📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 69 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)
المادة: الرياضيات
الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول
📌

الجزء الأول: (12 نقطة)

📌

التمرين الأول: (03 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 20755 و 9488:

💡إضاءة وتنبيه:
نعتمد على خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية) للحصول على القاسم المشترك الأكبر PGCD⁡\operatorname{PGCD}، وهو آخر باقٍ غير معدوم.

نُجري عمليات القسمة الإقليدية المتتالية:

20755=9488×2+177920755 = 9488 \times 2 + 1779
9488=1779×5+5939488 = 1779 \times 5 + 593
1779=593×3+01779 = 593 \times 3 + 0

بما أن آخر باقٍ غير معدوم هو 593593، فإن:

✅الإجابة النموذجية:
PGCD⁡(20755,9488)=593\operatorname{PGCD}(20755, 9488) = 593

2) جعل الكسر 948820755\frac{9488}{20755} غير قابل للاختزال:

لاختزال الكسر إلى أقصى حد، نقسم كلاً من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما PGCD⁡(20755,9488)=593\operatorname{PGCD}(20755, 9488) = 593:

948820755=9488÷59320755÷593=1635\frac{9488}{20755} = \frac{9488 \div 593}{20755 \div 593} = \frac{16}{35}
✅الإجابة النموذجية:

الكسر غير القابل للاختزال هو:

948820755=1635\frac{9488}{20755} = \frac{16}{35}

3) تبيان أن العبارة AA عدد طبيعي:

لدينا العبارة:

A=85+948820755×78A = \frac{8}{5} + \frac{9488}{20755} \times \frac{7}{8}

نعوض الكسر 948820755\frac{9488}{20755} بالشكل المختزل 1635\frac{16}{35}:

A=85+(1635×78)A = \frac{8}{5} + \left(\frac{16}{35} \times \frac{7}{8}\right)

نُطبق أولوية الحساب للضرب أولاً، مع التبسيط قبل الضرب:

1635×78=(2×8)×7(5×7)×8=25\frac{16}{35} \times \frac{7}{8} = \frac{(2 \times 8) \times 7}{(5 \times 7) \times 8} = \frac{2}{5}

نعوض الناتج في العبارة AA:

A=85+25=8+25=105=2A = \frac{8}{5} + \frac{2}{5} = \frac{8 + 2}{5} = \frac{10}{5} = 2
✅الإجابة النموذجية:

بما أن A=2A = 2 و 2∈N2 \in \mathbb{N}، فإن AA عدد طبيعي.

📌

التمرين الثاني: (02.5 نقاط)

1) كتابة العددين BB و CC على الشكل a2a\sqrt{2} حيث aa عدد طبيعي:

كتابة العدد BB:
B=98+332−128B = \sqrt{98} + 3\sqrt{32} - \sqrt{128}

فك الأعداد داخل الجذور على شكل جذاء أعداد يكون أحدها 22:

B=49×2+316×2−64×2B = \sqrt{49 \times 2} + 3\sqrt{16 \times 2} - \sqrt{64 \times 2}
B=72+3×42−82B = 7\sqrt{2} + 3 \times 4\sqrt{2} - 8\sqrt{2}
B=72+122−82B = 7\sqrt{2} + 12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}
B=(7+12−8)2=112B = (7 + 12 - 8)\sqrt{2} = 11\sqrt{2}
كتابة العدد CC:
C=218−50C = 2\sqrt{18} - \sqrt{50}
C=29×2−25×2C = 2\sqrt{9 \times 2} - \sqrt{25 \times 2}
C=2×32−52C = 2 \times 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2}
C=62−52=(6−5)2=12=2C = 6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = (6 - 5)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2}
✅الإجابة النموذجية:
B=112وC=2B = 11\sqrt{2} \quad \text{و} \quad C = \sqrt{2}

2) تبيان أن مقلوب BB هو C22\frac{C}{22}:

مقلوب العدد BB هو 1B\frac{1}{B}.

نعوض قيمتي B=112B = 11\sqrt{2} و C=2C = \sqrt{2}:

1B=1112\frac{1}{B} = \frac{1}{11\sqrt{2}}

نجعل مقام النسبة عدداً ناطقاً بضرب البسط والمقام في 2\sqrt{2}:

1B=1×2112×2=211×2=222\frac{1}{B} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{11\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{11 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{22}

وبما أن C=2C = \sqrt{2}، نعوض 2\sqrt{2} بـ CC:

1B=C22\frac{1}{B} = \frac{C}{22}
✅الإجابة النموذجية:

مقلوب العدد BB هو بالفعل C22\frac{C}{22}.

📌

التمرين الثالث: (04 نقاط)

تُعطى العبارة الجبرية:

D=(3x−2)2−(x+1)2D = (3x - 2)^2 - (x + 1)^2

1) التحقق بالنشر والتبسيط أن D=8x2−14x+3D = 8x^2 - 14x + 3:

نُنشر كل طرف باستخدام المتطابقات الشهيرة:

المتطابقة الأولى: (3x−2)2=(3x)2−2(3x)(2)+22=9x2−12x+4(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4
المتطابقة الثانية: (x+1)2=x2+2(x)(1)+12=x2+2x+1(x + 1)^2 = x^2 + 2(x)(1) + 1^2 = x^2 + 2x + 1

نعوض في العبارة DD:

D=(9x2−12x+4)−(x2+2x+1)D = (9x^2 - 12x + 4) - (x^2 + 2x + 1)

ننزع الأقواس مع تغيير إشارات الحدود داخل القوس الثاني (لأنه مسبوق بإشارة - \):

D=9x2−12x+4−x2−2x−1D = 9x^2 - 12x + 4 - x^2 - 2x - 1

نجمع الحدود المتشابهة:

D=(9x2−x2)+(−12x−2x)+(4−1)D = (9x^2 - x^2) + (-12x - 2x) + (4 - 1)
D=8x2−14x+3D = 8x^2 - 14x + 3
✅الإجابة النموذجية:

النشر والتبسيط يعطي فعلياً: D=8x2−14x+3D = 8x^2 - 14x + 3.

2) تحليل العبارة DD إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى:

العبارة DD على الشكل a2−b2a^2 - b^2 حيث a=(3x−2)a = (3x - 2) و b=(x+1)b = (x + 1).

نطبق القاعدة: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

D=[(3x−2)−(x+1)]×[(3x−2)+(x+1)]D = [(3x - 2) - (x + 1)] \times [(3x - 2) + (x + 1)]
D=[3x−2−x−1]×[3x−2+x+1]D = [3x - 2 - x - 1] \times [3x - 2 + x + 1]
D=(2x−3)(4x−1)D = (2x - 3)(4x - 1)
✅الإجابة النموذجية:

التحليل النهائي للعبارة DD هو:

D=(2x−3)(4x−1)D = (2x - 3)(4x - 1)

3) حل المعادلة (2x−3)(4x−1)=0(2x - 3)(4x - 1) = 0:

💡إضاءة وتنبيه:
معادلة الجداء المعدوم تعني أن أحد العاملين يساوي الصفر على الأقل.

إما:

2x−3=0  ⟹  2x=3  ⟹  x=32=1.52x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5

أو:

4x−1=0  ⟹  4x=1  ⟹  x=14=0.254x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4} = 0.25
✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: x=14x = \frac{1}{4} و x=32x = \frac{3}{2}.

📌

التمرين الرابع: (02.5 نقاط)

إيجاد قيمة xx:

من معطيات الشكل والشروط:

النقاط A,M,BA, M, B على استقامية واحدة.
النقاط A,N,CA, N, C على استقامية واحدة.
المستقيمان (d)(d) و (d′)(d') متوازيان، أي أن (BC)∥(MN)(BC) \parallel (MN).

نطبق خاصية طالس في المثلث ABCABC:

AMAB=ANAC=MNBC\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

لدينا الأطوال التالية:

AM=xAM = x
BM=8  ⟹  AB=AM+MB=x+8BM = 8 \implies AB = AM + MB = x + 8
MN=12MN = 12
BC=15BC = 15

نعوض في النسبتين المعلومتين:

xx+8=1215\frac{x}{x + 8} = \frac{12}{15}

نختزل الكسر 1215\frac{12}{15} بقسمة البسط والمقام على 33:

1215=45\frac{12}{15} = \frac{4}{5}

إذن:

xx+8=45\frac{x}{x + 8} = \frac{4}{5}

باستعمال الجداء التصالبي (الطرفين في الوسطين):

5×x=4×(x+8)5 \times x = 4 \times (x + 8)
5x=4x+325x = 4x + 32
5x−4x=325x - 4x = 32
x=32x = 32
✅الإجابة النموذجية:

قيمة xx هي: x=32 cmx = 32 \text{ cm}.

📌

الجزء الثاني: الوضعية الإدماجية (08 نقاط)

💡إضاءة وتنبيه:
تعطى النتائج بالتدوير إلى الوحدة وفق نص السؤال.

1) التعبير عن ارتفاع الهرم ABAB بدلالة tan⁡∠ADB\tan \angle ADB ومرة أخرى بدلالة tan⁡∠ACB\tan \angle ACB:

في المثلث ABDABD القائم في AA:

tan⁡∠ADB=الضلع المقابلالضلع المجاور=ABAD\tan \angle ADB = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{AB}{AD}

نعلم أن AD=DC+CA=30+xAD = DC + CA = 30 + x.

إذن:

tan⁡∠ADB=AB30+x  ⟹  AB=(30+x)⋅tan⁡∠ADB\tan \angle ADB = \frac{AB}{30 + x} \implies AB = (30 + x) \cdot \tan \angle ADB

في المثلث ABCABC القائم في AA:

tan⁡∠ACB=الضلع المقابلالضلع المجاور=ABAC=ABx\tan \angle ACB = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{x}

إذن:

tan⁡∠ACB=ABx  ⟹  AB=x⋅tan⁡∠ACB\tan \angle ACB = \frac{AB}{x} \implies AB = x \cdot \tan \angle ACB
✅الإجابة النموذجية:
بدلالة tan⁡∠ADB\tan \angle ADB: AB=(30+x)⋅tan⁡(30∘)\quad AB = (30 + x) \cdot \tan(30^\circ)
بدلالة tan⁡∠ACB\tan \angle ACB: AB=x⋅tan⁡(50∘)\quad AB = x \cdot \tan(50^\circ)

2) إيجاد الطول ACAC (الذي يمثل xx):

بما أن العبارتين تمثلان نفس الارتفاع ABAB، نساوي بينهما:

x⋅tan⁡(50∘)=(30+x)⋅tan⁡(30∘)x \cdot \tan(50^\circ) = (30 + x) \cdot \tan(30^\circ)

نُنشر الطرف الأيمن:

x⋅tan⁡(50∘)=30⋅tan⁡(30∘)+x⋅tan⁡(30∘)x \cdot \tan(50^\circ) = 30 \cdot \tan(30^\circ) + x \cdot \tan(30^\circ)

نجمع الحدود التي تتضمن xx في الطرف الأيسر:

x⋅tan⁡(50∘)−x⋅tan⁡(30∘)=30⋅tan⁡(30∘)x \cdot \tan(50^\circ) - x \cdot \tan(30^\circ) = 30 \cdot \tan(30^\circ)

نستخرج xx كعامل مشترك:

x(tan⁡(50∘)−tan⁡(30∘))=30⋅tan⁡(30∘)x \left(\tan(50^\circ) - \tan(30^\circ)\right) = 30 \cdot \tan(30^\circ)
x=30⋅tan⁡(30∘)tan⁡(50∘)−tan⁡(30∘)x = \frac{30 \cdot \tan(30^\circ)}{\tan(50^\circ) - \tan(30^\circ)}

الحساب العددي باستعمال الحاسبة:

tan⁡(50∘)≈1.1918\tan(50^\circ) \approx 1.1918
tan⁡(30∘)≈0.5774\tan(30^\circ) \approx 0.5774
tan⁡(50∘)−tan⁡(30∘)≈1.1918−0.5774=0.6144\tan(50^\circ) - \tan(30^\circ) \approx 1.1918 - 0.5774 = 0.6144
30⋅tan⁡(30∘)≈30×0.5774=17.320530 \cdot \tan(30^\circ) \approx 30 \times 0.5774 = 17.3205
x=17.32050.6144≈28.19 mx = \frac{17.3205}{0.6144} \approx 28.19 \text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة:

x≈28 mx \approx 28 \text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

الطول AC=28 mAC = 28 \text{ m} (مُدوّراً إلى الوحدة).

3) حساب ارتفاع الهرم ABAB بأخذ قيمة x=28 mx = 28 \text{ m}:

نعوض قيمة x=28 mx = 28 \text{ m} في عبارة AB=x⋅tan⁡(50∘)AB = x \cdot \tan(50^\circ):

AB=28×tan⁡(50∘)≈28×1.19175=33.369 mAB = 28 \times \tan(50^\circ) \approx 28 \times 1.19175 = 33.369 \text{ m}

بالتدوير إلى الوحدة:

AB≈33 mAB \approx 33 \text{ m}
✅الإجابة النموذجية:

ارتفاع الهرم هو AB=33 mAB = 33 \text{ m}.

4) حساب عدد الحجارة المستعملة لبناء الهرم المنتظم:

لحساب عدد الحجارة، نحسب أولاً الحجم الكلي للهرم VهرمV_{\text{هرم}} ثم نقسمه على حجم الحجر الواحد (22 m322 \text{ m}^3).

قاعدة الهرم مربعة الشكل، وطول ضلعها يساوي 2x2x (لأن منتصف القاعدة هو AA وطول نصف الضلع هو AC=xAC = x).

نعوض في قانون حجم الهرم المُعطى:

Vهرم=Aقاعدة×h3=(2x)2×AB3V_{\text{هرم}} = \frac{A_{\text{قاعدة}} \times h}{3} = \frac{(2x)^2 \times AB}{3}

نعوض القيم الحسابية (x=28 mx = 28 \text{ m} و AB=33 mAB = 33 \text{ m}):

طول ضلع القاعدة: 2x=2×28=56 m2x = 2 \times 28 = 56 \text{ m}
مساحة القاعدة: Aقاعدة=(56)2=3136 m2A_{\text{قاعدة}} = (56)^2 = 3136 \text{ m}^2
Vهرم=3136×333=3136×11=34496 m3V_{\text{هرم}} = \frac{3136 \times 33}{3} = 3136 \times 11 = 34496 \text{ m}^3

حساب عدد الحجارة NN:

N=VهرمVالحجر الواحد=3449622=1568N = \frac{V_{\text{هرم}}}{V_{\text{الحجر الواحد}}} = \frac{34496}{22} = 1568
✅الإجابة النموذجية:

عدد الحجارة التي ستُستخدم لبناء الهرم هو 1568 حجرًا.