Paper #85 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

PDFAI solution2021Free download

Preview or download this Mathematics Term Exam as a PDF on DzMadrassa.

Sujet n° 85

Solution IA2021

Download

Preferred on Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 85 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول (04 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 192 و 56: $\text{PGCD}(192; 56)$

باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

192 = 56 \times 3 + 24

56 = 24 \times 2 + 8

24 = 8 \times 3 + 0

💡إضاءة وتنبيه:

القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير معدوم في خوارزمية القسمات المتتالية.

✅الإجابة النموذجية:

\text{PGCD}(192; 56) = 8

2) تبيان أن العدد $A$ عدد طبيعي:

لدينا العبارة:

A = \frac{192}{56} - \frac{4}{7} \times \frac{5}{2}

اختزال الكسر الأول بنقسمة البسط والمقام على

\text{PGCD}(192; 56) = 8

\frac{192 \div 8}{56 \div 8} = \frac{24}{7}

حساب جذاء الكسرين:

\frac{4}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{4 \times 5}{7 \times 2} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}

حساب قيمة $A$ :

A = \frac{24}{7} - \frac{10}{7} = \frac{24 - 10}{7} = \frac{14}{7} = 2

✅الإجابة النموذجية:

العدد $A = 2$ وهو عدد طبيعي.

3) تبسيط العدد $B$ :

لدينا:

B = 3\sqrt{27} - \sqrt{108} + \sqrt{3}

كتابة المربعات التامة تحت الراديكالي على الشكل $a\sqrt{3}$ :

\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}

\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}

بالتعويض في العبارة $B$ :

B = 3(3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3} + \sqrt{3}

B = 9\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 1\sqrt{3} = (9 - 6 + 1)\sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

B = 4\sqrt{3}

4) كتابة $C$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

لدينا:

C = \frac{A + \sqrt{3}}{B}

بالتعويض بقيمتي $A = 2$ و $B = 4\sqrt{3}$ :

C = \frac{2 + \sqrt{3}}{4\sqrt{3}}

بضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}$ :

C = \frac{(2 + \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{4 \times 3}

✅الإجابة النموذجية:

C = \frac{2\sqrt{3} + 3}{12}

📌

التمرين الثاني (04.5 نقاط)

لدينا العبارة:

E = 16x^2 - 25 - (4x - 5)(x + 2)

1) تبيان بالنشر أن: $E = 12x^2 - 3x - 15$

نشر الجزء

(4x - 5)(x + 2)

(4x - 5)(x + 2) = 4x(x) + 4x(2) - 5(x) - 5(2) = 4x^2 + 8x - 5x - 10 = 4x^2 + 3x - 10

التعويض في العبارة

E

E = 16x^2 - 25 - (4x^2 + 3x - 10)

E = 16x^2 - 25 - 4x^2 - 3x + 10

E = (16x^2 - 4x^2) - 3x + (-25 + 10)

✅الإجابة النموذجية:

E = 12x^2 - 3x - 15

2) تحليل العبارة $16x^2 - 25$ ، ثم استنتاج تحليل العبارة $E$ :

أ) تحليل العبارة $16x^2 - 25$ :

العبارة من الشكل $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ حيث $a = 4x$ و $b = 5$ :

16x^2 - 25 = (4x)^2 - (5)^2 = (4x - 5)(4x + 5)

ب) استنتاج تحليل العبارة $E$ :

نعوض التحليل السابق في العبارة $E$ :

E = (4x - 5)(4x + 5) - (4x - 5)(x + 2)

نستخرج العامل المشترك $(4x - 5)$ :

E = (4x - 5) \left[ (4x + 5) - (x + 2) \right]

E = (4x - 5) (4x + 5 - x - 2)

✅الإجابة النموذجية:

E = (4x - 5)(3x + 3) \quad \text{أو} \quad E = 3(4x - 5)(x + 1)

3) حل المعادلة $E = 0$ :

تؤول المعادلة إلى معادلة الجداء المعدوم:

(4x - 5)(3x + 3) = 0

يعني أن:

4x - 5 = 0 \quad \text{أو} \quad 3x + 3 = 0

الحالة الأولى:

4x = 5 \implies x = \frac{5}{4} = 1.25

الحالة الثانية:

3x = -3 \implies x = \frac{-3}{3} = -1

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: $x = -1$ و $x = \frac{5}{4}$ .

📌

التمرين الثالث (03.5 نقاط)

معطيات الشكل:

AB = 6.4 \text{ cm}

AC = 4.8 \text{ cm}

BC = 8 \text{ cm}

AD = 1.2 \text{ cm}

AE = 1.6 \text{ cm}

1) تبيان أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ :

نطبق الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس في المثلث $ABC$ :

الأطول ضلعاً هو

BC = 8 \text{ cm}

BC^2 = 8^2 = 64

مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

AB^2 + AC^2 = (6.4)^2 + (4.8)^2 = 40.96 + 23.04 = 64

نلاحظ أن: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 64$ .

✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لنظرية فيثاغورس، فإن المثلث $ABC$ قائم في $A$ .

2) تبيان أن $(DE) \parallel (BC)$ :

نطبق الخاصية العكسية لنظرية طاليس على المستقيمين المتطابقين الناتجة عن التقاطع عند $A$ :

حساب النسبة الأولى:

\frac{AE}{AB} = \frac{1.6}{6.4} = \frac{16}{64} = 0.25

حساب النسبة الثانية:

\frac{AD}{AC} = \frac{1.2}{4.8} = \frac{12}{48} = 0.25

نلاحظ أن:

\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC} = 0.25

وبما أن النقاط $E, A, B$ والنقاط $D, A, C$ في استقامية وبنفس الترتيب.

✅الإجابة النموذجية:

حسب الخاصية العكسية لنظرية طاليس، فإن المستقيمين متوازيان: $(DE) \parallel (BC)$ .

📌

التمرين الرابع (03.5 نقاط)

1) حساب $\sin\alpha$ واستنتاج قيس الزاوية $\alpha$ بالتدوير إلى الوحدة:

علماً أن $\cos\alpha = 0.7$ :

نستخدم العلاقة المثلثية الأساسية:

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1

(0.7)^2 + \sin^2\alpha = 1 \implies 0.49 + \sin^2\alpha = 1

\sin^2\alpha = 1 - 0.49 = 0.51

\sin\alpha = \sqrt{0.51} \approx 0.7141

استنتاج قيس الزاوية $\alpha$ :

\alpha = \arccos(0.7) \approx 45.57^\circ

✅الإجابة النموذجية:

\sin\alpha \approx 0.71

قيس الزاوية بالتدوير إلى الوحدة:

\alpha \approx 46^\circ

2) حساب الطولين $HB$ و $HC$ بالتدوير إلى الوحدة:

من الشكل: المثلث $BHC$ قائم في $H$ وفيه $BC = 7\text{ cm}$ والزاوية $\widehat{BCH} = 30^\circ$ .

أ) حساب الطول $HB$ :

\sin(30^\circ) = \frac{HB}{BC} \implies \sin(30^\circ) = \frac{HB}{7}

HB = 7 \times \sin(30^\circ) = 7 \times 0.5 = 3.5 \text{ cm}

ب) حساب الطول $HC$ :

\cos(30^\circ) = \frac{HC}{BC} \implies \cos(30^\circ) = \frac{HC}{7}

HC = 7 \times \cos(30^\circ) = 7 \times 0.8660 \approx 6.062 \text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

الطول المضبوط

HB = 3.5 \text{ cm}

(أو بالتدوير إلى الوحدة

HB \approx 4 \text{ cm}

الطول

HC \approx 6 \text{ cm}

بالتدوير إلى الوحدة.

3) حساب الطول $AH$ بالتدوير إلى الوحدة:

من الشكل: المثلث $AHB$ قائم في $H$ وفيه $AB = 6\text{ cm}$ والزاوية $\widehat{ABH} = 20^\circ$ .

\sin(\widehat{ABH}) = \frac{AH}{AB} \implies \sin(20^\circ) = \frac{AH}{6}

AH = 6 \times \sin(20^\circ) \approx 6 \times 0.3420 \approx 2.052 \text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

بالتدوير إلى الوحدة: $AH \approx 2 \text{ cm}$ .

4) حساب مساحة المثلث $ABC$ بالتقريب إلى $0.1$ :

مساحة المثلث تساوي:

S = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{AC \times BH}{2}

الطول

AC = AH + HC = 2.052 + 6.062 = 8.114 \text{ cm}

الارتفاع المتعلق بها

BH = 3.5 \text{ cm}

S = \frac{8.114 \times 3.5}{2} = \frac{28.399}{2} = 14.1995 \text{ cm}^2

✅الإجابة النموذجية:

مساحة المثلث $ABC$ بالتقريب إلى $0.1$ هي: $S \approx 14.2 \text{ cm}^2$ .

📌

الوضعية الإدماجية (04.5 نقاط)

من مخطط الجسر الوارد في السند:

الجزء الأول:

1) تبيان أن $BE = 6 \text{ m}$ :

المثلث $ABE$ قائم في $E$ وفيه: $AB = 7.5 \text{ m}$ و $AE = 4.5 \text{ m}$ .

بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $ABE$ :

AB^2 = AE^2 + BE^2

(7.5)^2 = (4.5)^2 + BE^2

56.25 = 20.25 + BE^2

BE^2 = 56.25 - 20.25 = 36

BE = \sqrt{36} = 6 \text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

الارتفاع $BE = 6 \text{ m}$ .

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{EAB}$ بالتدوير إلى الوحدة:

في المثلث القائم $ABE$ :

\cos(\widehat{EAB}) = \frac{AE}{AB} = \frac{4.5}{7.5} = 0.6

باستخدام الحاسبة ( $\arccos(0.6)$ ):

\widehat{EAB} \approx 53.13^\circ

✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية بالتدوير إلى الوحدة هو: $\widehat{EAB} \approx 53^\circ$ .

الجزء الثاني:

1) حساب المسافة $FD$ :

المثلث $CFD$ قائم في $F$ ؛ ولدينا الارتفاع $CF = BE = 6 \text{ m}$ ، والوتر $CD = 10 \text{ m}$ .

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $CFD$ :

CD^2 = CF^2 + FD^2

10^2 = 6^2 + FD^2

100 = 36 + FD^2

FD^2 = 100 - 36 = 64

FD = \sqrt{64} = 8 \text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

المسافة $FD = 8 \text{ m}$ .

2) استنتاج المسافة الكلية $AD$ :

من المخطط الهندسي للجسر:

AD = AE + EF + FD

حيث أن الشكل $EBCF$ مستطيل، إذن: $EF = BC = 20 \text{ m}$ .

AD = 4.5 + 20 + 8 = 32.5 \text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

المسافة الإجمالية للجسر $AD = 32.5 \text{ m}$ .

الجزء الثالث:

وقع الهاتف عند النقطة $M$ من الجسر ويسقط عمودياً ليرتطم بالأرض عند النقطة $L$ .

1) حساب الارتفاع $ML$ الذي سقط منه الهاتف:

إثبات التوازي:

الخط المسقط $(ML)$ عمودي على الأرض $(AD)$ ، والعمود $(CF)$ عمودي أيضاً على الأرض $(AD)$ .

مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان، إذن: $(ML) \parallel (CF)$ .

تطبيق نظرية طاليس في المثلث $DFC$ :

بما أن $M \in [DC]$ و $L \in [DF]$ و $(ML) \parallel (CF)$ :

\frac{DM}{DC} = \frac{ML}{CF} = \frac{DL}{DF}

بالتعويض بالأطوال المعلومة ( $DM = 3\text{ m}$ ، $DC = 10\text{ m}$ ، $CF = 6\text{ m}$ ):

\frac{3}{10} = \frac{ML}{6}

ML = \frac{3 \times 6}{10} = \frac{18}{10} = 1.8 \text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

الارتفاع الذي سقط منه الهاتف هو $ML = 1.8 \text{ m}$ .

2) حساب بعد نقطة السقوط $L$ عن النقطة $D$ :

باستخدام نفس النسب المترتبة عن نظرية طاليس:

\frac{DL}{DF} = \frac{DM}{DC}

\frac{DL}{8} = \frac{3}{10}

DL = \frac{3 \times 8}{10} = \frac{24}{10} = 2.4 \text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

بعد نقطة السقوط $L$ عن النقطة $D$ هو: $DL = 2.4 \text{ m}$ .

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets 1st term exams Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :

ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Document pedagogical details

Detailed curriculum specs matching Algerian education ministry

Show

Download PDF document1.2 MB

Level4th Year Of Middle School

SubjectMathematics

Document typeTerm Exam

Period1st Term (2021)

SolutionExam paper ready for practice

ValidationOfficial curriculum compliant - High quality PDF

Download this Term Exam in Mathematics (4th Year Of Middle School) for effective revision on DzMadrassa.

💡 Study tip: Try solving the questions within the allotted time before consulting the answer key.

Paper #85 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 85 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول (04 نقاط)

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 192 و 56: PGCD(192;56)\text{PGCD}(192; 56)PGCD(192;56)

2) تبيان أن العدد AAA عدد طبيعي:

3) تبسيط العدد BBB:

4) كتابة CCC على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

التمرين الثاني (04.5 نقاط)

1) تبيان بالنشر أن: E=12x2−3x−15E = 12x^2 - 3x - 15E=12x2−3x−15

2) تحليل العبارة 16x2−2516x^2 - 2516x2−25، ثم استنتاج تحليل العبارة EEE:

أ) تحليل العبارة 16x2−2516x^2 - 2516x2−25:

ب) استنتاج تحليل العبارة EEE:

3) حل المعادلة E=0E = 0E=0:

التمرين الثالث (03.5 نقاط)

1) تبيان أن المثلث ABCABCABC قائم في AAA:

2) تبيان أن (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC)(DE)∥(BC):

التمرين الرابع (03.5 نقاط)

1) حساب sin⁡α\sin\alphasinα واستنتاج قيس الزاوية α\alphaα بالتدوير إلى الوحدة:

2) حساب الطولين HBHBHB و HCHCHC بالتدوير إلى الوحدة:

أ) حساب الطول HBHBHB:

ب) حساب الطول HCHCHC:

3) حساب الطول AHAHAH بالتدوير إلى الوحدة:

4) حساب مساحة المثلث ABCABCABC بالتقريب إلى 0.10.10.1:

الوضعية الإدماجية (04.5 نقاط)

الجزء الأول:

1) تبيان أن BE=6 mBE = 6 \text{ m}BE=6 m:

2) حساب قيس الزاوية EAB^\widehat{EAB}EAB بالتدوير إلى الوحدة:

الجزء الثاني:

1) حساب المسافة FDFDFD:

2) استنتاج المسافة الكلية ADADAD:

الجزء الثالث:

1) حساب الارتفاع MLMLML الذي سقط منه الهاتف:

2) حساب بعد نقطة السقوط LLL عن النقطة DDD:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Document pedagogical details

1) حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين 192 و 56: $\text{PGCD}(192; 56)$

2) تبيان أن العدد $A$ عدد طبيعي:

3) تبسيط العدد $B$ :

4) كتابة $C$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

1) تبيان بالنشر أن: $E = 12x^2 - 3x - 15$

2) تحليل العبارة $16x^2 - 25$ ، ثم استنتاج تحليل العبارة $E$ :

أ) تحليل العبارة $16x^2 - 25$ :

ب) استنتاج تحليل العبارة $E$ :

3) حل المعادلة $E = 0$ :

1) تبيان أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ :

2) تبيان أن $(DE) \parallel (BC)$ :

1) حساب $\sin\alpha$ واستنتاج قيس الزاوية $\alpha$ بالتدوير إلى الوحدة:

2) حساب الطولين $HB$ و $HC$ بالتدوير إلى الوحدة:

أ) حساب الطول $HB$ :

ب) حساب الطول $HC$ :

3) حساب الطول $AH$ بالتدوير إلى الوحدة:

4) حساب مساحة المثلث $ABC$ بالتقريب إلى $0.1$ :

1) تبيان أن $BE = 6 \text{ m}$ :

2) حساب قيس الزاوية $\widehat{EAB}$ بالتدوير إلى الوحدة:

1) حساب المسافة $FD$ :

2) استنتاج المسافة الكلية $AD$ :

1) حساب الارتفاع $ML$ الذي سقط منه الهاتف:

2) حساب بعد نقطة السقوط $L$ عن النقطة $D$ :