Paper #86 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

PDFAI solution2021Free download

Preview or download this Mathematics Term Exam as a PDF on DzMadrassa.

Sujet n° 86

Solution IA2021

Download

Preferred on Google

Official Admin-Approved Model Solution

Verified & Approved ✅

Pedagogical solution prepared according to official Algerian curriculum standards

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 86 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Corrigé officiel détaillé

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: الأعداد الحقيقية والحساب على الجذور

1) إيجاد العدد $x$ :

العدد $x$ يمثل القاسم المشترك الأكبر للعددين $721$ و $217$ ، أي: $x = \text{PGCD}(721; 217)$ .

باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

721 = 217 \times 3 + 70

217 = 70 \times 3 + 7

70 = 7 \times 10 + 0

آخر باقي غير معدوم هو $7$ .

✅الإجابة النموذجية:

قيمة العدد $x$ هي:

x = 7

2) كتابة العدد $y$ على الشكل $a\sqrt{3}$ :

لدينا: $y = \sqrt{147} - \sqrt{27}$

تبسيط الجذور:

\sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{49} \times \sqrt{3} = 7\sqrt{3}

\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}

بالتعويض في العبارة $y$ :

y = 7\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (7 - 3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

كتابة $y$ على الشكل $a\sqrt{3}$ هي:

y = 4\sqrt{3} \quad \text{حيث } a = 4

3) نشر وتبسيط العدد $z$ :

لدينا: $z = (2 + \sqrt{3})^2$

باستعمال المتطابقة الشهيرة الأولى $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

z = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2

z = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

نشر وتبسيط العدد $z$ هو:

z = 7 + 4\sqrt{3}

4) تبيان أن الجداء $z(x - y)$ عدد طبيعي:

لدينا:

x = 7

y = 4\sqrt{3}

x - y = 7 - 4\sqrt{3}

z = 7 + 4\sqrt{3}

حساب الجداء:

z(x - y) = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})

باستعمال المتطابقة الشهيرة الثالثة $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

z(x - y) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2

z(x - y) = 49 - (16 \times 3) = 49 - 48 = 1

💡إضاءة وتنبيه:

العدد $1$ هو عدد طبيعي لا يحتوي على جذور ولا على أجزاء عشرية.

✅الإجابة النموذجية:

الجداء $z(x - y) = 1$ ، وهو بالفعل عدد طبيعي.

📌

التمرين الثاني: الحساب الحرفي والمعادلات والمتراجحات

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

لدينا: $E = (2x - 3)(x + 2)$

بتوزيع الضرب:

E = 2x(x) + 2x(2) - 3(x) - 3(2)

E = 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 2x^2 + x - 6

✅الإجابة النموذجية:

التبسيط النهائي للعبارة $E$ هو:

E = 2x^2 + x - 6

2) تحليل العبارة $A$ إلى جداء عاملين:

لدينا العبارة: $A = (2x - 3)^2 - (2x^2 + x - 6)$

نلاحظ أن العبارة الثانية بين قوسين هي نفسها العبارة $E$ ، أي أن: $2x^2 + x - 6 = (2x - 3)(x + 2)$ .

بالتعويض:

A = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 2)

باستخراج العامل المشترك $(2x - 3)$ :

A = (2x - 3) \left[ (2x - 3) - (x + 2) \right]

A = (2x - 3) (2x - 3 - x - 2)

A = (2x - 3)(x - 5)

✅الإجابة النموذجية:

تحليل العبارة $A$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى هو:

A = (2x - 3)(x - 5)

3) حل المعادلة $-x + 2x(x + 1) = 6$ :

تبسيط الطرف الأيسر للمعادلة:

-x + 2x^2 + 2x = 6

2x^2 + x = 6 \implies 2x^2 + x - 6 = 0

نلاحظ أن العبارة $2x^2 + x - 6$ هي نفسها $(2x - 3)(x + 2)$ ، وبالتالي المعادلة تصبح معادلة جداء معدوم:

(2x - 3)(x + 2) = 0

إما:

2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5

أو:

x + 2 = 0 \implies x = -2

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما:

x = \frac{3}{2} \quad \text{و} \quad x = -2

4) حل المتراجحة $E \ge 2x^2 + 3x$ وتمثيل حلولها بيانياً:

نعوض $E$ بقيمتها المبسطة $2x^2 + x - 6$ :

2x^2 + x - 6 \ge 2x^2 + 3x

بنقل الحدود المتشابهة:

2x^2 - 2x^2 + x - 3x \ge 6

-2x \ge 6

بقسمة الطرفين على العدد السالم $(-2)$ ، تتغير اتجاه متباينة المتراجحة:

x \le \frac{6}{-2} \implies x \le -3

💡إضاءة وتنبيه:

عند القسمة أو الضرب في عدد سالب، يجب تغيير اتجاه رمز المتراجحة من ( $\ge$ ) إلى ( $\le$ ).

✅الإجابة النموذجية:

مجموعة حلول المتراجحة هي كل أعداد $x$ الأصغر من أو تساوي $-3$ .

التمثيل البياني للحلول:

نرسم مستقيماً مدرجاً، نحدد عليه القيمة $-3$ :

`--------[=== -3 ==================>`

الحلول هي قيم $x$ الواقعة على يسار القيمة $-3$ (بما فيها القيمة $-3$ )، ويكون العارضة موجهة نحو جهة الحلول: $[ -\infty ; -3 ]$ .

📌

التمرين الثالث: الخاصية المباشرة لطاليس والنسب المثلثية

1) حساب الطول $MH$ :

لدينا:

المثلث $ABC$ قائم في $B$ ، إذن: $(AB) \perp (BC)$ .

المستقيم $(\Delta)$ عمودي على $(BC)$ في النقطة $M$ ، والنقطة $H \in (\Delta)$ ، إذن: $(MH) \perp (BC)$ .

بما أن المستقيمين $(AB)$ و $(MH)$ عموديان على نفس المستقيم $(BC)$ ، فإنهما متوازيان:

$(MH) // (AB)$

تطبيق خاصية طاليس على المثلث $ABC$ :

النقطة $H \in [AC]$ والنقطة $M \in [BC]$ ، والمستقيمان متوازيان:

$\frac{CM}{CB} = \frac{CH}{CA} = \frac{MH}{AB}$

حساب الطول $BM$ و $CM$ :

$BM = \frac{BC}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

$CM = BC - BM = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

بالتعويض في نسبة طاليس:

$\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{MH}{4} \implies \frac{3}{4} = \frac{MH}{4}$

$MH = \frac{3 \times 4}{4} = 3$

✅الإجابة النموذجية:

الطول $MH$ يساوي:

$MH = 3$

2) حساب $\tan \widehat{AMB}$ واستنتاج قيس الزاوية $\widehat{AMB}$ :

في المثلث القائم $ABM$ في $B$ :

$\tan \widehat{AMB} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{AB}{BM}$

$\tan \widehat{AMB} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 1.7321 \times 1.3333 \approx 2.3094$

استنتاج قيس الزاوية $\widehat{AMB}$ :

باستعمال الحاسبة ( $\tan^{-1}$ ):

$\widehat{AMB} = \arctan\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \approx 66.58^\circ$

✅الإجابة النموذجية:

$\tan \widehat{AMB} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

قيس الزاوية بالتدوير إلى الوحدة هو: $\widehat{AMB} \approx 67^\circ$ (أو القيمة الدقيقة $66.58^\circ$ ).

📌

التمرين الرابع: الأشعة والانسحاب والأشكال الهندسيّة

1) حساب الطول $BA$ :

المعين $DABC$ مركزه $O$ .

خواص المعين: قطراه متعامدان وينصف كل منهما الآخر.

$OA = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$

$OB = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$

المثلث $AOB$ قائم في $O$ .

بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $AOB$ :

$BA^2 = OA^2 + OB^2$

$BA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$BA = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

✅الإجابة النموذجية:

طول الضلع $BA$ هو:

$BA = 5 \text{ cm}$

2) إنشاء النقطة $E$ :

تنشأ النقطة $E$ بحيث تحقق علاقة متوازي الأضلاع شعاعياً:

$\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OE}$

3) نوع الرباعي $AOBE$ مع التعليل:

من العلاقة الشعاعية $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OE}$ ، فإن الرباعي $AOBE$ هو متوازي أضلاع.

وبما أن قطري المعين متعامدان، فإن الزاوية $\widehat{AOB} = 90^\circ$ .

متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة هو مستطيل.

✅الإجابة النموذجية:

الرباعي $AOBE$ هو مستطيل، لأن شعاع المجموع يحدد متوازي أضلاع إحدى زواياه قائمة ( $\widehat{AOB} = 90^\circ$ ).

4) إنشاء النقطة $H$ وحساب الطول $OH$ :

النقطة $F$ هي نقطة تقاطع قطري المستطيل $AOBE$ ، بالتالي فإن $F$ هي منتصف القطعة المستقيمة $[AB]$ .

حساب الطول $FB$ :

$FB = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}$

لدينا المساواة الشعاعية: $\vec{FB} = \vec{OH}$ .

تساوي شعاعين يعني أن لهما نفس المنحى ونفس الاتجاه ونفس الطول (المنحيين متوازيان أو منطبقان).

بما أن $\vec{FB} = \vec{OH}$ ، فإن الطولين متساويان:

$OH = FB = 2.5 \text{ cm}$

✅الإجابة النموذجية:

الطول $OH$ يساوي:

$OH = 2.5 \text{ cm}$

📌

الوضعية الإدماجية: تطبيق المعارف الرياضية في مسألة محلية

الجزء الأول

في هذا الجزء نعتبر $x = 30 \text{ m}$ .

أبعاد القطعة المستطيلة: الطول $AD = BC = 60 \text{ m}$ ، والعرض $AB = DC = 40 \text{ m}$ .

1) حساب طول الحاجز $DH$ :

المثلث $DHC$ قائم في $C$ .

طولا ضلعيه القائمين هما: $DC = 40 \text{ m}$ و $HC = x = 30 \text{ m}$ .

بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $DHC$ :

$DH^2 = DC^2 + HC^2$

$DH^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$

$DH = \sqrt{2500} = 50 \text{ m}$

✅الإجابة النموذجية:

طول الحاجز $DH$ هو:

$DH = 50 \text{ m}$

2) حساب الزاويتين $\widehat{HDC}$ و $\widehat{DHB}$ بالتدوير إلى الوحدة:

حساب الزاوية $\widehat{HDC}$ :

في المثلث القائم $DHC$ :

$\tan \widehat{HDC} = \frac{HC}{DC} = \frac{30}{40} = 0.75$

$\widehat{HDC} = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ \approx 37^\circ$

حساب الزاوية $\widehat{DHB}$ :

النقاط $B, H, C$ على استقامة واحدة، وبالتالي فإن الزاوية $\widehat{BHC}$ زاوية مستقيمة قياسها $180^\circ$ .

في المثلث القائم $DHC$ :

$\cos \widehat{DHC} = \frac{HC}{DH} = \frac{30}{50} = 0.6 \implies \widehat{DHC} \approx 53.13^\circ$

الزاويتان $\widehat{DHB}$ و $\widehat{DHC}$ متكاملتان:

$\widehat{DHB} = 180^\circ - \widehat{DHC} = 180^\circ - 53.13^\circ = 126.87^\circ \approx 127^\circ$

✅الإجابة النموذجية:

$\widehat{HDC} \approx 37^\circ$

$\widehat{DHB} \approx 127^\circ$

الجزء الثاني

في هذا الجزء نعتبر $HC = x$ .

1) التعبير بدلالة $x$ عن المساحة $S_2$ المخصصة للسيارات:

المساحة $S_2$ تمثل مساحة المثلث القائم $DHC$ :

$S_2 = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{x \times 40}{2} = 20x$

✅الإجابة النموذجية:

العبارة بدلالة $x$ للمساحة $S_2$ هي:

$S_2 = 20x$

2) التعبير بدلالة $x$ عن المساحة $S_1$ المخصصة للشاحنات:

المساحة الكلية لقطعة الأرض المستطيلة $ABCD$ :

$S_{\text{الكلية}} = 60 \times 40 = 2400 \text{ m}^2$

المساحة $S_1$ تمثل مساحة شبه المنحرف $ABHD$ ، وتساوي المساحة الكلية مطروحاً منها مساحة السيارات $S_2$ :

$S_1 = S_{\text{الكلية}} - S_2 = 2400 - 20x$

*(ملاحظة لحسابها بقانون شبه المنحرف مباشرة: القاعدة الكبرى $AD = 60$ ، القاعدة الصغرى $BH = 60 - x$ ، الارتفاع $AB = 40$ :

$S_1 = \frac{(60 + 60 - x) \times 40}{2} = (120 - x) \times 20 = 2400 - 20x$ )*

✅الإجابة النموذجية:

العبارة بدلالة $x$ للمساحة $S_1$ هي:

$S_1 = 2400 - 20x$

3) أ) إيجاد قيم $x$ التي تجعل المساحة $S_1$ أقل من $2200 \text{ m}^2$ :

نضع المتراجحة:

$S_1 < 2200 \implies 2400 - 20x < 2200$

$-20x < 2200 - 2400$

$-20x < -200$

بقسمة الطرفين على $(-20)$ :

$x > \frac{-200}{-20} \implies x > 10$

بما أن $x$ يمثل طولاً ينتمي إلى الضلع $BC$ الذي طوله $60 \text{ m}$ ، فإن قيم $x$ هي:

$10 < x \le 60$

✅الإجابة النموذجية:

تكون المساحة $S_1$ أقل من $2200 \text{ m}^2$ عندما تكون قيم $x$ أكبر تماماً من $10 \text{ m}$ (أي: $10 < x \le 60$ ).

3) ب) حل المعادلة $S_1 = S_2$ وتفسير معنى الحل:

$2400 - 20x = 20x$

$20x + 20x = 2400 \implies 40x = 2400$

$x = \frac{2400}{40} = 60$

💡التفسير الرياضياتي والواقعي:

حل المعادلة يعني القيمة التي تتساوى عندها مساحة الشاحنات مع مساحة السيارات.

عندما تكون $x = 60 \text{ m}$ ، تنطبق النقطة $H$ على النقطة $B$ ، ويصبح قطر المستطيل يتصف الأرض إلى مثلثين متساويين في المساحة، بحيث تصبح مساحة كل منهما تساوي $1200 \text{ m}^2$ .

4) إيجاد قيمة $x$ ليتسع الجزء $S_2$ لـ 40 سيارة واستنتاج أكبر عدد للشاحنات:

حساب المساحة اللازمة لـ 40 سيارة:

علمنا أن السيارة الواحدة تتطلب مساحة $18 \text{ m}^2$ .

$S_2 = 40 \times 18 = 720 \text{ m}^2$

إيجاد قيمة $x$ :

$20x = 720 \implies x = \frac{720}{20} = 36 \text{ m}$

✅الإجابة النموذجية لقيمة $x$ :

القيمة المطلوبة هي:

$x = 36 \text{ m}$

استنتاج المساحة المتبقية $S_1$ للشاحنات عند $x = 36$ :

$S_1 = 2400 - 20(36) = 2400 - 720 = 1680 \text{ m}^2$

حساب أكبر عدد للشاحنات:

بما أن الشاحنة الواحدة تتطلب مساحة $30 \text{ m}^2$ :

$\text{عدد الشاحنات} = \frac{1680}{30} = 56 \text{ شاحنة}$

✅الإجابة النموذجية الخاتمة:

أكبر عدد من الشاحنات التي يمكن توقفها في الجزء $S_1$ في هذه الحالة هو 56 شاحنة.

🔗 Useful Links & Official Resources

Banque d'examens Mathematics Tous les sujets 1st term exams Programme complet 4th Year Of Middle School Calculateur de moyenne 4th Year Of Middle School

📝 Sujets recommandés du même trimestre:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

Sources officielles :
ONEC Algérie•INRE•ONEFD

Official reference solution prepared according to Algerian Ministry of National Education standards.

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna Free

Reads the PDF exam visually via Vision OCR and explains all exercises step-by-step

Document pedagogical details

Detailed curriculum specs matching Algerian education ministry

ShowHide

Download PDF document1.2 MB

Level4th Year Of Middle School

SubjectMathematics

Document typeTerm Exam

Period1st Term (2021)

SolutionExam paper ready for practice

ValidationOfficial curriculum compliant - High quality PDF

Download this Term Exam in Mathematics (4th Year Of Middle School) for effective revision on DzMadrassa.

💡 Study tip: Try solving the questions within the allotted time before consulting the answer key.

Paper #86 - Exam Trimestre 1 - Mathematics - 4am

Official Admin-Approved Model Solution

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 86 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: الأعداد الحقيقية والحساب على الجذور

1) إيجاد العدد xxx:

2) كتابة العدد yyy على الشكل a3a\sqrt{3}a3​:

3) نشر وتبسيط العدد zzz:

4) تبيان أن الجداء z(x−y)z(x - y)z(x−y) عدد طبيعي:

التمرين الثاني: الحساب الحرفي والمعادلات والمتراجحات

1) نشر وتبسيط العبارة EEE:

2) تحليل العبارة AAA إلى جداء عاملين:

3) حل المعادلة −x+2x(x+1)=6-x + 2x(x + 1) = 6−x+2x(x+1)=6:

4) حل المتراجحة E≥2x2+3xE \ge 2x^2 + 3xE≥2x2+3x وتمثيل حلولها بيانياً:

التمرين الثالث: الخاصية المباشرة لطاليس والنسب المثلثية

1) حساب الطول MHMHMH:

2) حساب tan⁡AMB^\tan \widehat{AMB}tanAMB واستنتاج قيس الزاوية AMB^\widehat{AMB}AMB:

التمرين الرابع: الأشعة والانسحاب والأشكال الهندسيّة

1) حساب الطول BABABA:

2) إنشاء النقطة EEE:

3) نوع الرباعي AOBEAOBEAOBE مع التعليل:

4) إنشاء النقطة HHH وحساب الطول OHOHOH:

الوضعية الإدماجية: تطبيق المعارف الرياضية في مسألة محلية

الجزء الأول

1) حساب طول الحاجز DHDHDH:

2) حساب الزاويتين HDC^\widehat{HDC}HDC و DHB^\widehat{DHB}DHB بالتدوير إلى الوحدة:

الجزء الثاني

1) التعبير بدلالة xxx عن المساحة S2S_2S2​ المخصصة للسيارات:

2) التعبير بدلالة xxx عن المساحة S1S_1S1​ المخصصة للشاحنات:

3) أ) إيجاد قيم xxx التي تجعل المساحة S1S_1S1​ أقل من 2200 m22200 \text{ m}^22200 m2:

3) ب) حل المعادلة S1=S2S_1 = S_2S1​=S2​ وتفسير معنى الحل:

4) إيجاد قيمة xxx ليتسع الجزء S2S_2S2​ لـ 40 سيارة واستنتاج أكبر عدد للشاحنات:

🔗 Useful Links & Official Resources

AI Exam Tutor (ChatGPT 5.6 Luna)

Document pedagogical details

1) إيجاد العدد $x$ :

2) كتابة العدد $y$ على الشكل $a\sqrt{3}$ :

3) نشر وتبسيط العدد $z$ :

4) تبيان أن الجداء $z(x - y)$ عدد طبيعي:

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

2) تحليل العبارة $A$ إلى جداء عاملين:

3) حل المعادلة $-x + 2x(x + 1) = 6$ :

4) حل المتراجحة $E \ge 2x^2 + 3x$ وتمثيل حلولها بيانياً:

1) حساب الطول $MH$ :

2) حساب $\tan \widehat{AMB}$ واستنتاج قيس الزاوية $\widehat{AMB}$ :

1) حساب الطول $BA$ :

2) إنشاء النقطة $E$ :

3) نوع الرباعي $AOBE$ مع التعليل:

4) إنشاء النقطة $H$ وحساب الطول $OH$ :

1) حساب طول الحاجز $DH$ :

2) حساب الزاويتين $\widehat{HDC}$ و $\widehat{DHB}$ بالتدوير إلى الوحدة:

1) التعبير بدلالة $x$ عن المساحة $S_2$ المخصصة للسيارات:

2) التعبير بدلالة $x$ عن المساحة $S_1$ المخصصة للشاحنات:

3) أ) إيجاد قيم $x$ التي تجعل المساحة $S_1$ أقل من $2200 \text{ m}^2$ :

3) ب) حل المعادلة $S_1 = S_2$ وتفسير معنى الحل:

4) إيجاد قيمة $x$ ليتسع الجزء $S_2$ لـ 40 سيارة واستنتاج أكبر عدد للشاحنات: