الموضوع رقم 87 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

PDFحل ذكي معتمد2021تحميل مجاني مباشر

تحميل اختبار فصلي رسمي في مادة الرياضيات للسنة الرابعة متوسط بصيغة PDF للطباعة والمراجعة، مع إمكانية استعراض الحل الذكي وخوض الاختبار الإلكتروني التفاعلي.

الموضوع رقم 87

حل ذكي2021

تحميل

مفضل على Google

الحل النموذجي المعتمد رسمياً من الإدارة

معتمد رسمياً ✅

تم إعداد هذا الحل بالأسلوب التربوي وفق المنهاج الرسمي لوزارة التربية الوطنية مع سلم التنقيط

📚

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 87 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد والشامل

المستوى الدراسي: السنة الرابعة متوسط (التعليم المتوسط)

المادة: الرياضيات

الفصل الدراسي: اختبارات الفصل الأول

📌

التمرين الأول: (04 نقاط)

1) كتابة العددين $A$ و $B$ على أبسط شكل ممكن:

💡إضاءة وتنبيه:

لكتابة عبارة تتضمن جذوراً تربيعية على أصلح وأبسط شكل $a\sqrt{b}$ ، نقوم بتحليل الأعداد تحت الجذر إلى جداء عاملين أحدهما مربع تام لأكبر عدد ممكن.

تبسيط العدد $A$ :

A = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}

تبسيط العدد $B$ :

B = 3\sqrt{20} + 2\sqrt{27} - \sqrt{45}

B = 3\sqrt{4 \times 5} + 2\sqrt{9 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}

B = 3 \times 2\sqrt{5} + 2 \times 3\sqrt{3} - 3\sqrt{5}

B = 6\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{5}

B = (6 - 3)\sqrt{5} + 6\sqrt{3} = 3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

الشكل المبسط للعددين هو: $A = 4\sqrt{5}$ و $B = 3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}$ .

2) تبسيط كل من $A \times B$ و $B^2$ :

تبسيط $A \times B$ :

A \times B = 4\sqrt{5} \times (3\sqrt{5} + 6\sqrt{3})

بتوزيع الضرب على الجمع:

A \times B = (4\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}) + (4\sqrt{5} \times 6\sqrt{3})

A \times B = (12 \times 5) + 24\sqrt{5 \times 3} = 60 + 24\sqrt{15}

تبسيط $B^2$ :

باستخدام المتطابقة الشهيرة الأولى $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

B^2 = (3\sqrt{5} + 6\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{5})^2 + 2(3\sqrt{5})(6\sqrt{3}) + (6\sqrt{3})^2

B^2 = (9 \times 5) + 36\sqrt{15} + (36 \times 3)

B^2 = 45 + 36\sqrt{15} + 108 = 153 + 36\sqrt{15}

✅الإجابة النموذجية:

$A \times B = 60 + 24\sqrt{15}$

$B^2 = 153 + 36\sqrt{15}$

3) جعل مقام النسبة $D$ عدداً ناطقاً حيث $D = \frac{B}{A}$ :

💡إضاءة وتنبيه:

لجعل مقام نسبة تتضمن جذراً عدداً ناطقاً، نضرب كلاً من البسط والمقام في الجذر الموجود بالمقام (في هذه الحالة نضرب في $\sqrt{5}$ ).

D = \frac{B}{A} = \frac{3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}}{4\sqrt{5}}

D = \frac{(3\sqrt{5} + 6\sqrt{3}) \times \sqrt{5}}{4\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{5})^2 + 6\sqrt{3 \times 5}}{4 \times 5}

D = \frac{3 \times 5 + 6\sqrt{15}}{20} = \frac{15 + 6\sqrt{15}}{20}

✅الإجابة النموذجية:

النسبة بمقام ناطق هي: $D = \frac{15 + 6\sqrt{15}}{20}$ .

4) إعطاء القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ (أي $10^{-2}$ ) بالنقصان للعدد $D$ :

نحسب القيمة العشرية المضبوطة/المقربة للعدد $D$ :

\sqrt{15} \approx 3.872983...

D = \frac{15 + 6 \times 3.872983...}{20} = \frac{15 + 23.237900...}{20} = \frac{38.237900...}{20} \approx 1.911895...

القيمة المقربة إلى $10^{-2}$ بالنقصان تعني أخذ رقمين بعد الفاصلة دون زيادة:

✅الإجابة النموذجية:

القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ بالنقصان للعدد $D$ هي: $1.91$ .

📌

التمرين الثاني: (04 نقاط)

العبارة المعطاة: $E = (2x + 1)(x - 5) - (2x + 1)^2$

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

E = [(2x \times x) + (2x \times (-5)) + (1 \times x) + (1 \times (-5))] - [(2x)^2 + 2(2x)(1) + (1)^2]

E = (2x^2 - 10x + x - 5) - (4x^2 + 4x + 1)

E = 2x^2 - 9x - 5 - 4x^2 - 4x - 1

بجمع الحدود المتشابهة:

E = (2x^2 - 4x^2) + (-9x - 4x) + (-5 - 1) = -2x^2 - 13x - 6

✅الإجابة النموذجية:

العبارة المبسطة هي: $E = -2x^2 - 13x - 6$ .

2) حساب قيمة $E$ من أجل $x = 0$ و $x = \sqrt{3}$ :

من أجل $x = 0$ :

نعوض في العبارة المبسطة:

E = -2(0)^2 - 13(0) - 6 = 0 - 0 - 6 = -6

من أجل $x = \sqrt{3}$ :

E = -2(\sqrt{3})^2 - 13(\sqrt{3}) - 6

E = -2(3) - 13\sqrt{3} - 6 = -6 - 13\sqrt{3} - 6 = -12 - 13\sqrt{3}

✅الإجابة النموذجية:

قيمة

E

من أجل

x = 0

هي: $-6$ .

قيمة

E

من أجل

x = \sqrt{3}

هي: $-12 - 13\sqrt{3}$ .

3) تحليل العبارة $E$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى، ثم حل المعادلة $E = 0$ :

تحليل $E$ :

نلاحظ وجود العامل المشترك $(2x + 1)$ :

E = (2x + 1)(x - 5) - (2x + 1)^2

E = (2x + 1) \left[ (x - 5) - (2x + 1) \right]

E = (2x + 1) [ x - 5 - 2x - 1 ]

E = (2x + 1)(-x - 6)

حل المعادلة $E = 0$ :

(2x + 1)(-x - 6) = 0

معادلة الجداء المعدوم تعني:

إما $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$

أو $-x - 6 = 0 \implies -x = 6 \implies x = -6$

✅الإجابة النموذجية:

تحليـل العبـارة:

E = (2x + 1)(-x - 6)

حلول المعادلة

E = 0

هما العددين: $x = -\frac{1}{2}$ و $x = -6$ .

4) حل المتراجحة: $E \le -2x^2 + 20$ :

نعوض العبارة المبسطة لـ $E$ :

-2x^2 - 13x - 6 \le -2x^2 + 20

نضيف $2x^2$ إلى طرفي المتراجحة:

-13x - 6 \le 20

-13x \le 20 + 6 \implies -13x \le 26

بقسمة الطرفين على العدد السالب $-13$ نغير اتجاه الرمز:

x \ge \frac{26}{-13} \implies x \ge -2

✅الإجابة النموذجية:

حلول المتراجحة هي كل أعداد $x$ الأكبر من أو تساوي $-2$ (أي القيم الواقعة على يمين العدد $-2$ بما في ذلك العدد $-2$ ).

📌

التمرين الثالث: (04 نقاط)

المعطيات: $ABC$ مثلث قائم في $A$ حيث $\cos \widehat{ABC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

1) حساب القيمة المضبوطة لـ $\sin \widehat{ABC}$ و $\tan \widehat{ABC}$ :

💡إضاءة وتنبيه:

تستخدم العلاقة المثلثية الأساسية $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ لحساب جيب الزاوية بدلالة جيب تمامها.

حساب $\sin \widehat{ABC}$ :

\cos^2 \widehat{ABC} + \sin^2 \widehat{ABC} = 1

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \sin^2 \widehat{ABC} = 1

\frac{2}{4} + \sin^2 \widehat{ABC} = 1 \implies \frac{1}{2} + \sin^2 \widehat{ABC} = 1

\sin^2 \widehat{ABC} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

بما أن الزاوية حادة فإن $\sin \widehat{ABC} > 0$ :

\sin \widehat{ABC} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

حساب $\tan \widehat{ABC}$ :

\tan \widehat{ABC} = \frac{\sin \widehat{ABC}}{\cos \widehat{ABC}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1

✅الإجابة النموذجية:

$\sin \widehat{ABC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan \widehat{ABC} = 1$

2) إيجاد قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ ، ثم قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ :

بما أن

\cos \widehat{ABC} = \frac{\sqrt{2}}{2}

، فإن قيس الزاوية الحادة هو:

\widehat{ABC} = 45^\circ

بما أن المثلث

ABC

قائم في

A

، فإن الزاويتين الحادتين متتامتان (مجموعهما

90^\circ

\widehat{ACB} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ

✅الإجابة النموذجية:

قيس الزاوية $\widehat{ABC} = 45^\circ$ وقيس الزاوية $\widehat{ACB} = 45^\circ$ .

3) تحديد نوع المثلث $ABC$ ، وحساب مساحته علماً أن $AB = 2\sqrt{2} \text{ cm}$ :

نوع المثلث $ABC$ :

بما أن المثلث قائمة في $A$ وفيه زاويتا القاعدة متساويتان ( $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45^\circ$ )، فإن المثلث قائم ومتساوي الساقين في $A$ .

ومنه: $AC = AB = 2\sqrt{2} \text{ cm}$ .

حساب مساحة المثلث $ABC$ :

S = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{AB \times AC}{2}

S = \frac{2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \times 2}{2} = 4 \text{ cm}^2

✅الإجابة النموذجية:

المثلث $ABC$ قائم ومتساوي الساقين في $A$ ، ومساحته هي $4 \text{ cm}^2$ .

📌

الجزء الثاني (الوضعية الإدماجية): (08 نقاط)

الشكل يتكون من:

قطعة أرض على شكل مستطيل

ABCM

(خصصت لبناء مدرسة) أبعاده:

AB = 60\text{ m}

BC = 40\text{ m}

وبالتالي: $MC = AB = 60\text{ m}$ و $AM = BC = 40\text{ m}$ .

حديقة على شكل مثلث قائم

AMD

قائم في

M

الجزء الأول: نضع $DM = 30\text{ m}$

1) تبيان أن $AD = 50\text{ m}$ :

المثلث $AMD$ قائم في $M$ . حسب خاصية فيثاغورس:

AD^2 = AM^2 + DM^2

نعلم أن $AM = BC = 40\text{ m}$ و $DM = 30\text{ m}$ :

AD^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500

AD = \sqrt{2500} = 50\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

قد تم إثبات أن طول الضلع $AD$ يساوي $50\text{ m}$ .

2) حساب $\tan \widehat{ADM}$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ADM}$ (بالتدوير إلى $0.1$ من الدرجة):

حساب ظل الزاوية $\tan \widehat{ADM}$ :

\tan \widehat{ADM} = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{AM}{DM} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3} \approx 1.333

استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ADM}$ :

باستعمال الآلة الحاسبة ( $\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ ):

\widehat{ADM} \approx 53.1301...^\circ

بالتدوير إلى $0.1$ (جزء من عشرة):

\widehat{ADM} \approx 53.1^\circ

✅الإجابة النموذجية:

$\tan \widehat{ADM} = \frac{4}{3}$ وقيس الزاوية $\widehat{ADM} \approx 53.1^\circ$ .

3) التحقق من أن $\sin^2 \widehat{ADM} + \cos^2 \widehat{ADM} = 1$ :

في المثلث القائم $AMD$ :

\sin \widehat{ADM} = \frac{AM}{AD} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0.8

\cos \widehat{ADM} = \frac{DM}{AD} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0.6

بالتعويض في الطرف الأيسر:

\sin^2 \widehat{ADM} + \cos^2 \widehat{ADM} = (0.8)^2 + (0.6)^2 = 0.64 + 0.36 = 1

✅الإجابة النموذجية:

العبارة المحققة صحيحة دائماً وتساوي 1.

الجزء الثاني: نضع $DM = x\text{ (m)}$

a) التعبير عن $S_1$ مساحة الحديقة بدلالة $x$ :

الحديقة هي المثلث القائم $AMD$ ذو الارتفاع $AM = 40\text{ m}$ والقاعدة $DM = x$ :

S_1 = \frac{AM \times DM}{2} = \frac{40 \times x}{2} = 20x

✅الإجابة النموذجية:

مساحة الحديقة بدلالة $x$ هي: $S_1 = 20x$ .

b) التعبير عن $S_2$ مساحة قطعة الأرض (المدرسة والحديقة معاً) بدلالة $x$ :

مساحة قطعة المدرسة المستطيلة

ABCM

S_{\text{المدرسة}} = AB \times BC = 60 \times 40 = 2400\text{ m}^2

المساحة الكلية لقطعة الأرض

S_2

S_2 = S_{\text{المدرسة}} + S_1 = 2400 + 20x

✅الإجابة النموذجية:

المساحة الكلية بدلالة $x$ هي: $S_2 = 2400 + 20x$ .

c) إيجاد قيمة $x$ حتى تكون $S_1 = \frac{1}{5} S_2$ :

نعوض بالعبارات المحصل عليها:

20x = \frac{1}{5} (2400 + 20x)

نضرب الطرفين في العدد 5 لتسهيل الحساب:

5 \times (20x) = 2400 + 20x

100x = 2400 + 20x

100x - 20x = 2400

80x = 2400 \implies x = \frac{2400}{80} = 30\text{ m}

✅الإجابة النموذجية:

تكون مساحة الحديقة خُمس مساحة الأرض الكلية إذا كان $x = 30\text{ m}$ .

الجزء الثالث: غرس الأشجار حول الحديقة

يراد غرس أشجار حول محيط الحديقة المثلثية الشكل $AMD$ بأطوال أضلاعها: $AM = 40\text{ m}$ ، $DM = 30\text{ m}$ ، $AD = 50\text{ m}$ .

على أن توجد شجرة في كل ركن وأن تكون المسافة متساوية وأكبر ما يمكن.

1) حساب أكبر مسافة يمكن أن تفصل بين شجرتين متجاورتين:

💡إضاءة وتنبيه:

المسافة المتساوية بين الأشجار $d$ يجب أن تقسم كل ضلع من أضلاع المثلث الثلاثة إلى عدد صحيح من الأجزاء. ولكي تكون هذه المسافة "أكبر ما يمكن"، فإن $d$ هي القاسم المشترك الأكبر لأطوال الأضلاع الثلاثة: $\text{PGCD}(30, 40, 50)$ .

نحسب القاسم المشترك الأكبر للأعداد $30$ ، $40$ ، و $50$ :

تحليل الأعداد إلى عوامل أوليّة:

30 = 2 \times 3 \times 5

40 = 2^3 \times 5

50 = 2 \times 5^2

العوامل المشتركة بأصغر أس هي $2 \times 5 = 10$ .

\text{PGCD}(30, 40, 50) = 10

✅الإجابة النموذجية:

أكبر مسافة تفصل بين شجرتين متجاورتين هي $10\text{ m}$ .

2) حساب عدد الأشجار التي يمكن غرسها حول محيط الحديقة:

حساب محيط الحديقة المثلثية $P$ :

P = AM + DM + AD = 40 + 30 + 50 = 120\text{ m}

حساب عدد الأشجار $N$ :

N = \frac{\text{المحيط}}{\text{المسافة بين كل شجرتين}} = \frac{120}{10} = 12

✅الإجابة النموذجية:

عدد الأشجار الكلي التي يمكن غرسها هو $12$ شجرة.

🔗 روابط مهمة ومصادر تعليمية موثوقة

بنك فروض واختبارات الرياضيات (السنة الرابعة متوسط)جميع مواضيع اختبارات الفصل الأول في الرياضيات جميع دروس وفروض السنة الرابعة متوسط حساب معدل الفصل وشهادة السنة الرابعة متوسط

📝 نماذج وفروض مقترحة من نفس الفصل:

الموضوع رقم 147 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 146 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 145 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط الموضوع رقم 144 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

المصادر والمراجع الرسمية:

الديوان الوطني للامتحانات والمسابقات (ONEC)•المعهد الوطني للبحث في التربية (INRE)•الديوان الوطني للتعليم عن بعد (ONEFD)

تم إعداد ومراجعة هذا الحل النموذجي وفق المعايير الوزارية الرسمية لوزارة التربية الوطنية.

المعلم والمصحح الذكي (ChatGPT 5.6 Luna)

Gemini 3.6 Vision OCR & ChatGPT 5.6 Luna مجاناً

يقرأ ملف الـ PDF للامتحان بصرياً (Vision OCR) ويشرح الأسئلة بالتفصيل الدقيق خطوة بخطوة

بطاقة المعلومات البيداغوجية للوثيقة

معلومات مفصلة حول الموضوع والمنهاج الدراسي لوزارة التربية الوطنية الجزائرية

عرض البطاقة

تحميل الموضوع بصيغة PDF1.3 ميغابايت

المستوى والطورالسنة الرابعة متوسط

المادة المقررةالرياضيات

نوع الوثيقةاختبار فصلي رسمي

الفصل والموسمالفصل الأول (2021)

عناصر الإجابة والتصحيحموضوع أصلي جاهز للحل والمراجعة (بدون تصحيح)

الاعتماد البيداغوجي والصيغةمطابق للمنهاج الرسمي لوزارة التربية الوطنية - PDF أصلي

يقدم لكم موقع ديزاد مدرسة هذا اختبار فصلي رسمي في مادة الرياضيات المخصص لتلاميذ السنة الرابعة متوسط، لمساعدتهم على التحضير الفعال ومراجعة مختلف الكفاءات والوحدات التعليمية المبرمجة خلال الفصل الأول.

💡 نصيحة بيداغوجية: يُنصح التلميذ بمحاولة حل الموضوع كاملاً في وقت محدد ومحاكاة ظروف الامتحان الواقعية دون النظر إلى الحل مسبقاً، ثم مقارنة إجابته مع سلم التنقيط لتحديد نقاط القوة ومعالجة الثغرات.

الموضوع رقم 87 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

الحل النموذجي المعتمد رسمياً من الإدارة

الحل النموذجي لـ الموضوع رقم 87 - اختبار الفصل الأول - الرياضيات - 4 متوسط

التمرين الأول: (04 نقاط)

1) كتابة العددين AAA و BBB على أبسط شكل ممكن:

2) تبسيط كل من A×BA \times BA×B و B2B^2B2:

3) جعل مقام النسبة DDD عدداً ناطقاً حيث D=BAD = \frac{B}{A}D=AB​:

4) إعطاء القيمة المقربة إلى 1100\frac{1}{100}1001​ (أي 10−210^{-2}10−2) بالنقصان للعدد DDD:

التمرين الثاني: (04 نقاط)

1) نشر وتبسيط العبارة EEE:

2) حساب قيمة EEE من أجل x=0x = 0x=0 و x=3x = \sqrt{3}x=3​:

3) تحليل العبارة EEE إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى، ثم حل المعادلة E=0E = 0E=0:

4) حل المتراجحة: E≤−2x2+20E \le -2x^2 + 20E≤−2x2+20:

التمرين الثالث: (04 نقاط)

1) حساب القيمة المضبوطة لـ sin⁡ABC^\sin \widehat{ABC}sinABC و tan⁡ABC^\tan \widehat{ABC}tanABC:

2) إيجاد قيس الزاوية ABC^\widehat{ABC}ABC، ثم قيس الزاوية ACB^\widehat{ACB}ACB:

3) تحديد نوع المثلث ABCABCABC، وحساب مساحته علماً أن AB=22 cmAB = 2\sqrt{2} \text{ cm}AB=22​ cm:

الجزء الثاني (الوضعية الإدماجية): (08 نقاط)

الجزء الأول: نضع DM=30 mDM = 30\text{ m}DM=30 m

1) تبيان أن AD=50 mAD = 50\text{ m}AD=50 m:

2) حساب tan⁡ADM^\tan \widehat{ADM}tanADM ثم استنتاج قيس الزاوية ADM^\widehat{ADM}ADM (بالتدوير إلى 0.10.10.1 من الدرجة):

3) التحقق من أن sin⁡2ADM^+cos⁡2ADM^=1\sin^2 \widehat{ADM} + \cos^2 \widehat{ADM} = 1sin2ADM+cos2ADM=1:

الجزء الثاني: نضع DM=x (m)DM = x\text{ (m)}DM=x (m)

a) التعبير عن S1S_1S1​ مساحة الحديقة بدلالة xxx:

b) التعبير عن S2S_2S2​ مساحة قطعة الأرض (المدرسة والحديقة معاً) بدلالة xxx:

c) إيجاد قيمة xxx حتى تكون S1=15S2S_1 = \frac{1}{5} S_2S1​=51​S2​:

الجزء الثالث: غرس الأشجار حول الحديقة

1) حساب أكبر مسافة يمكن أن تفصل بين شجرتين متجاورتين:

2) حساب عدد الأشجار التي يمكن غرسها حول محيط الحديقة:

🔗 روابط مهمة ومصادر تعليمية موثوقة

المعلم والمصحح الذكي (ChatGPT 5.6 Luna)

بطاقة المعلومات البيداغوجية للوثيقة

1) كتابة العددين $A$ و $B$ على أبسط شكل ممكن:

2) تبسيط كل من $A \times B$ و $B^2$ :

3) جعل مقام النسبة $D$ عدداً ناطقاً حيث $D = \frac{B}{A}$ :

4) إعطاء القيمة المقربة إلى $\frac{1}{100}$ (أي $10^{-2}$ ) بالنقصان للعدد $D$ :

1) نشر وتبسيط العبارة $E$ :

2) حساب قيمة $E$ من أجل $x = 0$ و $x = \sqrt{3}$ :

3) تحليل العبارة $E$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى، ثم حل المعادلة $E = 0$ :

4) حل المتراجحة: $E \le -2x^2 + 20$ :

1) حساب القيمة المضبوطة لـ $\sin \widehat{ABC}$ و $\tan \widehat{ABC}$ :

2) إيجاد قيس الزاوية $\widehat{ABC}$ ، ثم قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ :

3) تحديد نوع المثلث $ABC$ ، وحساب مساحته علماً أن $AB = 2\sqrt{2} \text{ cm}$ :

الجزء الأول: نضع $DM = 30\text{ m}$

1) تبيان أن $AD = 50\text{ m}$ :

2) حساب $\tan \widehat{ADM}$ ثم استنتاج قيس الزاوية $\widehat{ADM}$ (بالتدوير إلى $0.1$ من الدرجة):

3) التحقق من أن $\sin^2 \widehat{ADM} + \cos^2 \widehat{ADM} = 1$ :

الجزء الثاني: نضع $DM = x\text{ (m)}$

a) التعبير عن $S_1$ مساحة الحديقة بدلالة $x$ :

b) التعبير عن $S_2$ مساحة قطعة الأرض (المدرسة والحديقة معاً) بدلالة $x$ :

c) إيجاد قيمة $x$ حتى تكون $S_1 = \frac{1}{5} S_2$ :