📚
الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 68 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الحل النموذجي المعتمد والشامل
المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
1. حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 686 و 224: نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) للحصول على القاسم المشترك الأكبر بطريقة منظمة ودقيقة، حيث يكون PGCD \text{PGCD} PGCD
686 = 224 × 3 + 14 686 = 224 \times 3 + 14 686 = 224 × 3 + 14
224 = 14 × 16 + 0 224 = 14 \times 16 + 0 224 = 14 × 16 + 0
بما أن آخر باقي غير معدوم هو 14 14 14
PGCD ( 686 , 224 ) = 14 \text{PGCD}(686, 224) = 14 PGCD ( 686 , 224 ) = 14 القاسم المشترك الأكبر للعددين 686 و 224 هو: PGCD ( 686 , 224 ) = 14 \text{PGCD}(686, 224) = 14 PGCD ( 686 , 224 ) = 14
2. إثبات أن A عدد طبيعي وتعيينه:
لدينا العبارة:
A = 686 224 − ( 5 8 + 7 16 ) A = \frac{686}{224} - \left( \frac{5}{8} + \frac{7}{16} \right) A = 224 686 − ( 8 5 + 16 7 )
الخطوة الأولى: اختزال الكسر
686 224 \frac{686}{224} 224 686 بقسمة البسط والمقام على
PGCD ( 686 , 224 ) = 14 \text{PGCD}(686, 224) = 14 PGCD ( 686 , 224 ) = 14 :
686 224 = 686 ÷ 14 224 ÷ 14 = 49 16 \frac{686}{224} = \frac{686 \div 14}{224 \div 14} = \frac{49}{16} 224 686 = 224 ÷ 14 686 ÷ 14 = 16 49
الخطوة الثانية: حساب ما داخل القوسين بتوحيد المقامات:
5 8 + 7 16 = 5 × 2 8 × 2 + 7 16 = 10 16 + 7 16 = 17 16 \frac{5}{8} + \frac{7}{16} = \frac{5 \times 2}{8 \times 2} + \frac{7}{16} = \frac{10}{16} + \frac{7}{16} = \frac{17}{16} 8 5 + 16 7 = 8 × 2 5 × 2 + 16 7 = 16 10 + 16 7 = 16 17
الخطوة الثالثة: إنجاز عملية الطرح:
A = 49 16 − 17 16 = 49 − 17 16 = 32 16 = 2 A = \frac{49}{16} - \frac{17}{16} = \frac{49 - 17}{16} = \frac{32}{16} = 2 A = 16 49 − 16 17 = 16 49 − 17 = 16 32 = 2 العدد A = 2 A = 2 A = 2
3. كتابة العدد B على الشكل c 14 c\sqrt{14} c 14
لدينا العبارة:
B = 686 + 2 224 − 3 56 B = \sqrt{686} + 2\sqrt{224} - 3\sqrt{56} B = 686 + 2 224 − 3 56
نحلل الأعداد تحت الراديكال إلى جذاء عوامل أحدها 14:
686 = 49 × 14 = 7 2 × 14 686 = 49 \times 14 = 7^2 \times 14 686 = 49 × 14 = 7 2 × 14 224 = 16 × 14 = 4 2 × 14 224 = 16 \times 14 = 4^2 \times 14 224 = 16 × 14 = 4 2 × 14 56 = 4 × 14 = 2 2 × 14 56 = 4 \times 14 = 2^2 \times 14 56 = 4 × 14 = 2 2 × 14
بالتعويض في العبارة B B B
B = 49 × 14 + 2 16 × 14 − 3 4 × 14 B = \sqrt{49 \times 14} + 2\sqrt{16 \times 14} - 3\sqrt{4 \times 14} B = 49 × 14 + 2 16 × 14 − 3 4 × 14
B = 7 14 + 2 × ( 4 14 ) − 3 × ( 2 14 ) B = 7\sqrt{14} + 2 \times (4\sqrt{14}) - 3 \times (2\sqrt{14}) B = 7 14 + 2 × ( 4 14 ) − 3 × ( 2 14 )
B = 7 14 + 8 14 − 6 14 B = 7\sqrt{14} + 8\sqrt{14} - 6\sqrt{14} B = 7 14 + 8 14 − 6 14
B = ( 7 + 8 − 6 ) 14 = 9 14 B = (7 + 8 - 6)\sqrt{14} = 9\sqrt{14} B = ( 7 + 8 − 6 ) 14 = 9 14 كتابة العدد B B B c 14 c\sqrt{14} c 14 B = 9 14 B = 9\sqrt{14} B = 9 14 c = 9 c = 9 c = 9
4. كتابة 5 B \frac{5}{B} B 5
5 B = 5 9 14 \frac{5}{B} = \frac{5}{9\sqrt{14}} B 5 = 9 14 5
لنعلّم المقامات، نضرب كلًا من البسط والمقام في الجذر التربيعي 14 \sqrt{14} 14
5 B = 5 × 14 9 14 × 14 = 5 14 9 × 14 = 5 14 126 \frac{5}{B} = \frac{5 \times \sqrt{14}}{9\sqrt{14} \times \sqrt{14}} = \frac{5\sqrt{14}}{9 \times 14} = \frac{5\sqrt{14}}{126} B 5 = 9 14 × 14 5 × 14 = 9 × 14 5 14 = 126 5 14 كتابة النسبة بمقام ناطق هي: 5 B = 5 14 126 \frac{5}{B} = \frac{5\sqrt{14}}{126} B 5 = 126 5 14
1. التحقق من صحة المساواة:
نشر وتبسيط الطرف الأيسر للمساواة باستخدام المتطابقة الشهيرة الثانية ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2
( 2 x − 3 ) 2 = ( 2 x ) 2 − 2 ( 2 x ) ( 3 ) + ( 3 ) 2 = 4 x 2 − 12 x + 9 (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + (3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 ( 2 x − 3 ) 2 = ( 2 x ) 2 − 2 ( 2 x ) ( 3 ) + ( 3 ) 2 = 4 x 2 − 12 x + 9 المساواة محققة بالفعل لأن: ( 2 x − 3 ) 2 = 4 x 2 − 12 x + 9 (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 ( 2 x − 3 ) 2 = 4 x 2 − 12 x + 9
2. تحليل العبارة A إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى:
لدينا العبارة المعطاة:
A = 12 x 2 − 36 x + 27 − ( 2 x − 3 ) ( x − 1 ) A = 12x^2 - 36x + 27 - (2x - 3)(x - 1) A = 12 x 2 − 36 x + 27 − ( 2 x − 3 ) ( x − 1 )
نلاحظ أن الحدود الثلاثة الأولى يمكن إخراج العامل المشترك 3 3 3
12 x 2 − 36 x + 27 = 3 ( 4 x 2 − 12 x + 9 ) 12x^2 - 36x + 27 = 3(4x^2 - 12x + 9) 12 x 2 − 36 x + 27 = 3 ( 4 x 2 − 12 x + 9 )
وبالاستعانة بالنتيجة المحصل عليها في السؤال الأول ( 4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x − 3 ) 2 ) (4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2) ( 4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x − 3 ) 2 ) A A A
A = 3 ( 2 x − 3 ) 2 − ( 2 x − 3 ) ( x − 1 ) A = 3(2x - 3)^2 - (2x - 3)(x - 1) A = 3 ( 2 x − 3 ) 2 − ( 2 x − 3 ) ( x − 1 )
نستخرج العامل المشترك ( 2 x − 3 ) (2x - 3) ( 2 x − 3 )
A = ( 2 x − 3 ) [ 3 ( 2 x − 3 ) − ( x − 1 ) ] A = (2x - 3) \left[ 3(2x - 3) - (x - 1) \right] A = ( 2 x − 3 ) [ 3 ( 2 x − 3 ) − ( x − 1 ) ]
A = ( 2 x − 3 ) [ 6 x − 9 − x + 1 ] A = (2x - 3) \left[ 6x - 9 - x + 1 \right] A = ( 2 x − 3 ) [ 6 x − 9 − x + 1 ]
A = ( 2 x − 3 ) ( 5 x − 8 ) A = (2x - 3)(5x - 8) A = ( 2 x − 3 ) ( 5 x − 8 ) التحليل النهائي للعبارة A A A A = ( 2 x − 3 ) ( 5 x − 8 ) A = (2x - 3)(5x - 8) A = ( 2 x − 3 ) ( 5 x − 8 )
3. حل المعادلة A = 0 A = 0 A = 0
تؤول المعادلة إلى معادلة الجداء المعدوم:
( 2 x − 3 ) ( 5 x − 8 ) = 0 (2x - 3)(5x - 8) = 0 ( 2 x − 3 ) ( 5 x − 8 ) = 0
يعني أن:
2 x − 3 = 0 أو 5 x − 8 = 0 2x - 3 = 0 \quad \text{أو} \quad 5x - 8 = 0 2 x − 3 = 0 أو 5 x − 8 = 0
2 x = 3 ⟹ x = 3 2 = 1.5 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5 2 x = 3 ⟹ x = 2 3 = 1.5
5 x = 8 ⟹ x = 8 5 = 1.6 5x = 8 \implies x = \frac{8}{5} = 1.6 5 x = 8 ⟹ x = 5 8 = 1.6 للمعادلة حلان هما: x = 3 2 x = \frac{3}{2} x = 2 3 x = 8 5 x = \frac{8}{5} x = 5 8
1. حساب قيس الزاوية B C A ^ \widehat{BCA} B C A بما أن المضلع A B C ABC A B C ( C ) (C) ( C ) [ B C ] [BC] [ B C ] A B C ABC A B C A A A
في المثلث القائم A B C ABC A B C A A A
tan ( B C A ^ ) = الضلع المقابل الضلع المجاور = A B A C \tan(\widehat{BCA}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{AB}{AC} tan ( B C A ) = الضلع المجاور الضلع المقابل = A C A B
بالتعويض بالقيم المعطاة (A B = 4 cm AB = 4\text{ cm} A B = 4 cm A C = 8 cm AC = 8\text{ cm} A C = 8 cm
tan ( B C A ^ ) = 4 8 = 0.5 \tan(\widehat{BCA}) = \frac{4}{8} = 0.5 tan ( B C A ) = 8 4 = 0.5
باستخدام الحاسبة (tan − 1 ( 0.5 ) \tan^{-1}(0.5) tan − 1 ( 0.5 )
B C A ^ ≈ 26.565 ∘ \widehat{BCA} \approx 26.565^\circ B C A ≈ 26.56 5 ∘
بالتدوير إلى الدرجة (نظرًا لأن الجزء من عشرة هو 5):
B C A ^ ≈ 27 ∘ \widehat{BCA} \approx 27^\circ B C A ≈ 2 7 ∘ قيس الزاوية B C A ^ \widehat{BCA} B C A 27 ∘ 27^\circ 2 7 ∘
2. حساب القيمة المضبوطة للطول BC:
بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم A B C ABC A B C A A A
B C 2 = A B 2 + A C 2 BC^2 = AB^2 + AC^2 B C 2 = A B 2 + A C 2
B C 2 = 4 2 + 8 2 = 16 + 64 = 80 BC^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80 B C 2 = 4 2 + 8 2 = 16 + 64 = 80
B C = 80 = 16 × 5 = 4 5 cm BC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}\text{ cm} B C = 80 = 16 × 5 = 4 5 cm القيمة المضبوطة للطول B C BC B C B C = 4 5 cm BC = 4\sqrt{5}\text{ cm} B C = 4 5 cm
تبيان أن S 1 = S 2 S_1 = S_2 S 1 = S 2
حساب مساحة المستطيل A B C D ABCD A B C D S 1 S_1 S 1
S 1 = A B × A D S_1 = AB \times AD S 1 = A B × A D
نعلم أن A B = 7 cm AB = 7\text{ cm} A B = 7 cm A D AD A D
في المثلث A F E AFE A F E I ∈ [ A F ] I \in [AF] I ∈ [ A F ] D ∈ [ A E ] D \in [AE] D ∈ [ A E ] ( I D ) (ID) ( I D ) ( F E ) (FE) ( F E ) A E AE A E
بتطبيق خاصية طاليس في المثلث A F E AFE A F E
A I A F = A D A E \frac{AI}{AF} = \frac{AD}{AE} A F A I = A E A D
نعلم أن:
A F = G H = 9 cm AF = GH = 9\text{ cm} A F = G H = 9 cm (لأن
A F G H AFGH A F G H مستطيل).
A I = 3 cm AI = 3\text{ cm} A I = 3 cm .
A E = 2 × A I = 2 × 3 = 6 cm AE = 2 \times AI = 2 \times 3 = 6\text{ cm} A E = 2 × A I = 2 × 3 = 6 cm .
بالتعويض:
3 9 = A D 6 ⟹ A D = 3 × 6 9 = 18 9 = 2 cm \frac{3}{9} = \frac{AD}{6} \implies AD = \frac{3 \times 6}{9} = \frac{18}{9} = 2\text{ cm} 9 3 = 6 A D ⟹ A D = 9 3 × 6 = 9 18 = 2 cm
إذن، مساحة المستطيل A B C D ABCD A B C D
S 1 = 7 × 2 = 14 cm 2 S_1 = 7 \times 2 = 14\text{ cm}^2 S 1 = 7 × 2 = 14 cm 2
حساب مساحة المستطيل E D J K EDJK E D J K S 2 S_2 S 2
S 2 = E D × D J S_2 = ED \times DJ S 2 = E D × D J
E D = A E − A D = 6 − 2 = 4 cm ED = AE - AD = 6 - 2 = 4\text{ cm} E D = A E − A D = 6 − 2 = 4 cm
من التشفير الموجود في الشكل، النقطة J J J [ D C ] [DC] [ D C ] [ D J ] [DJ] [ D J ] [ J C ] [JC] [ J C ]
وأن D C = A B = 7 cm DC = AB = 7\text{ cm} D C = A B = 7 cm
D J = D C 2 = 7 2 = 3.5 cm DJ = \frac{DC}{2} = \frac{7}{2} = 3.5\text{ cm} D J = 2 D C = 2 7 = 3.5 cm
إذن، مساحة المستطيل E D J K EDJK E D J K
S 2 = 4 × 3.5 = 14 cm 2 S_2 = 4 \times 3.5 = 14\text{ cm}^2 S 2 = 4 × 3.5 = 14 cm 2 بما أن S 1 = 14 cm 2 S_1 = 14\text{ cm}^2 S 1 = 14 cm 2 S 2 = 14 cm 2 S_2 = 14\text{ cm}^2 S 2 = 14 cm 2 S 1 = S 2 S_1 = S_2 S 1 = S 2
المشهد الأول: رصد العدو
1. حساب البعد بين الدبابة وقاعدة البرج (الطول A C AC A C
في المثلث A C B ACB A C B C C C
tan ( C B A ^ ) = الضلع المقابل الضلع المجاور = A C B C \tan(\widehat{CBA}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{AC}{BC} tan ( C B A ) = الضلع المجاور الضلع المقابل = B C A C
tan ( 75 ∘ ) = A C 45 \tan(75^\circ) = \frac{AC}{45} tan ( 7 5 ∘ ) = 45 A C
A C = 45 × tan ( 75 ∘ ) AC = 45 \times \tan(75^\circ) A C = 45 × tan ( 7 5 ∘ )
A C ≈ 45 × 3.73205 = 167.942 m AC \approx 45 \times 3.73205 = 167.942\text{ m} A C ≈ 45 × 3.73205 = 167.942 m
بالتدوير إلى الوحدة:
A C ≈ 168 m AC \approx 168\text{ m} A C ≈ 168 m البعد بين الدبابة وقاعدة البرج هو 168 m 168\text{ m} 168 m
2. حساب ارتفاع الطائرة عن الأرض (الطول E D ED E D
من الشكل، يتبين أن الارتفاع الكلي هو:
E D = E F + F D ED = EF + FD E D = E F + F D
وحيث إن الشكل F D C B FDCB F D C B F D = B C = 45 m FD = BC = 45\text{ m} F D = B C = 45 m
حساب الطول E F EF E F E F B EFB E F B F F F
sin ( F B E ^ ) = الضلع المقابل الوتر = E F E B \sin(\widehat{FBE}) = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{EF}{EB} sin ( F B E ) = الوتر الضلع المقابل = E B E F
sin ( 60 ∘ ) = E F 190 \sin(60^\circ) = \frac{EF}{190} sin ( 6 0 ∘ ) = 190 E F
E F = 190 × sin ( 60 ∘ ) ≈ 190 × 0.86602 = 164.544 m EF = 190 \times \sin(60^\circ) \approx 190 \times 0.86602 = 164.544\text{ m} E F = 190 × sin ( 6 0 ∘ ) ≈ 190 × 0.86602 = 164.544 m
إذن الارتفاع الكلي E D ED E D
E D = 164.544 + 45 = 209.544 m ED = 164.544 + 45 = 209.544\text{ m} E D = 164.544 + 45 = 209.544 m
بالتدوير إلى الوحدة:
E D ≈ 210 m ED \approx 210\text{ m} E D ≈ 210 m ارتفاع الطائرة عن الأرض بالتدوير إلى الوحدة هو 210 m 210\text{ m} 210 m
المشهد الثاني: المواجهة
1. حساب المسافة بين المقاتلة ومكان انفجار القنبلة (الطول E G EG E G
من المعطيات والشكل الثاني:
الارتفاع الكلي للطائرة
E D = 210 m ED = 210\text{ m} E D = 210 m .
ارتفاع مكان الانفجار
G F = 180 m GF = 180\text{ m} GF = 180 m .
المسافة بين الدبابة ومكان الانفجار
A G = 540 m AG = 540\text{ m} A G = 540 m .
المستقيمان
( E D ) (ED) ( E D ) و
( G F ) (GF) ( GF ) عموديان على الأرض
( A D ) (AD) ( A D ) ، فهما متوازيان:
( G F ) ∥ ( E D ) (GF) \parallel (ED) ( GF ) ∥ ( E D ) .
بتطبيق خاصية طاليس في المثلث A D E ADE A D E G ∈ [ A E ] G \in [AE] G ∈ [ A E ] F ∈ [ A D ] F \in [AD] F ∈ [ A D ]
A G A E = G F E D \frac{AG}{AE} = \frac{GF}{ED} A E A G = E D GF
بالتعويض بالقيم العددية:
540 A E = 180 210 \frac{540}{AE} = \frac{180}{210} A E 540 = 210 180
A E = 540 × 210 180 = 630 m AE = \frac{540 \times 210}{180} = 630\text{ m} A E = 180 540 × 210 = 630 m
المسافة بين المقاتلة ومكان الانفجار هي القطعة المستقيمية E G EG E G
E G = A E − A G = 630 − 540 = 90 m EG = AE - AG = 630 - 540 = 90\text{ m} E G = A E − A G = 630 − 540 = 90 m المسافة بين المقاتلة ومكان انفجار القنبلة هي: 90 m 90\text{ m} 90 m
المشهد الثالث: تنظيم الصفوف
1. إيجاد أكبر عدد ممكن من الكتائب المتماثلة: تشكيل أكبر عدد ممكن من الكتائب المتماثلة كليًا من حيث عدد الجنود والطيارين يعني البحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين 686 و 224.
أكبر عدد ممكن من الكتائب هو:
PGCD ( 686 , 224 ) = 14 \text{PGCD}(686, 224) = 14 PGCD ( 686 , 224 ) = 14
(حُسب سابقًا في السؤال الأول من التمرين الأول).
أكبر عدد ممكن من الكتائب التي يمكن تشكيلها هو 14 14 14
2. إيجاد عدد الطيارين وعدد الجنود في كل كتيبة:
686 14 = 49 جنديًا \frac{686}{14} = 49 \text{ جنديًا} 14 686 = 49 جنديًا
عدد الطيارين في كل كتيبة:
224 14 = 16 طيارًا \frac{224}{14} = 16 \text{ طيارًا} 14 224 = 16 طيارًا تحتوي كل كتيبة على 49 جنديًا و 16 طيارًا .