نعلم أن العبارة $F$ معطاة كالتالي:

نلاحظ أن الجزء الأول $9x^2 - 4$ يمثل فرق مربعين من الشكل $a^2 - b^2$:

ونلاحظ أن الجزء الثاني $12x^2 - 11x + 2$ هو العبارة منشور العبارة $E$، أي:

بالتعويض في $F$:

نستخرج العامل المشترك $(3x - 2)$:

إما:

أو:

للمعادلة حلان هما: $x = \frac{2}{3}$ و $x = 3$.

نعوض العبارة المبسطة لـ $E$:

بنقل الحدود المتشابهة إلى أطرافها:

بقسمة الطرفين على العدد السالم $-13$، يتغير اتجاه المتراجحة:

حلول المتراجحة هي كل أعداد $x$ الأكبر من أو تساوي $2$.

التمثيل البياني للحلول:

```text

[////// حلول المتراجحة //////]

-------|-------|-----------------------------

0 2

```

(العارضة تتجه نحو الحلول لأن العدد 2 مقبول ضمن الحلول).

نطبق خوارزمية أقليدس (القسمات المتتالية) لحساب القاسم المشترك الأكبر للعددين $235$ و $141$:

بما أن آخر باقي غير معدوم هو $47$:

حساب العدد $M$:

اختزال الكسر $\frac{141}{235}$ بقسمة البسط والمقام على $PGCD = 47$:

حساب الضرب أولاً لـ $\frac{7}{5} \times \frac{3}{2}$:

جمع الكسرين بتوحيد المقامات:

العبارة المعطاة:

نكتب أعداد ما تحت الجذر على الشكل $a^2 \times 2$:

بالتعويض في $N$:

بما أن $22 \in \mathbb{N}$، فإن العدد $\sqrt{2} \times N$ هو عدد طبيعي.

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}$:

نلاحظ أن القطعة $[AC]$ هي قطر للدائرة $(T)$ مركزها $O$ وشعاعها $r = 2.5 \text{ cm}$، إذن:

وبما أن النقطة $B$ تنتمي إلى الدائرة $(T)$، فإن المثلث $ABC$ قائم في $B$.

تطبيق خاصية فيثاغورس في المثلث القائم $ABC$:

المثلث $ABC$ قائم في $B$، وطول الضلع $AB = 4 \text{ cm}$.

بما أن $(BC) \perp (AM)$ و $(MN) \perp (AM)$، فإن $(BC) \parallel (MN)$.

بالرجوع إلى الشكل ومعطياته القياسية ($BM = 2 \text{ cm}$):

بما أن $(BC) \parallel (MN)$ والنقاط $A, B, M$ و $A, C, N$ في استقامية وبهذا الترتيب، نطبق خاصية طاليس:

تعويض القيم المعلومة:

حساب $MN$:

مساحة شبه المنحرف تحسب بالطريقة المباشرة أو بطرح مساحة المثلثين:

الطريقة المباشرة:

مساحة شبه المنحرف $BMNC$ هي $7.5 \text{ cm}^2$.

الشكل يتكون من المستطيل $ABCD$ حيث:

بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن:

حساب الطول $EC$:

حساب النسبة $\frac{EC}{ED}$:

تم الإثبات أن $\frac{EC}{ED} = \frac{5}{8}$.

المثلث $ADE$ قائم في $D$ (لأن $ABCD$ مستطيل، و$AD = BC = 120 \text{ m}$).

بتطبيق خاصية فيثاغورس:

في الشكل المقابل، المستقيمان $(AD)$ و $(MC)$ متوازيان (لأنهما عموديان على نفس المستقيم $(DC)$).

المستقيمان $(AE)$ و $(MC)$ يتقاطعان في النقطة $E$.

بتطبيق خاصية طاليس على الفراشة (التهيئة الشائعة):

بالتقريب إلى $0.1$:

في المثلث القائم $ADE$:

استنتاج قيس الزاوية $\widehat{AED}$:

باستعمال الحاسبة ($\arcsin(0.6)$ أو $\text{2ndF } \sin$):

بالتدوير إلى الدرجة:

ننشئ المخطط الهندسي كالتالي:

في المثلث القائم $DGB$ عند النقطة $G$:

علو الشجرة الإجمالي $DC$ هو:

بالتدوير إلى الجزء من عشرة:

في المثلث القائم $DGB$:

بالتدوير إلى $10^{-2}$ (جزء من مئة):

1. حساب المسافة $AE$ بين عبد الله والمنزل:

في المثلث القائم $FHB$ عند النقطة $H$:

بما أن $ABEH$ مستطيل فإن $AE = BH \approx 10.05 \text{ m}$.

بالتدوير إلى الوحدة:

2. تبيان أن عبد الله يقف تقريباً في منتصف القطعة $[CE]$:

بما أن $AC = 10 \text{ m}$ و $AE \approx 10 \text{ m}$، فإن النقطة $A$ (موقع عبد الله) تقع تقريبًا في منتصف المسافة $[CE]$ الفاصلة بين المنزل والشجرة.