📚
الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 67 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الحل النموذجي المعتمد والشامل
المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
Given:
A = ( x + 3 4 ) ( x − 3 4 ) A = (x + 3\sqrt{4})(x - 3\sqrt{4}) A = ( x + 3 4 ) ( x − 3 4 )
B = ( 1 5 + 3 ) 2 = ( 5 + 3 ) 2 B = (1\sqrt{5} + 3)^2 = (\sqrt{5} + 3)^2 B = ( 1 5 + 3 ) 2 = ( 5 + 3 ) 2
1- نشر وتبسيط العبارتين A A A B B B نعلم أن
4 = 2 \sqrt{4} = 2 4 = 2 ، إذن:
3 4 = 3 × 2 = 6 3\sqrt{4} = 3 \times 2 = 6 3 4 = 3 × 2 = 6 .
العبارة
A A A هي جذاء شهير من الشكل
( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 .
العبارة
B B B هي مربع مجموع من الشكل
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 .
A = ( x + 6 ) ( x − 6 ) A = (x + 6)(x - 6) A = ( x + 6 ) ( x − 6 )
A = x 2 − 6 2 A = x^2 - 6^2 A = x 2 − 6 2
A = x 2 − 36 A = x^2 - 36 A = x 2 − 36
B = ( 5 ) 2 + 2 ( 5 ) ( 3 ) + 3 2 B = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(3) + 3^2 B = ( 5 ) 2 + 2 ( 5 ) ( 3 ) + 3 2
B = 5 + 6 5 + 9 B = 5 + 6\sqrt{5} + 9 B = 5 + 6 5 + 9
B = 14 + 6 5 B = 14 + 6\sqrt{5} B = 14 + 6 5
2- حساب العبارات A + B A+B A + B A − B A-B A − B A × B A \times B A × B
A + B = ( x 2 − 36 ) + ( 14 + 6 5 ) A + B = (x^2 - 36) + (14 + 6\sqrt{5}) A + B = ( x 2 − 36 ) + ( 14 + 6 5 )
A + B = x 2 − 36 + 14 + 6 5 A + B = x^2 - 36 + 14 + 6\sqrt{5} A + B = x 2 − 36 + 14 + 6 5
A + B = x 2 − 22 + 6 5 A + B = x^2 - 22 + 6\sqrt{5} A + B = x 2 − 22 + 6 5
A − B = ( x 2 − 36 ) − ( 14 + 6 5 ) A - B = (x^2 - 36) - (14 + 6\sqrt{5}) A − B = ( x 2 − 36 ) − ( 14 + 6 5 )
A − B = x 2 − 36 − 14 − 6 5 A - B = x^2 - 36 - 14 - 6\sqrt{5} A − B = x 2 − 36 − 14 − 6 5
A − B = x 2 − 50 − 6 5 A - B = x^2 - 50 - 6\sqrt{5} A − B = x 2 − 50 − 6 5
A × B = ( x 2 − 36 ) ( 14 + 6 5 ) A \times B = (x^2 - 36)(14 + 6\sqrt{5}) A × B = ( x 2 − 36 ) ( 14 + 6 5 )
A × B = 14 x 2 + 6 5 x 2 − 36 × 14 − 36 × 6 5 A \times B = 14x^2 + 6\sqrt{5}x^2 - 36 \times 14 - 36 \times 6\sqrt{5} A × B = 14 x 2 + 6 5 x 2 − 36 × 14 − 36 × 6 5
A × B = 14 x 2 + 6 5 x 2 − 504 − 216 5 A \times B = 14x^2 + 6\sqrt{5}x^2 - 504 - 216\sqrt{5} A × B = 14 x 2 + 6 5 x 2 − 504 − 216 5
3- كتابة الكسر A B \frac{A}{B} B A 💡 إضاءة وتنبيه:
لتنطيق مقام كسر يحتوي على حدين أحدهما جذر، نضرب الكسر بسطاً ومقاماً في المرافق
( 14 − 6 5 ) (14 - 6\sqrt{5}) ( 14 − 6 5 ) .
A B = x 2 − 36 14 + 6 5 \frac{A}{B} = \frac{x^2 - 36}{14 + 6\sqrt{5}} B A = 14 + 6 5 x 2 − 36
A B = ( x 2 − 36 ) ( 14 − 6 5 ) ( 14 + 6 5 ) ( 14 − 6 5 ) \frac{A}{B} = \frac{(x^2 - 36)(14 - 6\sqrt{5})}{(14 + 6\sqrt{5})(14 - 6\sqrt{5})} B A = ( 14 + 6 5 ) ( 14 − 6 5 ) ( x 2 − 36 ) ( 14 − 6 5 )
A B = ( x 2 − 36 ) ( 14 − 6 5 ) 14 2 − ( 6 5 ) 2 \frac{A}{B} = \frac{(x^2 - 36)(14 - 6\sqrt{5})}{14^2 - (6\sqrt{5})^2} B A = 1 4 2 − ( 6 5 ) 2 ( x 2 − 36 ) ( 14 − 6 5 )
14 2 − ( 6 5 ) 2 = 196 − ( 36 × 5 ) = 196 − 180 = 16 14^2 - (6\sqrt{5})^2 = 196 - (36 \times 5) = 196 - 180 = 16 1 4 2 − ( 6 5 ) 2 = 196 − ( 36 × 5 ) = 196 − 180 = 16
A B = ( x 2 − 36 ) ( 14 − 6 5 ) 16 \frac{A}{B} = \frac{(x^2 - 36)(14 - 6\sqrt{5})}{16} B A = 16 ( x 2 − 36 ) ( 14 − 6 5 )
4- حساب العبارتين من أجل x = 3 x = 3 x = 3
A = ( 3 ) 2 − 36 = 9 − 36 A = (3)^2 - 36 = 9 - 36 A = ( 3 ) 2 − 36 = 9 − 36
العبارة B B B x x x
B = 14 + 6 5 B = 14 + 6\sqrt{5} B = 14 + 6 5
1- حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 5002 5002 5002 604 604 604
نستعمل خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):
5002 = 604 × 8 + 170 5002 = 604 \times 8 + 170 5002 = 604 × 8 + 170
604 = 170 × 3 + 94 604 = 170 \times 3 + 94 604 = 170 × 3 + 94
170 = 94 × 1 + 76 170 = 94 \times 1 + 76 170 = 94 × 1 + 76
94 = 76 × 1 + 18 94 = 76 \times 1 + 18 94 = 76 × 1 + 18
76 = 18 × 4 + 4 76 = 18 \times 4 + 4 76 = 18 × 4 + 4
18 = 4 × 4 + 2 18 = 4 \times 4 + 2 18 = 4 × 4 + 2
4 = 2 × 2 + 0 4 = 2 \times 2 + 0 4 = 2 × 2 + 0
آخر باقي غير معدوم هو 2 2 2
PGCD ( 5002 , 604 ) = 2 \text{PGCD}(5002, 604) = 2 PGCD ( 5002 , 604 ) = 2
2- كتابة الكسر 5002 604 \frac{5002}{604} 604 5002
نقسم كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر PGCD ( 5002 , 604 ) = 2 \text{PGCD}(5002, 604) = 2 PGCD ( 5002 , 604 ) = 2
5002 604 = 5002 ÷ 2 604 ÷ 2 \frac{5002}{604} = \frac{5002 \div 2}{604 \div 2} 604 5002 = 604 ÷ 2 5002 ÷ 2
5002 604 = 2501 302 \frac{5002}{604} = \frac{2501}{302} 604 5002 = 302 2501
3- حل المعادلة x 2 − 14 = 35 x^2 - 14 = 35 x 2 − 14 = 35
x 2 = 35 + 14 x^2 = 35 + 14 x 2 = 35 + 14
بما أن 49 > 0 49 > 0 49 > 0
x = 49 = 7 أو x = − 49 = − 7 x = \sqrt{49} = 7 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{49} = -7 x = 49 = 7 أو x = − 49 = − 7 للمعادلة حلان هما: x = 7 x = 7 x = 7 x = − 7 x = -7 x = − 7
1- تبيان أن المثلث M N O MNO M N O
في المثلث M N O MNO M N O M O = 3 MO = 3 M O = 3 M N = 4 MN = 4 M N = 4 O N = 5 ON = 5 O N = 5
نطبق العكسية لنظرية فيثاغورس:
نحدد أطول ضلع وهو
O N = 5 ON = 5 O N = 5 :
O N 2 = 5 2 = 25 ON^2 = 5^2 = 25 O N 2 = 5 2 = 25
نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:
M O 2 + M N 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 MO^2 + MN^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 M O 2 + M N 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25
نلاحظ أن:
O N 2 = M O 2 + M N 2 = 25 ON^2 = MO^2 + MN^2 = 25 O N 2 = M O 2 + M N 2 = 25 حسب العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث M N O MNO M N O M M M
2- حساب الطول L M LM L M
المثلث L M O LMO L M O M M M M L O ^ = 37.5 ∘ \widehat{MLO} = 37.5^\circ M L O = 37. 5 ∘ M O = 3 MO = 3 M O = 3
نستخدم نسبة الظل (tan \tan tan
tan ( M L O ^ ) = الضلع المقابل الضلع المجاور = M O L M \tan(\widehat{MLO}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{MO}{LM} tan ( M L O ) = الضلع المجاور الضلع المقابل = L M M O
tan ( 37.5 ∘ ) = 3 L M \tan(37.5^\circ) = \frac{3}{LM} tan ( 37. 5 ∘ ) = L M 3
L M = 3 tan ( 37.5 ∘ ) LM = \frac{3}{\tan(37.5^\circ)} L M = tan ( 37. 5 ∘ ) 3
باستخدام الآلة الحاسبة:
tan ( 37.5 ∘ ) ≈ 0.7673 \tan(37.5^\circ) \approx 0.7673 tan ( 37. 5 ∘ ) ≈ 0.7673
L M = 3 0.7673 ≈ 3.91 cm LM = \frac{3}{0.7673} \approx 3.91\text{ cm} L M = 0.7673 3 ≈ 3.91 cm بالتدوير إلى الوحدة:
L M ≈ 4 cm LM \approx 4\text{ cm} L M ≈ 4 cm
3- هل الرباعي L M N O LMNO L M N O 💡 إضاءة وتنبيه:
يكون الرباعي متوازي اضلاع إذا كان فيه كل ضلعين متقابلين متساويين ومتوازيين.
في هذا الشكل:
الزاوية
L M O ^ = 90 ∘ \widehat{LMO} = 90^\circ L M O = 9 0 ∘ والزاوية
N M O ^ = 90 ∘ \widehat{NMO} = 90^\circ N M O = 9 0 ∘ ، مما يعني أن النقاط
L L L ،
M M M ، و
N N N تقع على استقامة واحدة (لأن
L M N ^ = 90 ∘ + 90 ∘ = 180 ∘ \widehat{LMN} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ L M N = 9 0 ∘ + 9 0 ∘ = 18 0 ∘ ).
بالتالي النقاط تشكل مثلثاً كبيراً
L N O LNO L N O وليست رؤوس رباعي محدب.
إضافة إلى ذلك، الأضلاع المتقابلة المفترضة غير متساويةالطول (
L M ≈ 3.91 LM \approx 3.91 L M ≈ 3.91 و
O N = 5 ON = 5 O N = 5 ).
الرباعي L M N O LMNO L M N O
إنشاء قطعة مستقيمة A B AB A B 💡 إضاءة وتنبيه:
تعتمد هذه الإنشاءات الهندسية على استعمال المدرس والمسطرة غير المدرجة بتطبيق خاصية طاليس.
خطوات الإنشاء الهندسية: 1. نرسم القطعة المستقيمة المطلوبة [ A B ] [AB] [ A B ]
2. نرسم نصف مستقيم ينطلق من النقطة A A A [ A B ] [AB] [ A B ] [ A x ) [Ax) [ A x )
3. باستخدام المدور بفتحة ثابتة مناسبة، نحدد على نصف المستقيم [ A x ) [Ax) [ A x ) A 1 A_1 A 1 A 2 A_2 A 2 A 3 A_3 A 3
A A 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 A A 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3
4. نصل النقطة الأخيرة A 3 A_3 A 3 B B B [ A 3 B ] [A_3B] [ A 3 B ]
5. باستعمال الكوس والمسطرة، نرسم المستقيمات الموازية لـ ( A 3 B ) (A_3B) ( A 3 B ) A 1 A_1 A 1 A 2 A_2 A 2
6. تقطع هذه المستقيمات المتوازية القطعة المستقيمة [ A B ] [AB] [ A B ] P 1 P_1 P 1 P 2 P_2 P 2
تكون القطعة [ A B ] [AB] [ A B ]
A P 1 = P 1 P 2 = P 2 B = 1 3 A B AP_1 = P_1P_2 = P_2B = \frac{1}{3}AB A P 1 = P 1 P 2 = P 2 B = 3 1 A B
1- حساب الطول E D ED E D
من الشكل، الشق السفلي للمزرعة هو المستطيل E F D C EFDC E F D C
عرض المستطيل
E F = C D = 400 m EF = CD = 400\text{ m} E F = C D = 400 m .
طول المستطيل
F D = E C = 620 m FD = EC = 620\text{ m} F D = E C = 620 m .
المثلث
E F D EFD E F D قائم في
F F F .
بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم E F D EFD E F D
E D 2 = E F 2 + F D 2 ED^2 = EF^2 + FD^2 E D 2 = E F 2 + F D 2
E D 2 = 400 2 + 620 2 ED^2 = 400^2 + 620^2 E D 2 = 40 0 2 + 62 0 2
E D 2 = 160000 + 384400 = 544400 ED^2 = 160000 + 384400 = 544400 E D 2 = 160000 + 384400 = 544400
E D = 544400 ≈ 737.83 m ED = \sqrt{544400} \approx 737.83\text{ m} E D = 544400 ≈ 737.83 m بالتدوير إلى الوحدة:
E D ≈ 738 m ED \approx 738\text{ m} E D ≈ 738 m
2- تبيان أن ( E D ) ∥ ( A B ) (ED) \parallel (AB) ( E D ) ∥ ( A B )
من معطيات الشكل الهندسي:
المستقيم
( A B ) (AB) ( A B ) عمودي على المستقيم
( A F ) (AF) ( A F ) عند النقطة
A A A (أي
( A B ) ⊥ ( A F ) (AB) \perp (AF) ( A B ) ⊥ ( A F ) ).
المستقيم
( E D ) (ED) ( E D ) عمودي على المستقيم
( A F ) (AF) ( A F ) عند النقطة
E E E (أي
( E D ) ⊥ ( A F ) (ED) \perp (AF) ( E D ) ⊥ ( A F ) ).
💡 إضاءة وتنبيه:
الخاصية الهندسية: "إذا عمَد مستقيمان نفس المستقيم، فإنهما متوازيان".
بما أن ( A B ) ⊥ ( A F ) (AB) \perp (AF) ( A B ) ⊥ ( A F ) ( E D ) ⊥ ( A F ) (ED) \perp (AF) ( E D ) ⊥ ( A F ) ( E D ) (ED) ( E D ) ( A B ) (AB) ( A B ) ( E D ) ∥ ( A B ) (ED) \parallel (AB) ( E D ) ∥ ( A B )
3- حساب الطول B C BC B C
في المثلث القائم العلوي في النقطة E E E E B C EBC E B C
لدينا الزاوية
E C B ^ = 20 ∘ \widehat{ECB} = 20^\circ E C B = 2 0 ∘ .
الضلع المجاور للزاوية
E C B ^ \widehat{ECB} E C B هو
E C = 620 m EC = 620\text{ m} E C = 620 m .
الضلع المراد حسابه هو الوتر
B C BC B C .
نطبق نسبة جيب التمام (cos \cos cos
cos ( E C B ^ ) = الضلع المجاور الوتر = E C B C \cos(\widehat{ECB}) = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{EC}{BC} cos ( E C B ) = الوتر الضلع المجاور = B C E C
cos ( 20 ∘ ) = 620 B C \cos(20^\circ) = \frac{620}{BC} cos ( 2 0 ∘ ) = B C 620
B C = 620 cos ( 20 ∘ ) BC = \frac{620}{\cos(20^\circ)} B C = cos ( 2 0 ∘ ) 620
باستخدام الآلة الحاسبة:
cos ( 20 ∘ ) ≈ 0.9397 \cos(20^\circ) \approx 0.9397 cos ( 2 0 ∘ ) ≈ 0.9397
B C = 620 0.9397 ≈ 659.78 m BC = \frac{620}{0.9397} \approx 659.78\text{ m} B C = 0.9397 620 ≈ 659.78 m بالتدوير إلى الوحدة:
B C ≈ 660 m BC \approx 660\text{ m} B C ≈ 660 m
4- حساب مساحة الأرض الكلية:
مساحة الأرض تتكون من جزأين: مساحة المستطيل E F D C EFDC E F D C E B C EBC E B C
مساحة الجزء المستطيل S 1 S_1 S 1
S 1 = الطول × العرض = 620 × 400 = 248000 m 2 S_1 = \text{الطول} \times \text{العرض} = 620 \times 400 = 248000\text{ m}^2 S 1 = الطول × العرض = 620 × 400 = 248000 m 2
حساب الارتفاع E B EB E B E B C EBC E B C
tan ( 20 ∘ ) = E B E C ⟹ E B = E C × tan ( 20 ∘ ) \tan(20^\circ) = \frac{EB}{EC} \implies EB = EC \times \tan(20^\circ) tan ( 2 0 ∘ ) = E C E B ⟹ E B = E C × tan ( 2 0 ∘ )
E B = 620 × 0.3640 ≈ 225.68 m EB = 620 \times 0.3640 \approx 225.68\text{ m} E B = 620 × 0.3640 ≈ 225.68 m
مساحة الجزء المثلث S 2 S_2 S 2
S 2 = القاعدة × الارتفاع 2 = 620 × 225.68 2 = 69960.8 m 2 S_2 = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{620 \times 225.68}{2} = 69960.8\text{ m}^2 S 2 = 2 القاعدة × الارتفاع = 2 620 × 225.68 = 69960.8 m 2
المساحة الكلية للأرض S S S
S = S 1 + S 2 = 248000 + 69960.8 = 317960.8 m 2 S = S_1 + S_2 = 248000 + 69960.8 = 317960.8\text{ m}^2 S = S 1 + S 2 = 248000 + 69960.8 = 317960.8 m 2 مساحة الأرض الكلية هي مقربة بـ:
S ≈ 317961 m 2 S \approx 317961\text{ m}^2 S ≈ 317961 m 2
5- حساب ثمن شراء الأرض:
اشترى يزيد الأرض بسعر 1000 دج 1000\text{ دج} 1000 دج 12 m 2 12\text{ m}^2 12 m 2
الثمن الإجمالي = المساحة الكلية × 1000 12 \text{الثمن الإجمالي} = \text{المساحة الكلية} \times \frac{1000}{12} الثمن الإجمالي = المساحة الكلية × 12 1000
الثمن الإجمالي = 317961 × 1000 12 = 26496750 دج \text{الثمن الإجمالي} = 317961 \times \frac{1000}{12} = 26496750\text{ دج} الثمن الإجمالي = 317961 × 12 1000 = 26496750 دج ثمن الأرض هو:
26 , 496 , 750 دج 26,496,750\text{ دج} 26 , 496 , 750 دج
6- بعد كل قطعة مربع الشكل (تقسيم الجزء المستطيل بأكبر ضلع):
تقسيم المستطيل الذي أبعاده 620 m 620\text{ m} 620 m 400 m 400\text{ m} 400 m PGCD ( 620 , 400 ) \text{PGCD}(620, 400) PGCD ( 620 , 400 )
نستخدم خوارزمية القسمات المتتالية:
620 = 400 × 1 + 220 620 = 400 \times 1 + 220 620 = 400 × 1 + 220
400 = 220 × 1 + 180 400 = 220 \times 1 + 180 400 = 220 × 1 + 180
220 = 180 × 1 + 40 220 = 180 \times 1 + 40 220 = 180 × 1 + 40
180 = 40 × 4 + 20 180 = 40 \times 4 + 20 180 = 40 × 4 + 20
40 = 20 × 2 + 0 40 = 20 \times 2 + 0 40 = 20 × 2 + 0
القاسم المشترك الأكبر هو 20 20 20
بعد كل قطعة مربع هو:
7- هل يكفي السياج لإحاطة الأرض المستطيلة؟
حساب محيط الأرض المستطيلة P P P
P = 2 × ( الطول + العرض ) P = 2 \times (\text{الطول} + \text{العرض}) P = 2 × ( الطول + العرض )
P = 2 × ( 620 + 400 ) = 2 × 1020 = 2040 m P = 2 \times (620 + 400) = 2 \times 1020 = 2040\text{ m} P = 2 × ( 620 + 400 ) = 2 × 1020 = 2040 m
المقارنة مع طول السياج المتوفر (1500 m 1500\text{ m} 1500 m
1500 m < 2040 m 1500\text{ m} < 2040\text{ m} 1500 m < 2040 m طول السياج المتوفر (1500 m 1500\text{ m} 1500 m 2040 m 2040\text{ m} 2040 m السياج لا يكفيه لإحاطة الأرض المستطيلة.