الخاصية الهندسية: "إذا عمَد مستقيمان نفس المستقيم، فإنهما متوازيان".

✅الإجابة النموذجية:

بما أن $(AB) \perp (AF)$ و $(ED) \perp (AF)$ ، فإن المستقيمين $(ED)$ و $(AB)$ متوازيان: $(ED) \parallel (AB)$ .

3- حساب الطول $BC$ مدور إلى الوحدة باستعمال النسب المثلثية:

في المثلث القائم العلوي في النقطة $E$ (المثلث $EBC$ ):

لدينا الزاوية

\widehat{ECB} = 20^\circ

الضلع المجاور للزاوية

\widehat{ECB}

هو

EC = 620\text{ m}

الضلع المراد حسابه هو الوتر

BC

نطبق نسبة جيب التمام ( $\cos$ ):

\cos(\widehat{ECB}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{EC}{BC}

\cos(20^\circ) = \frac{620}{BC}

BC = \frac{620}{\cos(20^\circ)}

باستخدام الآلة الحاسبة:

\cos(20^\circ) \approx 0.9397

BC = \frac{620}{0.9397} \approx 659.78\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

بالتدوير إلى الوحدة:

BC \approx 660\text{ m}

4- حساب مساحة الأرض الكلية:

مساحة الأرض تتكون من جزأين: مساحة المستطيل $EFDC$ ومساحة المثلث القائم $EBC$ .

مساحة الجزء المستطيل $S_1$ :

S_1 = \text{الطول} \times \text{العرض} = 620 \times 400 = 248000\text{ m}^2

حساب الارتفاع $EB$ للمثلث القائم $EBC$ :

\tan(20^\circ) = \frac{EB}{EC} \implies EB = EC \times \tan(20^\circ)

EB = 620 \times 0.3640 \approx 225.68\text{ m}

مساحة الجزء المثلث $S_2$ :

S_2 = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{620 \times 225.68}{2} = 69960.8\text{ m}^2

المساحة الكلية للأرض $S$ :

S = S_1 + S_2 = 248000 + 69960.8 = 317960.8\text{ m}^2

✅الإجابة النموذجية:

مساحة الأرض الكلية هي مقربة بـ:

S \approx 317961\text{ m}^2

5- حساب ثمن شراء الأرض:

اشترى يزيد الأرض بسعر $1000\text{ دج}$ لكل $12\text{ m}^2$ .

\text{الثمن الإجمالي} = \text{المساحة الكلية} \times \frac{1000}{12}

\text{الثمن الإجمالي} = 317961 \times \frac{1000}{12} = 26496750\text{ دج}

✅الإجابة النموذجية:

ثمن الأرض هو:

26,496,750\text{ دج}

6- بعد كل قطعة مربع الشكل (تقسيم الجزء المستطيل بأكبر ضلع):

تقسيم المستطيل الذي أبعاده $620\text{ m}$ و $400\text{ m}$ إلى مربعات بأكبر طول ضلع يعني حساب القاسم المشترك الأكبر للأبعاد: $\text{PGCD}(620, 400)$ .

نستخدم خوارزمية القسمات المتتالية:

620 = 400 \times 1 + 220

400 = 220 \times 1 + 180

220 = 180 \times 1 + 40

180 = 40 \times 4 + 20

40 = 20 \times 2 + 0

القاسم المشترك الأكبر هو $20$ .

✅الإجابة النموذجية:

بعد كل قطعة مربع هو:

20\text{ m}

7- هل يكفي السياج لإحاطة الأرض المستطيلة؟

حساب محيط الأرض المستطيلة $P$ :

P = 2 \times (\text{الطول} + \text{العرض})

P = 2 \times (620 + 400) = 2 \times 1020 = 2040\text{ m}

المقارنة مع طول السياج المتوفر ( $1500\text{ m}$ ):

1500\text{ m} < 2040\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

طول السياج المتوفر ( $1500\text{ m}$ ) أصغر من محيط الأرض المستطيلة ( $2040\text{ m}$ )؛ إذن السياج لا يكفيه لإحاطة الأرض المستطيلة.

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets 1st term exams Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Document pedagogical details

Detailed curriculum specs matching Algerian education ministry

Show

Download PDF document272 KB

Level4th Year Of Middle School

SubjectMathematics

Document typeTerm Exam

Period1st Term (2020)

SolutionExam paper ready for practice

ValidationOfficial curriculum compliant - High quality PDF

Download this Term Exam in Mathematics (4th Year Of Middle School) for effective revision on DzMadrassa.

💡 Study tip: Try solving the questions within the allotted time before consulting the answer key.

Paper #67 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 67 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول:

1- نشر وتبسيط العبارتين AAA و BBB:

2- حساب العبارات A+BA+BA+B، A−BA-BA−B، و A×BA \times BA×B:

3- كتابة الكسر AB\frac{A}{B}BA​ على شكل كسر مقامه عدد ناطق:

4- حساب العبارتين من أجل x=3x = 3x=3:

التمرين الثاني:

1- حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 500250025002 و 604604604:

2- كتابة الكسر 5002604\frac{5002}{604}6045002​ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

3- حل المعادلة x2−14=35x^2 - 14 = 35x2−14=35:

التمرين الثالث:

1- تبيان أن المثلث MNOMNOMNO قائم:

2- حساب الطول LMLMLM بالمدور إلى الوحدة:

3- هل الرباعي LMNOLMNOLMNO متوازي اضلاع؟

التمرين الرابع:

إنشاء قطعة مستقيمة ABABAB وتقسيمها إلى 3 قطع متساوية:

خطوات الإنشاء الهندسية:

الوضعية الإدماجية:

1- حساب الطول EDEDED بالمدور إلى الوحدة:

2- تبيان أن (ED)∥(AB)(ED) \parallel (AB)(ED)∥(AB):

3- حساب الطول BCBCBC مدور إلى الوحدة باستعمال النسب المثلثية:

4- حساب مساحة الأرض الكلية:

5- حساب ثمن شراء الأرض:

6- بعد كل قطعة مربع الشكل (تقسيم الجزء المستطيل بأكبر ضلع):

7- هل يكفي السياج لإحاطة الأرض المستطيلة؟

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Document pedagogical details

1- نشر وتبسيط العبارتين $A$ و $B$ :

2- حساب العبارات $A+B$ ، $A-B$ ، و $A \times B$ :

3- كتابة الكسر $\frac{A}{B}$ على شكل كسر مقامه عدد ناطق:

4- حساب العبارتين من أجل $x = 3$ :

1- حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين $5002$ و $604$ :

2- كتابة الكسر $\frac{5002}{604}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال:

3- حل المعادلة $x^2 - 14 = 35$ :

1- تبيان أن المثلث $MNO$ قائم:

2- حساب الطول $LM$ بالمدور إلى الوحدة:

3- هل الرباعي $LMNO$ متوازي اضلاع؟

إنشاء قطعة مستقيمة $AB$ وتقسيمها إلى 3 قطع متساوية:

1- حساب الطول $ED$ بالمدور إلى الوحدة:

2- تبيان أن $(ED) \parallel (AB)$ :

3- حساب الطول $BC$ مدور إلى الوحدة باستعمال النسب المثلثية: