الموضوع رقم 89 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

PDFحل ذكي معتمد2021تحميل مجاني مباشر

تحميل اختبار فصلي رسمي في مادة الرياضيات للسنة الرابعة متوسط بصيغة PDF للطباعة والمراجعة، مع إمكانية استعراض الحل الذكي وخوض الاختبار الإلكتروني التفاعلي.

الموضوع رقم 89

حل ذكي2021

تحميل

مفضل على Google

الحل النموذجي المعتمد رسمياً من الإدارة

معتمد رسمياً ✅

تم إعداد هذا الحل بالأسلوب التربوي وفق المنهاج الرسمي لوزارة التربية الوطنية مع سلم التنقيط

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 89 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

الجزء الأول (12 نقطة)

📌

التمرين الأول (2.5 نقطة)

1) كتابة العدد $A$ على الشكل $a\sqrt{7}$ (حيث $a$ عدد طبيعي):

نعلم أن:

A = \sqrt{343} + \sqrt{175} - 10\sqrt{7}

نقوم بتفكيك الأعداد تحت الجذور إلى جداء عددين أحدهما مربع تام والآخر 7:

343 = 49 \times 7 = 7^2 \times 7

175 = 25 \times 7 = 5^2 \times 7

بالتعويض في العبارة $A$ :

A = \sqrt{49 \times 7} + \sqrt{25 \times 7} - 10\sqrt{7}

A = 7\sqrt{7} + 5\sqrt{7} - 10\sqrt{7}

A = (7 + 5 - 10)\sqrt{7}

A = 2\sqrt{7}

💡إضاءة وتنبيه:

لتشديد وتبسيط الجذور التربيعية من الشكل

\sqrt{a^2 \times b}

، نطبق القاعدة

\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}

✅الإجابة النموذجية:

A = 2\sqrt{7} \quad \text{حيث } a = 2

2) كتابة العدد $B$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

لدينا:

B = \frac{3}{\sqrt{7}}

لتنطيق المقام، نضرب كلا من البسط والمقام في $\sqrt{7}$ :

B = \frac{3 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}

✅الإجابة النموذجية:

B = \frac{3\sqrt{7}}{7}

3) التبيان أن $A \times B$ عدد طبيعي:

نحسب الجداء $A \times B$ :

A \times B = (2\sqrt{7}) \times \left(\frac{3\sqrt{7}}{7}\right)

A \times B = \frac{2 \times 3 \times \sqrt{7} \times \sqrt{7}}{7}

نعلم أن $\sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7$ ، إذن:

A \times B = \frac{6 \times 7}{7} = 6

✅الإجابة النموذجية:

A \times B = 6 \quad (\text{وهو عدد طبيعي})

📌

التمرين الثاني (03 نقاط)

لدينا العبارة:

E = (3x - 2)^2 - x(3x - 2)

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

نستعمل المتطابقة الشهيرة الثانية $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ لنشر الحد الأول، ونقوم بتوزيع $x$ على الحد الثاني:

(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4

x(3x - 2) = 3x^2 - 2x

بالتعويض في العبارة $E$ :

E = (9x^2 - 12x + 4) - (3x^2 - 2x)

نحذف الأقواس مع تغيير إشارات ما داخل القوس الثاني المتصوع بإشارة سالب:

E = 9x^2 - 12x + 4 - 3x^2 + 2x

نجمع الحدود المتشابهة:

E = (9x^2 - 3x^2) + (-12x + 2x) + 4

E = 6x^2 - 10x + 4

✅الإجابة النموذجية:

E = 6x^2 - 10x + 4

2) تحليل العبارة $E$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

نلاحظ وجود عامل مشترك وهو $(3x - 2)$ :

E = (3x - 2)^2 - x(3x - 2)

E = (3x - 2)[(3x - 2) - x]

بتبسيط ما داخل العارضتين:

E = (3x - 2)(3x - 2 - x)

E = (3x - 2)(2x - 2)

✅الإجابة النموذجية:

E = (3x - 2)(2x - 2)

3) حل المعادلة $(3x - 2)(2x - 2) = 0$ :

هذه معادلة جداء معدوم، وهذا يعني أن أحد العاملين يساوي الصفر:

إما:

3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}

أو:

2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = \frac{2}{2} = 1

💡إضاءة وتنبيه:

معادلة الجداء المعدوم

A \times B = 0

تكافئ دوماً

A = 0

أو

B = 0

✅الإجابة النموذجية:

للمعادلة حلان هما: $x = \frac{2}{3}$ و $x = 1$ .

📌

التمرين الثالث (3.5 نقاط)

1) حساب الطول $BC$ :

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ ، فحسب خاصية فيثاغورس:

BC^2 = AB^2 + AC^2

بالتعويض بالأطوال المعطاة ( $AB = 6\text{ cm}$ ، $AC = 4.5\text{ cm}$ ):

BC^2 = 6^2 + (4.5)^2

BC^2 = 36 + 20.25 = 56.25

BC = \sqrt{56.25} = 7.5\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

BC = 7.5\text{ cm}

2) أ - إنشاء الشكل وتبيان أن $(AC) // (MN)$ :

رسم الشكل:

1. نرسم المثلث القائم $ABC$ بحيث $AB = 6\text{ cm}$ و $AC = 4.5\text{ cm}$ .

2. نحدد النقطة $M$ على القطعة $[AB]$ بحيث $BM = 2\text{ cm}$ .

3. نرسم المستقيم العمودي على $(AB)$ في النقطة $M$ ، ليقطع قطعة الوتر $[BC]$ في النقطة $N$ .

إثبات أن $(AC) // (MN)$ :

لدينا المثلث

ABC

قائم في

A

، أي أن:

(AC) \perp (AB)

ومن معطيات التمرين لدينا:

(MN) \perp (AB)

خاصية: "إذا عمَد مستقيمان نفس المستقيم، فهما متوازيان".

✅الإجابة النموذجية:

بما أن $(AC) \perp (AB)$ و $(MN) \perp (AB)$ ، فإن المستقيمين $(AC)$ و $(MN)$ متوازيان:

(AC) // (MN)

ب - حساب الطول $MN$ :

في المثلث $BAC$ :

لدينا النقطة

M \in [AB]

والنقطة

N \in [BC]

المستقيمان

(AC)

(MN)

متوازيان.

حسب خاصية طاليس:

\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}

ناخذ النسبة المباشرة لحساب $MN$ :

\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}

بالتعويض بالأعداد:

\frac{2}{6} = \frac{MN}{4.5}

باستعمال الرابع المتناسب:

MN = \frac{2 \times 4.5}{6} = \frac{9}{6} = 1.5\text{ cm}

✅الإجابة النموذجية:

MN = 1.5\text{ cm}

📌

التمرين الرابع (03 نقاط)

معطيات الشكل من السند:

الأطوال:

AC = 4\text{ cm}

AB = 8\text{ cm}

AF = 3\text{ cm}

AE = 6\text{ cm}

BE = 10\text{ cm}

النقط

C, A, B

على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.

النقط

F, A, E

على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.

1) تبيان أن $(FC) // (BE)$ :

لنحسب النسبتين المقارنتين من النقطة $A$ :

1. النسبة الأولى:

\frac{AC}{AB} = \frac{4}{8} = 0.5

2. النسبة الثانية:

\frac{AF}{AE} = \frac{3}{6} = 0.5

نلاحظ أن:

\frac{AC}{AB} = \frac{AF}{AE} = 0.5

وبما أن النقط $C, A, B$ و $F, A, E$ استقامية وبنفس الترتيب، فحسب الخاصية العكسية لخاصية طاليس:

✅الإجابة النموذجية:

المستقيمان $(FC)$ و $(BE)$ متوازيان، أي:

(FC) // (BE)

2) البرهان أن المثلث $ABE$ قائم في $A$ ، واستنتاج نوع المثلث $ACF$ :

البرهان أن المثلث $ABE$ قائم في $A$ :

في المثلث $ABE$ ، أطوال أضلاعه هي: $AB = 8$ ، $AE = 6$ ، $BE = 10$ .

نحسب مربع أطول ضلع (الوتر المترقب):

BE^2 = 10^2 = 100

نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين:

AB^2 + AE^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100

نلاحظ أن:

BE^2 = AB^2 + AE^2

حسب الخاصية العكسية لخاصية فيثاغورس، فإن المثلث $ABE$ قائم في $A$ .

استنتاج نوع المثلث $ACF$ :

بما أن المثلث $ABE$ قائم في $A$ ، فإن الزاوية $\widehat{BAE} = 90^\circ$ .

وبما أن المستقيمين $(CB)$ و $(FE)$ يتقاطعان في النقطة $A$ ، فإن الزاويتين $\widehat{FAC}$ و $\widehat{BAE}$ متقابلتان بالرأس، وبالتالي هما متساو يتان:

\widehat{FAC} = \widehat{BAE} = 90^\circ

✅الإجابة النموذجية:

المثلث $ABE$ قائم في $A$ .

والمثلث $ACF$ قائم أيضاً في $A$ .

3) حساب قيس الزاوية $\widehat{ACF}$ بالتدوير إلى الوحدة:

في المثلث القائم $ACF$ في $A$ :

الضلع المجاور للزاوية

\widehat{ACF}

هو

AC = 4\text{ cm}

الضلع المقابل للزاوية

\widehat{ACF}

هو

AF = 3\text{ cm}

نستخدم نسبة الظل ( $\tan$ ):

\tan(\widehat{ACF}) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{AF}{AC}

\tan(\widehat{ACF}) = \frac{3}{4} = 0.75

باستعمال الحاسبة (الضغط على $\text{2ndF}$ أو $\text{Shift}$ ثم $\tan$ ):

\widehat{ACF} = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.8698^\circ

بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة (ينظر إلى الرقم الأول بعد الفاصلة وهو 8 ≥ 5):

✅الإجابة النموذجية:

\widehat{ACF} \approx 37^\circ

📌

الجزء الثاني (08 نقاط) - الوضعية الإدماجية

الجزء I: التمثيل البياني لقيم $x$

من السند والنمذجة الهندسية للقطعة المستطيلة $ABCD$ :

الطول الكامل للقطعة:

AD = BC = 30\text{ m}

العرض الكامل للقطعة:

AB = CD = 20\text{ m}

المساحة الكلية لقطعة الأرض المستطيلة

ABCD

S_{\text{إجمالية}} = 30 \times 20 = 600\text{ m}^2

الجزء الخضراء

S_2

عبارة عن مثلث قائم

DHC

قاعدته

HC = x

وارتفاعه

DC = 20\text{ m}

S_2 = \frac{x \times 20}{2} = 10x

المساحة المزروعة بأشجار النخيل

S_1

هي باقي مساحة القطعة المستطيلة:

S_1 = S_{\text{إجمالية}} - S_2 = 600 - 10x

صياغة المتراجحة:

المطلوب هو أن تكون المساحة المزروعة بالنخيل $S_1$ لا تقل عن $480\text{ m}^2$ ، أي أن تكون أكبر من أو تساوي $480\text{ m}^2$ :

$S_1 \geq 480$

$600 - 10x \geq 480$

حل المتراجحة:

$-10x \geq 480 - 600$

$-10x \geq -120$

بقسمة الطرفين على العدد السلب ( $-10$ )، يتغير اتجاه المتباينة:

$x \leq \frac{-120}{-10}$

$x \leq 12$

وباعتبار الشرط المعطى في التمرين أن $0 \leq x \leq 30$ ، فإن قيم $x$ الممكنة هي جميع الأعداد التي تحقق:

$0 \leq x \leq 12$

💡إضاءة وتنبيه:

عند ضرب أو قسمة طرفي متراجحة على عدد سالب، يجب تغيير اتجاه رمز المتباينة ( $\geq$ تصبح $\leq$ ).

التمثيل البياني للحلول على محور أعداد:

نمارس رسم مستقيم مدرج:

نحدد النقطة $0$ والنقطة $12$ .

الحلول هي الجزء المظلل المقبول بين $0$ و $12$ .

القيم الأكبر من $12$ تشطب (حلول مرفوضة).

العارضة عند $12$ تتجه نحو الحلول المقبولة لأن المتباينة تحتوي على المساواة ( $\leq$ ).

```text

[/////// الحلول المقبولة ///////]

──|───────────────────────────────|──────────────|───────►

0 12 30

[ (تشطب القيم الأكبر من 12)

```

✅الإجابة النموذجية:

قيم $x$ التي تكون من أجلها المساحة المزروعة بالنخيل لا تقل عن $480\text{ m}^2$ هي:

$0 \leq x \leq 12$

الجزء II: حساب عدد علب التمر في كل صندوق

العم أحمد يريد وضع 752 علبة من الحجم الكبير و 846 علبة من الحجم الصغير في أكبر عدد ممكن من الصناديق المتماثلة.

هذا يعني البحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين 846 و 752:

$N = PGCD(846, 752)$

1) حساب $PGCD(846, 752)$ باستخدام خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية):

$846 = 752 \times 1 + 94$

$752 = 94 \times 8 + 0$

آخر باقي غير معدوم هو $94$ .

إذن:

$PGCD(846, 752) = 94$

أكبر عدد ممكن من الصناديق المتماثلة هو 94 صندوقاً.

2) حساب عدد العلب في كل صندوق:

عدد العلب من الحجم الكبير في كل صندوق:

$\frac{752}{94} = 8\text{ علب}$

عدد العلب من الحجم الصغير في كل صندوق:

$\frac{846}{94} = 9\text{ علب}$

✅الإجابة النموذجية:

أكبر عدد ممكن من الصناديق المتماثلة هو 94 صندوقاً.

يوضع في كل صندوق:

8 علب تمور من الحجم الكبير.

9 علب تمور من الحجم الصغير.

🔗 روابط مهمة ومصادر تعليمية موثوقة

بنك فروض واختبارات الرياضيات (السنة الرابعة متوسط)جميع مواضيع اختبارات الفصل الأول في الرياضيات جميع دروس وفروض السنة الرابعة متوسط حساب معدل الفصل وشهادة السنة الرابعة متوسط

📝 نماذج وفروض مقترحة من نفس الفصل:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

المصادر والمراجع الرسمية:
الديوان الوطني للامتحانات والمسابقات (ONEC)•المعهد الوطني للبحث في التربية (INRE)•الديوان الوطني للتعليم عن بعد (ONEFD)

تم إعداد ومراجعة هذا الحل النموذجي وفق المعايير الوزارية الرسمية لوزارة التربية الوطنية.

المعلم والمصحح الذكي (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna مجاناً

يقرأ ملف الـ PDF للامتحان بصرياً (Vision OCR) ويشرح الأسئلة بالتفصيل الدقيق خطوة بخطوة

بطاقة المعلومات البيداغوجية للوثيقة

معلومات مفصلة حول الموضوع والمنهاج الدراسي لوزارة التربية الوطنية الجزائرية

عرض البطاقةإخفاء البطاقة

تحميل الموضوع بصيغة PDF1.3 ميغابايت

المستوى والطورالسنة الرابعة متوسط

المادة المقررةالرياضيات

نوع الوثيقةاختبار فصلي رسمي

الفصل والموسمالفصل الأول (2021)

عناصر الإجابة والتصحيحموضوع أصلي جاهز للحل والمراجعة (بدون تصحيح)

الاعتماد البيداغوجي والصيغةمطابق للمنهاج الرسمي لوزارة التربية الوطنية - PDF أصلي

يقدم لكم موقع ديزاد مدرسة هذا اختبار فصلي رسمي في مادة الرياضيات المخصص لتلاميذ السنة الرابعة متوسط، لمساعدتهم على التحضير الفعال ومراجعة مختلف الكفاءات والوحدات التعليمية المبرمجة خلال الفصل الأول.

💡 نصيحة بيداغوجية: يُنصح التلميذ بمحاولة حل الموضوع كاملاً في وقت محدد ومحاكاة ظروف الامتحان الواقعية دون النظر إلى الحل مسبقاً، ثم مقارنة إجابته مع سلم التنقيط لتحديد نقاط القوة ومعالجة الثغرات.

الموضوع رقم 89 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد رسمياً من الإدارة

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 89 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الجزء الأول (12 نقطة)

التمرين الأول (2.5 نقطة)

1) كتابة العدد AAA على الشكل a7a\sqrt{7}a7​ (حيث aaa عدد طبيعي):

2) كتابة العدد BBB على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

3) التبيان أن A×BA \times BA×B عدد طبيعي:

التمرين الثاني (03 نقاط)

1) نشر وتبسيط العبارة EEE:

2) تحليل العبارة EEE إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

3) حل المعادلة (3x−2)(2x−2)=0(3x - 2)(2x - 2) = 0(3x−2)(2x−2)=0:

التمرين الثالث (3.5 نقاط)

1) حساب الطول BCBCBC:

2) أ - إنشاء الشكل وتبيان أن (AC)//(MN)(AC) // (MN)(AC)//(MN):

ب - حساب الطول MNMNMN:

التمرين الرابع (03 نقاط)

1) تبيان أن (FC)//(BE)(FC) // (BE)(FC)//(BE):

2) البرهان أن المثلث ABEABEABE قائم في AAA، واستنتاج نوع المثلث ACFACFACF:

3) حساب قيس الزاوية ACF^\widehat{ACF}ACF بالتدوير إلى الوحدة:

الجزء الثاني (08 نقاط) - الوضعية الإدماجية

الجزء I: التمثيل البياني لقيم xxx

الجزء II: حساب عدد علب التمر في كل صندوق

🔗 روابط مهمة ومصادر تعليمية موثوقة

المعلم والمصحح الذكي (ChatGPT 5.6 Luna)

بطاقة المعلومات البيداغوجية للوثيقة

1) كتابة العدد $A$ على الشكل $a\sqrt{7}$ (حيث $a$ عدد طبيعي):

2) كتابة العدد $B$ على شكل نسبة مقامها عدد ناطق:

3) التبيان أن $A \times B$ عدد طبيعي:

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

2) تحليل العبارة $E$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى:

3) حل المعادلة $(3x - 2)(2x - 2) = 0$ :

1) حساب الطول $BC$ :

2) أ - إنشاء الشكل وتبيان أن $(AC) // (MN)$ :

ب - حساب الطول $MN$ :

1) تبيان أن $(FC) // (BE)$ :

2) البرهان أن المثلث $ABE$ قائم في $A$ ، واستنتاج نوع المثلث $ACF$ :

3) حساب قيس الزاوية $\widehat{ACF}$ بالتدوير إلى الوحدة:

الجزء I: التمثيل البياني لقيم $x$