نستخدم خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) للحصول على القاسم المشترك الأكبر بطريقة منظمة ودقيقة، حيث يكون $\text{PGCD}$ هو آخر باقي غير معدوم.

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $14$، فإن:

القاسم المشترك الأكبر للعددين 686 و 224 هو: $\text{PGCD}(686, 224) = 14$.

لدينا العبارة:

العدد $A = 2$، وهو عدد طبيعي.

لدينا العبارة:

نحلل الأعداد تحت الراديكال إلى جذاء عوامل أحدها 14:

بالتعويض في العبارة $B$:

كتابة العدد $B$ على الشكل $c\sqrt{14}$ هي: $B = 9\sqrt{14}$ (حيث $c = 9$).

لنعلّم المقامات، نضرب كلًا من البسط والمقام في الجذر التربيعي $\sqrt{14}$:

كتابة النسبة بمقام ناطق هي: $\frac{5}{B} = \frac{5\sqrt{14}}{126}$.

نشر وتبسيط الطرف الأيسر للمساواة باستخدام المتطابقة الشهيرة الثانية $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

المساواة محققة بالفعل لأن: $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$.

لدينا العبارة المعطاة:

نلاحظ أن الحدود الثلاثة الأولى يمكن إخراج العامل المشترك $3$ منها:

وبالاستعانة بالنتيجة المحصل عليها في السؤال الأول $(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2)$، نعوّض في العبارة $A$:

نستخرج العامل المشترك $(2x - 3)$:

التحليل النهائي للعبارة $A$ هو: $A = (2x - 3)(5x - 8)$.

تؤول المعادلة إلى معادلة الجداء المعدوم:

يعني أن:

للمعادلة حلان هما: $x = \frac{3}{2}$ و $x = \frac{8}{5}$.

بما أن المضلع $ABC$ مرسوم داخل الدائرة $(C)$ وأحد أضلاعه $[BC]$ هو قطر لهذه الدائرة، فإن المثلث $ABC$ قائم في $A$ حسب خاصية المثلث المحاط بدائرة.

في المثلث القائم $ABC$ في $A$:

بالتعويض بالقيم المعطاة ($AB = 4\text{ cm}$ و $AC = 8\text{ cm}$):

باستخدام الحاسبة ($\tan^{-1}(0.5)$):

بالتدوير إلى الدرجة (نظرًا لأن الجزء من عشرة هو 5):

قيس الزاوية $\widehat{BCA}$ بالتدوير إلى الدرجة هو: $27^\circ$.

بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $ABC$ في $A$:

القيمة المضبوطة للطول $BC$ هي: $BC = 4\sqrt{5}\text{ cm}$.

نعلم أن $AB = 7\text{ cm}$. لنحسب الطول $AD$:

في المثلث $AFE$، لدينا النقطة $I \in [AF]$ والنقطة $D \in [AE]$، والمستقيمان $(ID)$ و $(FE)$ متوازيان (لأن كليهما عمودي على المستقيم $AE$ من خواص المستطيلات).

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث $AFE$:

نعلم أن:

بالتعويض:

إذن، مساحة المستطيل $ABCD$ هي:

من التشفير الموجود في الشكل، النقطة $J$ هي منتصف قطعة المستقيم $[DC]$ (رمز التساوي `//` على القطعتين $[DJ]$ و $[JC]$).

وأن $DC = AB = 7\text{ cm}$.

إذن، مساحة المستطيل $EDJK$ هي:

بما أن $S_1 = 14\text{ cm}^2$ و $S_2 = 14\text{ cm}^2$، فإن المساحتين متساويتان: $S_1 = S_2$.

في المثلث $ACB$ القائم في $C$ (البرج شاقولي على الأرض):

بالتدوير إلى الوحدة:

البعد بين الدبابة وقاعدة البرج هو $168\text{ m}$ تقريبًا.

من الشكل، يتبين أن الارتفاع الكلي هو:

وحيث إن الشكل $FDCB$ مستطيل، فإن $FD = BC = 45\text{ m}$.

حساب الطول $EF$ في المثلث $EFB$ القائم في $F$:

إذن الارتفاع الكلي $ED$:

بالتدوير إلى الوحدة:

ارتفاع الطائرة عن الأرض بالتدوير إلى الوحدة هو $210\text{ m}$.

من المعطيات والشكل الثاني:

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث $ADE$ حيث $G \in [AE]$ و $F \in [AD]$:

بالتعويض بالقيم العددية:

المسافة بين المقاتلة ومكان الانفجار هي القطعة المستقيمية $EG$:

المسافة بين المقاتلة ومكان انفجار القنبلة هي: $90\text{ m}$.

تشكيل أكبر عدد ممكن من الكتائب المتماثلة كليًا من حيث عدد الجنود والطيارين يعني البحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين 686 و 224.

أكبر عدد ممكن من الكتائب هو:

(حُسب سابقًا في السؤال الأول من التمرين الأول).

أكبر عدد ممكن من الكتائب التي يمكن تشكيلها هو $14$ كتيبة.

تحتوي كل كتيبة على 49 جنديًا و 16 طيارًا.