نعلم أن:

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذور إلى جداء عددين أحدهما مربع تام والآخر 7:

بالتعويض في العبارة $A$:

لدينا:

لتنطيق المقام، نضرب كلا من البسط والمقام في $\sqrt{7}$:

نحسب الجداء $A \times B$:

نعلم أن $\sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7$، إذن:

لدينا العبارة:

نستعمل المتطابقة الشهيرة الثانية $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ لنشر الحد الأول، ونقوم بتوزيع $x$ على الحد الثاني:

بالتعويض في العبارة $E$:

نحذف الأقواس مع تغيير إشارات ما داخل القوس الثاني المتصوع بإشارة سالب:

نجمع الحدود المتشابهة:

نلاحظ وجود عامل مشترك وهو $(3x - 2)$:

بتبسيط ما داخل العارضتين:

هذه معادلة جداء معدوم، وهذا يعني أن أحد العاملين يساوي الصفر:

للمعادلة حلان هما: $x = \frac{2}{3}$ و $x = 1$.

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، فحسب خاصية فيثاغورس:

بالتعويض بالأطوال المعطاة ($AB = 6\text{ cm}$، $AC = 4.5\text{ cm}$):

1. نرسم المثلث القائم $ABC$ بحيث $AB = 6\text{ cm}$ و $AC = 4.5\text{ cm}$.

2. نحدد النقطة $M$ على القطعة $[AB]$ بحيث $BM = 2\text{ cm}$.

3. نرسم المستقيم العمودي على $(AB)$ في النقطة $M$، ليقطع قطعة الوتر $[BC]$ في النقطة $N$.

بما أن $(AC) \perp (AB)$ و $(MN) \perp (AB)$، فإن المستقيمين $(AC)$ و $(MN)$ متوازيان:

في المثلث $BAC$:

حسب خاصية طاليس:

ناخذ النسبة المباشرة لحساب $MN$:

بالتعويض بالأعداد:

باستعمال الرابع المتناسب:

معطيات الشكل من السند:

لنحسب النسبتين المقارنتين من النقطة $A$:

1. النسبة الأولى:

2. النسبة الثانية:

نلاحظ أن:

وبما أن النقط $C, A, B$ و $F, A, E$ استقامية وبنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس:

المستقيمان $(FC)$ و $(BE)$ متوازيان، أي:

في المثلث $ABE$، أطوال أضلاعه هي: $AB = 8$، $AE = 6$، $BE = 10$.

نحسب مربع أطول ضلع (الوتر المترقب):

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

نلاحظ أن:

حسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن المثلث $ABE$ قائم في $A$.

بما أن المثلث $ABE$ قائم في $A$، فإن الزاوية $\widehat{BAE} = 90^\circ$.

وبما أن المستقيمين $(CB)$ و $(FE)$ يتقاطعان في النقطة $A$، فإن الزاويتين $\widehat{FAC}$ و $\widehat{BAE}$ متقابلتان بالرأس، وبالتالي هما متساو يتان:

المثلث $ABE$ قائم في $A$.

والمثلث $ACF$ قائم أيضاً في $A$.

في المثلث القائم $ACF$ في $A$:

نستخدم نسبة الظل ($\tan$):

باستعمال الحاسبة (الضغط على $\text{2ndF}$ أو $\text{Shift}$ ثم $\tan$):

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة (ينظر إلى الرقم الأول بعد الفاصلة وهو 8 ≥ 5):

من السند والنمذجة الهندسية للقطعة المستطيلة $ABCD$:

صياغة المتراجحة:

المطلوب هو أن تكون المساحة المزروعة بالنخيل $S_1$ لا تقل عن $480\text{ m}^2$، أي أن تكون أكبر من أو تساوي $480\text{ m}^2$:

حل المتراجحة:

بقسمة الطرفين على العدد السلب ($-10$)، يتغير اتجاه المتباينة:

وباعتبار الشرط المعطى في التمرين أن $0 \leq x \leq 30$، فإن قيم $x$ الممكنة هي جميع الأعداد التي تحقق:

التمثيل البياني للحلول على محور أعداد:

نمارس رسم مستقيم مدرج:

```text

[/////// الحلول المقبولة ///////]

──|───────────────────────────────|──────────────|───────►

0 12 30

[ (تشطب القيم الأكبر من 12)

```

قيم $x$ التي تكون من أجلها المساحة المزروعة بالنخيل لا تقل عن $480\text{ m}^2$ هي:

العم أحمد يريد وضع 752 علبة من الحجم الكبير و 846 علبة من الحجم الصغير في أكبر عدد ممكن من الصناديق المتماثلة.

هذا يعني البحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين 846 و 752:

1) حساب $PGCD(846, 752)$ باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

آخر باقي غير معدوم هو $94$.

إذن:

أكبر عدد ممكن من الصناديق المتماثلة هو 94 صندوقاً.

2) حساب عدد العلب في كل صندوق: