نطبق خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $78$، فإن:

لقسمة بسط ومقام الكسر على قاسمهما المشترك الأكبر $\text{PGCD}(1248, 1014) = 78$:

الكسر غير القابل للاختزال هو: $\frac{13}{16}$.

لدينا العبارة:

نعوض الكسر $\frac{1014}{1248}$ بشكله المختزل $\frac{13}{16}$:

أولاً: نجري عملية الضرب (أولوية الحساب للضرب):

ثانياً: نجري عملية الجمع بتوحيد المقامات (المقام المشترك هو $32$):

لدينا العبارة:

نقوم بتبسيط الجذور الصماء بكتابتها على الشكل $a\sqrt{2}$:

بالتعويض في العبارة $A$:

وهو المطلوب: $A = 3\sqrt{2}$.

لدينا: $A = 3\sqrt{2}$ و $B = \sqrt{2} - 2\sqrt{5}$.

باستعمال خاصية التوزيع:

لتنطيق المقام، نضرب كل من البسط والمقام في الجذر $\sqrt{2}$:

يمكن اختزال الكسر بقسمة جميع أطرافه على $2$:

أ) رسم الشكل:

يقوم التلميذ برسم المثلث $ABC$ بأطوال أضلاعه المعطاة: $AB = 4\text{ cm}$، $AC = 3\text{ cm}$، $BC = 5\text{ cm}$.

ب) إثبات أن المثلث $ABC$ قائم في $A$:

نستعمل الخاصية العكسية لفيثاغورس:

نحسب مربع أطول ضلع (الوتر المفترض $BC$):

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

نلاحظ أن:

حسب الخاصية العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث $ABC$ قائم في النقطة $A$.

النقطة $D$ تنتمي إلى نصف المستقيم $[AB)$ بحيث $AD = 10\text{ cm}$.

بما أن $AB = 4\text{ cm}$، فإن النقطة $B$ تقع بين $A$ و $D$، وبالتالي:

نعلل التوازي بين المستقيمين $(AC)$ و $(DE)$:

تطبيق خاصية طاليس في المثلثين $BAC$ و $BDE$ اللذين يتقاطعان في النقطة $B$:

نعوض الأطوال المعلومة:

منه:

الطول $BE = 7.5\text{ cm}$.

لدينا:

نحسب النسبتين $\frac{BM}{BA}$ و $\frac{BN}{BC}$ ونقارن بينهما:

نلاحظ أن:

وبما أن النقاط $M, B, A$ من جهة والنقاط $N, B, C$ من جهة أخرى مرتبة بنفس الترتيب،

حسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس، فإن المستقيمين $(MN)$ و $(AC)$ متوازيان:

من الشكل المقابل:

في المثلث القائم $ABC$ في النقطة $A$:

منه:

يمكن إعطاؤها بالشكل المضبوط الناطق:

نعلم أن $\sin(30^\circ) = 0.5$:

من المعطيات والشكل الوارد في المسألة:

نعلم أن العامود النصب $(AB)$ والعمود الكهربائي $(MN)$ كلاهما عموديان على سطح الأرض $(AC)$، إذن:

بتطبيق خاصية طاليس في المثلث $ABC$ حيث $(MN) // (AB)$ والنقاط $C, M, A$ و $C, N, B$ على استقامة واحدة:

بالتعويض بالأطوال المعلومة:

نستخرج قيمة $AB$:

ارتفاع مقام الشهيد هو: $AB = 92\text{ m}$.

في المثلث القائم $NMC$ في النقطة $M$:

باستعمال الآلة الحاسبة (اللمسة $\tan^{-1}$ أو $\text{2ndF} + \tan$):

بالتدوير إلى الوحدة (الرقم الأول بعد الفاصلة هو $1 < 5$):

قيس زاوية الرؤية بالتدوير إلى الوحدة هو:

معطيات الصفيحة:

لتقسيم الصفيحة إلى مربعات متقايسة ودون ضياع، يجب أن يكون طول ضلع المربع قاسماً مشتركاً لكل من الطول والعرض.

وللحصول على أكبر طول ضلع ممكن، يجب أن يكون هذا الطول هو القاسم المشترك الأكبر (PGCD) للطول والعرض.

نحسب $\text{PGCD}(110, 70)$ باستخدام خوارزمية إقليدس:

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $10$، فإن:

طول ضلع كل مربع هو: $10\text{ cm}$.

(طريقة ثانية للحساب: قسمة مساحة الصفيحة الكلية على مساحة المربع الواحد):

عدد المربعات التي سيتحصل عليها الحرفي هو: 77 مربعاً.